《代数式》教案 北师大版数学七上8

第三章整式及其加减 2 代数式
教学重点与难点
教学重点：
1．理解代数式的含义；掌握代数式的特征．
2．能在具体情境中列出代数式．
教学难点：用代数式表示实际问题中的等量关系，理解代数式表示的实际意义．
学情分析
认知根底：学生在上一节的学习中，结合丰富的现实情境，经历了探索规律并用字母表示规律的过程；体会了字母表示数的意义，形成了初步的符号感，这为本节课的学习奠定了根底．同时，学生在小学已经学习过许多数学公式，对代数式有一定的了解，这也为本节课作好铺垫．
活动经验根底：在上一节的学习中，教材设置了丰富的问题情境和有趣的游戏，通过观察、实验、归纳、探索等活动，使学生在解决问题的过程中必须接触到代数式，帮助学生通过归纳、概括等活动了解“代数式〞的含义，从而获得了初步的数学活动经验和体验．在此过程中学生开展了符号感和抽象思维，获得了良好的情感态度和数学活动的经验并学会了交流、倾听与表达，这也为本节课的学习奠定了根底．
教学目标
1．在具体情境中，进一步理解字母表示数的意义．
2．能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，开展符号感．
3．在具体情境中，能求出代数式的值，并解释它的实际意义．
4．初步培养学生观察、分析和抽象思维能力，感受数学与日常生活的密切联系，感受数学模型的思想．
教学方法
针对本节课的特点，在教学中采用引导发现法及探索式教学，利用学生熟知的现实背景，通过创设情境，引导学生自己观察比拟，共同归纳总结．让学生在自主探索的过程中体会由特殊到一般、由具体到抽象的归纳过程．同时，巧设问题，层层深入，精选例题，组织学生分组讨论并探索知识的形成过程，让学生的思维活动始终处于积极状态，成功地实现了“发现——探索〞的教学模式，同时也培养了学生的合作精神．
教学过程
一、创设情境，引入新课
设计说明
从学生的认知结构出发，利用学生熟悉的生活背景，在教学中创设问题情境．这样设计既复习了上节课所学内容，做到知识上的前后联系，又开门见山引入新课，提高了学生的学习兴趣，把学生的无意观察引向有意观察，引起认知冲突，以此点燃学生思维之火花．问题1：填空：(1)比有理数a小10的数是__________．
(2)正方形的边长是a，这个正方形的周长是__________，面积是__________．
(3)从甲地到乙地的路程是15千米，步行要3小时，那么步行的速度为__________千米/时；假设用s表示路程，t表示时间，v表示速度，那么v＝__________.
(4)甲每天做a个玩具，乙每天做b个玩具，甲做了5天，乙做了3天，一共可以做__________个玩具．
答案：(1)a－10 (2)4a a2(3)5 s
t
(4)(5a＋3b)
问题2：观察分析上述所列式子有何特征？它们是怎样构成的？
问题3：你能用自己的语言描述它们的特征吗？
教学说明
上述三个问题的设计直奔主题，顺应学生对新课的向往心理，又让学生体会到数学来源于生活的道理．问题1从学生已有知识入手，既复习了旧知识，又初步接触了如何列代数式，同时自然引出本节课所要学习的内容——代数式．学生也能较好地完成问题1.问题2,3进一步升华，激发了学生探索新知的欲望，学生在答复时必然会有偏差，这恰恰能调动学生学习的积极性，开启了学生的思维，从而顺利引入新课．
二、讲授新课
设计说明
在学生答复完引入问题的根底上，自然引出代数式的定义．通过不同式子的辨析，既加深
学生对概念的理解，又表达数学思维的严谨性和全面性．最后的归纳总结帮助学生透过现象看本质，真正理解代数式的含义．
1．代数式的定义
像4＋3(x －1)，x ＋x ＋(x ＋1)，a ＋b ，ab,2(m ＋n )，s t ，a 2等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式．单独一个数或一个字母也是代数式．
例1 以下各式中，你认为哪些是代数式？
①2mn －1；②S ＝12(a ＋b )h ；③π；④b ＋1＞a ；⑤7；⑥a ＋b x
；⑦a 2＋b 2；⑧a (b ＋c )＝ab ＋ac .
答案：①③⑤⑥⑦是代数式．
归纳总结代数式的主要特征：
(1)用根本的运算符号把数和字母连接而成；
(2)单独的一个数或字母也是代数式；
(3)代数式不能含有等号或不等号．
教学说明
此处设计以学生分组讨论进行．师生共同归纳总结．例题中所选式子类型全面，学生判断时容易出现错误，这恰到好处地激起了学生的认知冲突．学生必然会在最积极的状态下观察、讨论、猜测．同时也帮助学生从更深层次理解代数式的含义．
2．列代数式
设计说明
通过设计有实际背景的问题，既使学生进一步理解了列代数式和求代数式值的意义，又通过这些实际问题将学生在列代数式时可能出现的问题展示出来．这样设计自然顺畅，也让学生感受到数学与现实生活的密切联系．
例2 列代数式：(能求值的写出计算的结果)
(1)汽车每小时行驶70千米，t 小时行驶__________千米；
(2)哥哥今年m 岁，比妹妹大n 岁，妹妹今年__________岁；
(3)a 行树一共有b 棵，平均每行树有__________棵；
(4)某公园的门票价格是成人10元，学生6元．一个旅游团有成人x 人，学生y 人，那么该旅游团应付多少门票费？如果该旅游团有37个成人，15个学生，那么该旅游团应付多少门票费？
答案：(1)70t (2)(m －n ) (3)b a
(4)10x ＋6y ；10×37＋6×15＝460(元)．
归纳总结代数式书写格式的规定：
(1)代数式中出现的乘号，通常简写作“·〞或省略不写；数字与字母相乘时，数字应写在字母前．
(2)带分数与字母相乘，应先把带分数化为假分数后与字母相乘．
(3)在代数式中出现除法运算时，要按分数的形式写．
(4)如果代数式出现和或差的形式，那么必须把代数式括起来，再将单位名称写在后面． (教学说明：此处设计力求引导学生能正确列出代数式，并到达熟练．在这一环节中，采用板演，学生自己充当小教师等形式检查学生理解、掌握情况．学生板演必然会存在许多问题，此时教师适当点拨，学生批改，加深了学生对代数式书写格式的理解．例题后的归纳总结由学生自己讨论完成，提高学生的归纳总结能力)
3．求代数式的值
设计说明
例3的设计选择了一个在人们收集大量数据后归纳总结出的经验公式．该例子生动有趣，提高学生学习兴趣，激发学生求知欲望．同时，该例子也表达了数学建模思想，培养了学生的抽象思维能力和建模能力．而思考题的设置让学生体会到代数式所表达出的丰富的实际背景或几何背景．
例3 在某地，人们发现某种蟋蟀叫的次数与温度间有如下的近似关系，用蟋蟀1分钟叫的次数除以7，然后再加上3，就近似地得到该地当时的温度(℃)．
(1)用代数式表示该地当时的温度．(用C 表示一分钟蟋蟀叫的次数)
(2)当蟋蟀1分钟叫的次数分别是80、100和120时，该地当时的温度约是多少？
(3)假设该地气温是10 ℃，那么蟋蟀1分钟约叫多少次？
教学说明
对于例3的处理应充分调动学生的自主学习能力，教师不要包办代替，大局部学生都能顺利完成此题．在此根底上，教师应鼓励学生继续发现日常生活的经验公式，以此来扩大学生的知识结构．
三、稳固应用
设计说明
该设计灵活性强，可最大限度调动全班各层次学生的思维主动性，加深对代数式实际意义的理解．
练习1：代数式6P 可以表示什么？
(答案不唯一)
练习2：用代数式表示：
(1)一个三位数，百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ，那么这个三位数是__________；
(2)长方形的周长为40 cm ，长为x cm ，那么面积为__________ cm 2；
(3)某地区夏季高山温度从山脚处开始每升高 1 000 m ，气温下降 5 ℃，假设山脚处为30 ℃，那么山上a m 处的温度为__________ ℃；
(4)一个人上山、下山的路程都是s ，上山的速度为v 1，下山的速度为v 2，那么上山、下山的平均速度为__________．
答案：(1)100a ＋10b ＋c (2)x (3)⎝
⎛⎭⎫30－a 200 (4)2v 1v 2v 1＋v 2 教学说明
学生集体训练．大局部学生能顺利完成(1)(2)小题，但对于(3)(4)小题的理解上局部学生有困难，教师注意引导与讲解．
设计说明
设计与实际生活密切联系的题目，提高学生学习兴趣，进一步标准求代数式的值的过程，培养学生的建模能力．让学生学会用所学知识解释和解决实际生活中的问题，提高应用数学的能力．
练习3：(1)张宇身高1.6米，在某时刻测得他影子的长度是2米，此时张宇的身高是他影长的多少倍？
(2)如果用l 表示物体的影长，那么如何用代数式表示此时此地物体的高度？
(3)该地某建筑物影长是10米，此时它的高度是多少？
答案：(1)45倍 (2)45
l (3)8米 教学说明
该练习采用先让学生独立思考，再小组交流的方式展开．因与生活联系密切，学生兴趣较高，完成情况较好．教师要适当总结方法与思想．帮助学生形成从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型，再用来解决实际问题的学习数学的常用思路．
中考链接：
1．某书店出售图书的同时，推出一项租书业务，每租看1本书，租期不超过3天，每天租金a 元；租期超过3天，从第4天开始每天另加收b 元．如果租看1本书7天归还，那么租金为__________元．
答案：(7a ＋3b )
2．今年国家为了继续刺激消费，规定私人购置耐用消费品时，不超过其50%的款项可以用抵押的方式向银行贷款．蒋教师欲购置一辆家用轿车，他现在的全部积蓄为P 元，只够购车款的60%，那么蒋教师应向银行贷款__________元．
答案：p 3
四、积累与总结
设计说明
从所学知识、所用思想方法等方面帮助学生回忆所学知识，把所学知识系统化、条理化．培养学生良好的学习习惯，提高学生归纳总结的能力．
1．本节课主要学习了代数式的含义、特征以及如何利用代数式表示数量关系并解决生活中
的实际问题．
2．学习代数式时应注意书写代数式的标准性．表示代数式的意义时，实际问题中的字母和数要有意义，要符合实际意义．
3．通过代数式的学习，初步体会数学模型的思想．并学会由特殊到一般、由具体到抽象的数学思想方法．
教学说明
组织学生以互相提问的形式把重点知识、数学方法总结出来．学生的学习根底、归纳能力决定了学生会有不同的想法．因此，学生在倾听别人想法的同时，也完善了自己对本节知识的理解．同时这样设计也增强了教师与学生、学生与学生之间的交流，提高了课堂效率．评价与反思
1．根据学生接受力强，形象思维较活泼的特点，在设计教学过程中，重点突出了情境的设置．同时，采用引探式教学方式，注重学生的探索与归纳．在探索过程中不仅仅教授知识，更注重渗透研究数学问题的一些方法和思想．例如归纳与概括、特殊与一般、知识的系统化等数学思想．这样设计也为后面的教学，为学生能力的开展产生明显的正迁移．
2．本节课各个环节的设计都以学生的活动为主，让学生充分参与到教学中，主动地获取知识．既让学生在活动中寻找快乐，又培养了学生的合作精神．让学生的智力因素与非智力因素都得到了充分的开展．
3．本节课注重开展学生的多种思维方式．针对对某个问题的不同意见，组织他们展开讨论．如学习代数式的辨析时，也让局部学生碰点“钉子〞，然后组织他们交流各自的体会．通过这种信息交流，让每个学生的眼、耳、口、手、脑都动起来．从而使学生的思维畅通，这样也有利于最大限度地调动全班学生的思维主动性，切实保证学生在教学双边活动中的主体地位．
一、课题§
二、教学目标
1．使学生在理解线段概念的根底上，了解线段的长度可以用正数来表示，因而线段可以度量、比拟大小以及进行一些运算．使学生对几何图形与数之间的联系有一定的认识，从而初步了解数形结合的思想．
2．使学生学会线段的两种比拟方法及表示法．
3．通过本课的教学，进一步培养学生的动手能力、观察能力．
三、教学重点和难点
对线段与数之间的关系的认识，掌握线段比拟的正确方法，是本节的重点，也是难点．
四、教学手段
现代课堂教学手段
五、教学方法
启发式教学
六、教学过程
〔一〕、复习线段的概念，引出线段的长度的度量和表示
1．学生动手画出(1)直线AB．(2)射线OA．(3)线段CD．
2．提出问题：能否量出直线、射线、线段的长度？(如果有学生将直线、射线也量出了长度，借此复习直线和射线的概念．)
3．提出数与形的问题：线段是一个几何图形，而线段的长度可用一个正数表示．这就是数与形的结合．
4．线段的两种度量方法：(1)直接用刻度尺．(2)圆规和刻度尺结合使用．(教师可让学生自己寻找这两种方法)
5．教师再讲表示法：线段AB=7cm．
二、通过实例，引导学生发现线段大小的比拟方法
教师设计以下过程由学生完成．
1．怎样比拟两个学生的身高？提出为什么要站在一起，脚底要在一个平面上？
2．怎样比拟两座大山的上下？只要量出它们的高度．
由此引导学生发现线段大小比拟的两种比拟方法：
重叠比拟法将两条线段的各一个端点对齐，看另一个端点的位置．教师为学生演示，步骤有三：
(1)将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合．
(2)线段AB沿着线段CD的方向落下．
(3)假设端点B与端点D重合，那么得到线段AB等于线段CD，可以记AB=CD．
假设端点B落在D上，那么得到线段AB小于线段CD，可以记作AB＜CD．
假设端点B落在D外，那么得到线段AB大于线段CD，可以记作AB＞CD．
如图1-6．
教师讲授此局部时，应用几个木条表示线段AB和线段CD，这样可以更加直观和形象．也可以用圆规截取线段的方法进行．
数量比拟法用刻度尺分别量出线段AB和线段CD的长度，将长度进行比拟．可以用推理的写法，培养学生的推理能力．写法如下：
因为量得AB=××cm，CD=××cm，
所以 AB=CD(或AB＜CD或AB＞CD)．
总结：现在我们学会了比拟线段的大小，还会比拟什么？学生可以答复出，可以比拟数的大小，进而再问：数的大小如何比拟？(数轴)再问：比拟线段的大小与比拟数的大小有什么联系？
引导学生得到：比拟线段的大小就是比拟数的大小．
三、应用实例，变式练习：
1．如图1-7，量出以以下图形中各条线段的长度，比拟它们的大小．并比拟一个三角形中任意两边的和与第三边的关系．可以得出什么结论？
2．如图1-8，根据图形填空．
AD=AB+______+______，AC=______+______，CD=AD-______．
3．如图1-9，线段AB，量出它的长度并找出它的中点、三等分点、四等分点．
4．如图1-10，根据图形填空，(1)AB=______+______+______．(2)AB-a=______+______．
〔四〕、小结
1．教师提问：怎样表示线段的长度？怎样比拟线段的大小？通过本节课你对图形与数之间的关系有什么了解？
2．根据学生答复的情况，教师重点总结数与形的结合以及比拟线段大小的两种方法．
七、练习设计
p．18，1．2题．p21，2．3．4题．
八、板书设计
九、教学后记
1．本课的教学时间为1课时45分钟．
2．本课时设计的主导思想是：将数形结合的思想渗透给学生，使学生对数与形有一个初步的认识．为将来的学习打下根底，这节课是一堂起始课，它为学生的思维开拓了一个新的天地．在传统的教学安排中，这节课的地位没有提到一定的高度，只是交给学生比拟线段的方法，没有从数形结合的高度去认识．实际上这节课大有可讲，可以挖掘出较深的内容．在教知识的同时，交给学生一种很重要的数学思
想．这一点不容无视，在日常的教学中要时时注意．
3．学生在小学时只会用圆规画圆，不会用圆规去度量线段的大小以及截取线段，通过这节课，学生对圆规的用法有一个新的认识．
4．在课堂练习中安排了度量一些三角形的边的长度，目的是想通过度量使学生对“两点之间线段最短〞这一结论有一个感性的认识，并为下面的教学做一个铺垫．
5．为防止本节课的枯燥，可以用提问的形式，出现悬念．如：开始的提问“线段是几何图形，它与数字有什么联系？〞“在我们学过的知识和生活中，什么东西可以比拟大小？〞等．这样就会调动学生的学习的积极性，提高他们的学习兴趣，积极思维，使课堂的气氛更加活泼．
6．如果感觉课堂密度小，还可以增加一些培养动手能力的题．如：
(1)量一量老师的大三角板中的等腰三角形各边的长，然后再量一量自己手中同样的小三角板各边的长，算一算相等的角所对的边长度的比值，是否相等．(为相似三角形的内容做一些铺垫)
(2)量一量课桌四条边的长，再量一量课本四条边的长，算一算长边与长边的比、短边与短边的比．(得到角相等的图形，边不一定成比例)
(3)在同一时间下，两棵高矮不同的大树的影子的长度自己量出，然后比拟大小，想一想这两棵树哪一棵高？(对相似三角形的边角关系有一定的感性认识)以上的三个题对学有余力的同学是很好的认识数学世界的实例．使本节课的内容更加生动丰富，课堂气氛更加活泼．
一、课题§
二、教学目标
1．使学生在理解线段概念的根底上，了解线段的长度可以用正数来表示，因而线段可以度量、比拟大小以及进行一些运算．使学生对几何图形与数之间的联系有一定的认识，从而初步了解数形结合的思想．
2．使学生学会线段的两种比拟方法及表示法．
3．通过本课的教学，进一步培养学生的动手能力、观察能力．
三、教学重点和难点
对线段与数之间的关系的认识，掌握线段比拟的正确方法，是本节的重点，也是难点．
四、教学手段
现代课堂教学手段
五、教学方法
启发式教学
六、教学过程
〔一〕、复习线段的概念，引出线段的长度的度量和表示
1．学生动手画出(1)直线AB．(2)射线OA．(3)线段CD．
2．提出问题：能否量出直线、射线、线段的长度？(如果有学生将直线、射线也量出了长度，借此复习直线和射线的概念．)
3．提出数与形的问题：线段是一个几何图形，而线段的长度可用一个正数表示．这就是数与形的结合．
4．线段的两种度量方法：(1)直接用刻度尺．(2)圆规和刻度尺结合使用．(教师可让学生自己寻找这两种方法)
5．教师再讲表示法：线段AB=7cm．
二、通过实例，引导学生发现线段大小的比拟方法
教师设计以下过程由学生完成．
1．怎样比拟两个学生的身高？提出为什么要站在一起，脚底要在一个平面上？
2．怎样比拟两座大山的上下？只要量出它们的高度．
由此引导学生发现线段大小比拟的两种比拟方法：
重叠比拟法将两条线段的各一个端点对齐，看另一个端点的位置．教师为学生演示，步骤有三：
(1)将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合．
(2)线段AB沿着线段CD的方向落下．
(3)假设端点B与端点D重合，那么得到线段AB等于线段CD，可以记AB=CD．
假设端点B落在D上，那么得到线段AB小于线段CD，可以记作AB＜CD．
假设端点B落在D外，那么得到线段AB大于线段CD，可以记作AB＞CD．
如图1-6．
教师讲授此局部时，应用几个木条表示线段AB和线段CD，这样可以更加直观和形象．也可以用圆规截取线段的方法进行．
数量比拟法用刻度尺分别量出线段AB和线段CD的长度，将长度进行比拟．可以用推理的写法，培养学生的推理能力．写法如下：
因为量得AB=××cm，CD=××cm，
所以 AB=CD(或AB＜CD或AB＞CD)．
总结：现在我们学会了比拟线段的大小，还会比拟什么？学生可以答复出，可以比拟数的大小，进而再问：数的大小如何比拟？(数轴)再问：比拟线段的大小与比拟数的大小有什么联系？
引导学生得到：比拟线段的大小就是比拟数的大小．
三、应用实例，变式练习：
1．如图1-7，量出以以下图形中各条线段的长度，比拟它们的大小．并比拟一个三角形中任意两边的和与第三边的关系．可以得出什么结论？
2．如图1-8，根据图形填空．
AD=AB+______+______，AC=______+______，CD=AD-______．
3．如图1-9，线段AB，量出它的长度并找出它的中点、三等分点、四等分点．
4．如图1-10，根据图形填空，(1)AB=______+______+______．(2)AB-a=______+______．
〔四〕、小结
1．教师提问：怎样表示线段的长度？怎样比拟线段的大小？通过本节课你对图形与数之间的关系有什么了解？
2．根据学生答复的情况，教师重点总结数与形的结合以及比拟线段大小的两种方法．
七、练习设计
p．18，1．2题．p21，2．3．4题．
八、板书设计
九、教学后记
1．本课的教学时间为1课时45分钟．
2．本课时设计的主导思想是：将数形结合的思想渗透给学生，使学生对数与形有一个初步的认识．为将来的学习打下根底，这节课是一堂起始课，它为学生的思维开拓了一个新的天地．在传统的教学安排中，这节课的地位没有提到一定的高度，只是交给学生比拟线段的方法，没有从数形结合的高度去认
识．实际上这节课大有可讲，可以挖掘出较深的内容．在教知识的同时，交给学生一种很重要的数学思想．这一点不容无视，在日常的教学中要时时注意．
3．学生在小学时只会用圆规画圆，不会用圆规去度量线段的大小以及截取线段，通过这节课，学生对圆规的用法有一个新的认识．
4．在课堂练习中安排了度量一些三角形的边的长度，目的是想通过度量使学生对“两点之间线段最短〞这一结论有一个感性的认识，并为下面的教学做一个铺垫．
5．为防止本节课的枯燥，可以用提问的形式，出现悬念．如：开始的提问“线段是几何图形，它与数字有什么联系？〞“在我们学过的知识和生活中，什么东西可以比拟大小？〞等．这样就会调动学生的学习的积极性，提高他们的学习兴趣，积极思维，使课堂的气氛更加活泼．
6．如果感觉课堂密度小，还可以增加一些培养动手能力的题．如：
(1)量一量老师的大三角板中的等腰三角形各边的长，然后再量一量自己手中同样的小三角板各边的长，算一算相等的角所对的边长度的比值，是否相等．(为相似三角形的内容做一些铺垫)
(2)量一量课桌四条边的长，再量一量课本四条边的长，算一算长边与长边的比、短边与短边的比．(得到角相等的图形，边不一定成比例)
(3)在同一时间下，两棵高矮不同的大树的影子的长度自己量出，然后比拟大小，想一想这两棵树哪一棵高？(对相似三角形的边角关系有一定的感性认识)以上的三个题对学有余力的同学是很好的认识数学世界的实例．使本节课的内容更加生动丰富，课堂气氛更加活泼．。