专题：锐角三角函数的概念及性质(答案)有答案

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——高斯
专题：三角函数的概念及性质
考点一正切与坡度
1．正切的定义：在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边
的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝.
2．坡度定义：如图，坡面的铅直高度和
水平长度的比叫坡度，即坡角的正切
值，坡度一般用i表示．即：
i＝tanα＝h l.
【例1】1．如图，点A(2，t)在第一象限，OA与x轴所夹锐角为α，tanα＝2，则t的值为(A)
A．4B．3 C．2D．1
2．如图，河堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶3，则AB的长为(A)
A．12米B．43米C．53米D．63米3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AC
＝23，AB＝32，则tan∠BCD的值为
2
2．
4．如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m.如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为 5 m．
5．如图，已知矩形ABCD的两边AB：BC=4∶5，E是AB上的一点，沿CE将△EBC向上翻折，若点B恰好落在边AD的点F
上，则tan∠DCF＝3
4.
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，如
果AD＝8，AB＝10，BC＝9，则tan∠ADE的值为3
8．
考点二正弦、余弦
1．正弦的定义：在Rt△ABC(∠C＝90°)中，把锐角A的对边
与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A.即sin A＝
∠A的对边
斜边
.
2．余弦的定义：在Rt△ABC(∠C＝90°)中把锐角A的邻边
与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A.即cos A＝
∠A的邻边
斜边
.
【例2】1．如图，点A为∠α边上一点，作AC⊥BC，CD⊥AB，
下列用线段比表示cosα的值，错误的是(C)
A．
BD
BC B．
BC
AB C．
AD
AC D．
CD
AC
2．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A的
值为(B)
A．
1
2B．
5
5C．
10
10D．
25
5
3．Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，则cos A=
5
5．
4．如图，在矩形ABCD中DE⊥AC于点E，设∠ADE＝α，且
cosα＝
3
5，AB＝4，则AD的长为
16
3.
5．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的每个
顶点都在网格的交点处，则sin A＝____
3
5____.
6．如图，在△ABC中，∠B＝30°，点P是AB上一点，AP＝
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2BP ，PQ ⊥BC 于点Q ，连接AQ ，则cos ∠AQC =
27
7
.
7．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝4
5
，BC ＝8，D 是
AB 的中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为E . (1)求线段CD 的长； (2)求cos ∠DBE 的值．
解：(1)在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°，
∴sin A ＝BC AB ＝4
5
.
又∵BC ＝8，∴AB ＝10.
∵D 是AB 的中点，∴CD ＝1
2
AB ＝5.
(2)在Rt △ABC 中，∵AB ＝10，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6. ∵D 是AB 的中点，
∴BD ＝5，S △BDC ＝S △ADC ，
∴S △BDC ＝12S △ABC ，即12CD ·BE ＝12·1
2AC ·BC ，
∴BE ＝6×82×5＝24
5
.
在Rt △BDE 中，cos ∠DBE ＝BE BD ＝24
55＝24
25
.
考点三 特殊角三角函数值 1．特殊角30°、45°、60°的三角函数值：
α 30° 45° 60° sin α 1
2 22 32 cos α 32 22 12 tan α
33
1
3
【例3】1．计算sin 245°＋cos30°·tan60°，其结果是( A )
A ．2
B ．1
C ．52
D ．5
4
2．式子2cos30°－tan45°－1
－tan60°2的值是( B ) A ．23－2 B ．0 C ．2 3 D ．2
3．在△ABC 中，若sin B ＋C 2＝32，则cos A ＝ 1
2
.
4．α为锐角，当1
1－tan α无意义时，则sin(α＋15°)＋cos(α－15°)
的值为 3 .
5．已知“和角正弦”公式：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，
则sin75°＝ 2＋6
4
．
6．计算： (1)tan30°＋sin60°1－cos60°；
解：原式＝33＋321－
12
＝536×2＝53
3.
(2)()
－12
－2
＋2cos60°－(－1)2018－|13－4|.
解：原式＝4＋1－1－4＋13＝13.
考点四 三角函数的性质
1．锐角三角函数的性质：其中0°＜α＜90° (1)互余关系：若A +B =90º，则sin A cos B ，sin B cos A ， tan A ·tan B= ．
(2)范围： ＜sin α＜ ， ＜cos α＜ ，tan α ； (3)增减：当0°＜α＜90°，sin α、tan α随着α的增大而 ， cos α 随着α 的增大而 ；
(4)商数关系： ； (5)平方关系： ；
【例4】1．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的三个内角，则sin
等于( A )
A ．cos
B ．sin
C ．cos C
D ．cos
2．若tan x ·tan10°＝tan45°，则锐角x 等于( C ) A ．45° B ．10° C ．80° D ．35°
3．如果α是锐角，cos α＝34，则sin(90°－α)＝ 3
4
.
( )
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4．比较大小：sin 42° ＜ cos 42°、
5．计算：sin46°·cos44°＋cos46°·sin44°＝ 1 6．若
，则tan A 的值为 2 .
7．观察下列各式：
①sin30°＝12，cos60°＝1
2；
②sin45°＝22，cos45°＝2
2；
③sin60°＝32，cos30°＝3
2
.
(1)根据上述规律，计算：sin 2α＋sin 2(90°－α)＝ 11 ； (2)计算：sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°.
解：原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 2
88°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892
.
※课后练习
1．如果cos α＝3
5
，∠α＋∠β＝90°，那么cos β的值为( C )
A ．25
B ．35
C ．45
D ．34
2．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为( C ) A ．1∶2 B ．3∶2
C ．1∶ 3
D ．3∶1
3．已知sin α<1
2
，那么锐角α的取值范围为( D )
A ．60°<α<90°
B ．0°<α<60°
C ．30°<α<90°
D ．0°<α<30°
4．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则tan B ′的值为( B ) A ．12
B ．13
C ．14
D ．
24
5．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，将△ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，EF 为折痕．若AE ＝3，则sin ∠BFD 的值为( A )
A ．13
B ．223
C ．24
D ．35
6．已知α，β为锐角，且sin(90°－α)＝13，sin β＝1
4
，则
cos 90°－βcos α的值为 3
4 ．
7．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若CD ＝
2.5，AC ＝3，则tan B 的值是 3
4
．
8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8.若∠BPC ＝1
2
∠BAC ，
则tan ∠BPC ＝ 4
3
.
9．如图，在△ABC 中，AE ⊥BC 于点E ，F 为AB 边上一点，
如果BF ＝2AF ，CF ＝10，sin ∠BCF ＝3
5
，则AE 的值为 9 ．
10．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，cos A ＝3
5
，BE ＝
4，则tan ∠DBE 的值是 22 .
( )
11．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD ，AE ，DF 为梯形的高，其中迎水坡AB 的坡角α＝45°，坡长AB ＝62米，背水坡CD 的坡度i ＝1∶3(i 为DF 与FC 的比值)，求背水坡CD 的坡长．
解：CD 的坡长为12米
12．计算求值： (1)cos60°－
2
2
sin45°＋|－3tan30°| 原式＝12－22×22＋3×3
3
＝12－1
2＋ 3 ＝ 3.
(2)
46
sin 46tan ·sin4480cos 10sin 2
原式＝1
(3)cos 21°+cos 22°+…+cos 289°
原式=44
13．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，
cos B ＝5
13
，BC ＝26.求：
(1)cos ∠DAC 的值； 解：在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，
cos B ＝AB BC ＝5
13，BC ＝26，
∴AB ＝10，
∴AC ＝BC 2－AB 2＝262－102＝24 .∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ，
∴cos ∠DAC ＝cos ∠ACB ＝AC BC ＝12
13
.
(2)线段AD 的长．
解：过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E . ∵AD ＝DC ，
∴AE ＝EC ＝1
2
AC ＝12，
在Rt △ADE 中，cos ∠DAE ＝AE AD ＝12
13
，
∴AD ＝13.
14．如图，△ABC 中，AD 是边BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC . (1)求证：AC ＝BD ；
解：在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，
∵tan B ＝AD BD ，cos ∠DAC ＝AD
AC
，
tan B ＝cos ∠DAC ， ∴AD BD ＝AD AC ， ∴AC ＝BD .
(2)若sin C ＝12
13
，BC ＝12，求AD 的长．
解：在Rt △ADC 中，由sin C ＝12
13
，
可设AD ＝12k ，则AC ＝13k ，CD ＝5k ， 由(1)知，BD ＝AC ＝13k ，
∴13k ＋5k ＝12，k ＝2
3
，
∴AD ＝12×2
3
＝8.
15．如图，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，BC CD ＝3
2
，E 是AB 的
中点，tan D ＝2，CE ＝1，求sin ∠ECB 的值和AD 的长．
解：∵AC ⊥BD ，
∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°. ∵E 是AB 的中点，CE ＝1， ∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2，
∴∠B ＝∠ECB . ∵BC CD ＝32
， ∴设BC ＝3x ，则CD ＝2x . 在Rt △ACD 中，tan D ＝2， ∴AC
CD
＝2， ∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，
由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ，
∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝4
5.
由AB ＝2，得x ＝2
5，
∴AD ＝AC 2＋CD 2 ＝（4x ）2＋（2x ）2
＝25x ＝25×25＝4 5
5
.。