ARCH与GARCH模型

ARCH 与GARCH 模型
1. 自回来条件异方差模型
3.1.1问题的提出
对异方差误差分布的修正能够导致更加有效的参数估量。

例如在回来方程
ε
βββt
t
t
t
x x y +++=33
22
1
（3.1.1）
中的
ε
t
的方差可能与x
t
22成正比，在这种情形下，我们能够使用加权最小二乘法，即令方程的两边同时除以变量
x
t
2，然后用一般最小二乘法估量变化后的回来方程
εβββ*233
2
21
21
t
t
t
t
t
t
x
x x x y +++= （3.1.2）
在有些应用场合下，能够认为误差项是随时刻变化的同时依靠于过去的误差大小。

通货
膨胀以及股票市场收益都属于这种情形。

在这些实际应用中，常常有大的误差与小的误差成群显现的情形，换句话说，存在着一种专门的异方差形式，回来误差的方差依靠于过去不久误差的变化程度。

一个被广泛采纳以解决这类异方差模型是由Robert Engle 研究进展出来的，他认为用一个自回来条件异方差模型（Autoregressive conditional heteroscedasticity model ，简计为ARCH 模型）会提高有效性。

3.1.2定义
一样的，公式（1）中随机误差项t ε的方差2
t σ能够依靠于任意多个滞后变化量i
t -ε（i=1,2,…p ），记作ARCH （p ）
εαεαεαασ
2
22221102.......p t p t t t
---++++= （3.1.3）
注意：
（1） 为了保证在给定i t -2
ε
条件下，
02≥t σ，就必须要求0≥α（p ,,1,0 =α）
； （2） 要保证误差序列t ε的平稳性，系数必须满足：121 p ααα++。

3.1.3检验
3.1.3.1Breusch-Pagan 检验 在同方差的假设下条件下：
SSR/2~X 2(1)
依照Eviews3.1 OLS 处理结果，可依照下式运算检验的统计量SSR/2
SSE
SSR SSR
SST SSR R +=
=
2 查自由度为1时的2
χ分布表，找出给定显著性水平α条件下临界值，比较检验统计量与临界值的大小，以确定同意依旧拒绝模型同方差的零假设
3.1.3.2拉格朗日乘子检验法（ＬＭ）
差不多讨论过两种假设检验法：F 检验（Wald 检验）法(第5章)和似然比检验法。

Wald 检验从无限制条件模型开始，检验给模型加上限制条件(即一些回来参数等于0)是否显著地减弱了回来模型的说明能力。

依照Wald 检验的观点，原假设由有限制条件模型给定，而备择假设由无条件模型给定。

在线性回来模型情形下，显著性由F 检验来评估。

似然比检验法检验的也是关于由有条件模型给定的原假设，然而这一检验却是用2
χ分布完成的。

由于似然比(LR)检验法的基础是极大似然原则，因此它是专门有吸引力的检验法。

拉格朗日乘数(LM)检验由有限制条件模型限定的原假设动身，检验向备择假设方向的变化能否显著地提高有限制条件模型的说明能力。

拉格朗日乘数检验法以有条件极大化技术为基础，其中拉格朗日乘数是用来估量限制条件对参数极大似然估量的阻碍程度的。

令UR β为无条件模型参数的极大似然估量，R β为有条件模型参数的极大似然估量。

目标是在限制条件UR β=R β下求lnL(UR β)的极大，这就等价于求下式的极大
lnL(UR β)－λ（UR β－R β）
其中λ是拉格朗日乘数。

专门明显，限制条件成立时那个函数达到极大值。

拉格朗日乘数度量的是限制条件的边际“价值”：λ越大，限制条件对lnL(UR β)的极大值阻碍就越大。

要想明白其中的道理，注意到极大化的一阶偏导数条件之一是
()λβ=∂∂UK
L ln
因此λ是似然函数的斜率。

假如限制条件成立的原假设不能被拒绝，则有条件的参数会与无条件的参数专门接近，而且λ的值会较小。

然而，假如限制条件显著地不成立，则加上限制条件的缺失，也确实是λ，就会更大。

因此，基于λ大小的拉格朗日乘数检验法有时就称为计数检验（score test ）。

拉格朗日乘数检验法能够专门容易地用于考虑是否在回来模型中加入另外的说明变量的专门情形。

假如差不多估量了有条件模型
R q K q k X X Y εβββ++++=-- 221 (3.1.4)
而且正在考虑可能加入另外q 个变量中的部分或全部变量的无条件模型
R U k k q K q k X X X Y εββββ++++++=-- 221 (3.1.5)
关于q 个变量中每一个变量的系数差不多上零的假设的拉格朗日乘数检验第一运算有条件
模型(10—17)的残差。

专门地，
如：q
k q k R X X Y ------=βββεˆˆˆˆ221 (3.1.6) 然后考虑将这些残差对无条件模型中的所有说明变量进行回来
μγγγε
++++=k k R X X 221ˆ 假如所有这些另外加上的变量差不多上“无关紧要”的，则当我们从有条件模型变到无条件
模型时，q 个多出来的变量的系数应当为0。

然而，假如无条件模型中多包含的变量中有些对r 有决定性阻碍的话，我们认为它们的系数应当是统计上显著的，因此方程(3.1.6)的估量会专门好地拟合数据。

拉格朗日乘数检验法依靠于回来方程(3.1.6)的显著性检验。

专门地拉格朗日乘数检验统计量
LM=NR 20 （3.1.7） 服从自由度为q(限制条件个数)的2
χ分布。

N 为样本容量，2
0R 是回来方程(10-19)的2
R 。

假如运算出的检验统计值大于2χ分布的临界值，我们就拒绝有条件模型成立的原假设。

拒绝原假设确实是认为有些另外的变量应当被包含在模型之中。

对模型(3.1.6)的t 统计量的研究能够说明应该选择哪些变量，然而没有什么公认的评判方法。

拉格朗日乘数检验法常常用来对异方差进行检验，确实是White 检验。

为了略为深化那个地点的讨论，假设估量了一个线性回来模型，然而担忧误差项方差是否是两个外生变量x 和z 的函数。

White 建议异方差由下面的误差项方差的函数所确定：
μββββββσ++++++=XZ Z X Z X 224232102 (3.1.8)
不存在异方差的原假设为方程(10-21)中的系数满足054321=====βββββ。

为了用White 检验，用原始模型的残差平方和作为2
σ的估量。

按照拉格朗日乘数检验法，用方程(3.1.8)的回来运算NR 2，它应当服从自由度为5的2
χ分布，其中数5是原假设中限制条件的个数。

实际操作：对最小平方估量的残差平方进行辅助回来，用2
t e 的滞后项的平方2
2,1p t t e e -- 和常数项作回来，然后按辅助回来结果显示的R 2运算LM 统计量。

在异方差的原假设H 0:
021====p ααα 的前提下，NR 2具有渐近()p 2χ分布，当NR 2大于()p 2χ分布的临
界值时，同意模型随机误差项中存在ARCH 的阻碍作用。

3.1.4方差模型中的p+1个参数的参数估量
3.1.
4.1极大似然估量法 3.1.4.2广义最小平方法 步骤：
（1） OLS 估量原模型，估量参数β，得到模型残差e t ；
（2） 用2
t e 对2
1-t e ，2
2-t e …，2p t e -和常数项作回来，得到系数的估量p ααα,,,10 ，
以及2t e 的拟合值2
ˆt e
； （3） 用拟合值2
ˆt e
估量原模型随机项t ε的方差2
t σ，以及原模型参数β的广义最小平方估量值。

3.1.2、GARCH 模型
1986年，波勒斯勒夫（Bollerslev ）提出了条件方差函数（2）的拓展形式，即广义ARCH 模型——GARCH （Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity ），这被证明是对实际工作的开展专门有价值的一步。

GARCH 模型的条件方差表达如下 ：
∑∑=-=-++=p
j j t j q
i i
t i t
1
21
202σβε
αασ （3.1.9）
为保证条件方差0>t σ，要求
p
j q i j i ,,1,0,,1,00
0 =≥=≥>βαα （3.1.10）
用GARCH （p, q ）来表示阶数为p 和q 的GARCH 过程。

相关于ARCH ，GARCH 模型的优点在于：能够用较为简单的GARCH 模型来代表一个高阶ARCH 模型，从而使得模型的识别和估量都变得比较容易。

其缘故是：常常有理由认为
ε
t
的方差依靠于专门多时刻之前的变化量，但如此的话，我们必须估量专门多参数，而
这一点专门难做到。

我们能意识到方程（3）只是是σ
2t
的分布滞后模型，我们就能够用一
个或两个
σ
2t
的滞后值代替许多
ε
t
的滞后值，这确实是广义自回来条件异方差模型
（generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model ，简计为GARCH 模型），GARCH 模型也能够用极大似然估量法进行估量。

最简单的GARCH 模型是GARCH （1，1）模型为：
σλε
αασ2
1121
1
2--++=t t t
（3.1.11）
误差项的方差现有三个组成部分：一个常数项，前一时刻的变化项（ARCH 项），以及前一
时刻的方差（GARCH 项）。

因为事实上质上是一个几何滞后模型，因此只要λ1
小于1，能
够把（3.1.11）式改写为
ε
λαλα
σ21
1
1
1
1
2
1j
t j j t
-∞
=-∑+-= （3.1.12）
换句话说，此刻的方差以几何下降的权重依靠于过去所有的误差变化量。

一样情形下，我们能够有任意多个ARCH 项和GARCH 项，GARCH （p ，q ）模型表示为：
σλσλσλεαεαε
αασ2
2
222
112
2
2221
1
2..............q t q t t p t p t t t
------++++++++= （3.1.13）
最后，等式（6）还能够进一步推广，能够包括一个或多个外生或预定变量作为误差项方差的其他决定因素。

例如，x
t
3是一个外生变量，我们能够把它作为下列GARCH （1，1）
模型的一部分：
x
t
t t t
31
2
112
1102γ
σλεαασ
+++=-- （3.1.14）
然而，往
σ
2t
的方程中添加外生或预定变量时必须小心。

假如
x
t
3取负值，可能会造成
方差关于某些观测值取负值。

3.1.3、(G)ARCH －M 模型
由恩格尔（Engle ）、利立安（Lilien ）和罗宾斯（Robins ）提出的ARCH-M （ARCH-in-mean ）模型提供了一个估量和检验时变型风险补偿的新方法，正如我们能够在描述σ2t
的方程右边
添加外生或预定变量一样，我们也能够在回来方程（1）的右边添加σ2t
或标准差σt。

比如，
假如回来的目的是要说明股票或债券等金融资产的收益，我们就能够如此做，其缘故在于人们认为金融资产的收益应当与其风险成正比。

例如，我们能够认为某股票指数（如S&P500指数）的票面收益（return t
）依靠于一个常数项、通货膨胀率以及条件方差：
εσβββt
t
t
t
return +++=2
3
2
1
inf （3.1.15）
然后我们能够把σ2t 的方差看成是一个（3.1.7）式那样的GARCH （p ，q ）过程。

这种类型的模型被称为ARCH －M （ARCH －in －mean ）模型。

例1.长期利率的GARCH 模型应用（计量经济模型与经济推测P180,例10.4）
我们将为AAA 企业债券利率建模，建立它与短期无风险利率（三个月国债利率）的现值和过去值以及工业生产指数和批发价格通货膨胀率之间的关系。

图1显示的是1960年～1996年初的AAA 企业债券利率和三个月国债利率。

从图1能够看到，企业债券利率一样都高于国债利率，而且短期利率的波动比国债要小。

企业债券反映的是对国债利率以后值的期望（因此它应当比国债利率的波动小），而且包含了反映违约可能性的较小风险溢价。

-0.010
-0.0050.0000.0050.0100.00
0.050.100.15
0.2055
60
65
70
75
80
85
9095
图3.1.1：3个月国债利率和AAA 企业债券利率
我们将AAA 企业债券（RAAA ）对国债利率的现值和滞后值（R3），工业生产指数的现值和滞后值（IP ），所有商品生产者价格指数的增长率（GPW ），以及AAA 企业债券利率的滞后值做回来（滞后因变量的加入是模型成为几何下降的滞后结构，使其它说明变量的短期波动变得平滑）。

通过一些试验以后，选择下面用一般最小二乘估量法得到的方程： 3332
1
028086.0265632.0274857.0000354.0R R R RAAA t t t
t
--+-+=
RAAA GPW IP IP t t
t t 11964353.0033299.0000351.0000353.0--++-+
997197.02
=R
s ＝0.001656 DW ＝1.481279 对数似然值＝2760.615 （*）
图3.1.2：最小二乘估量的运算结果
图3.1.3显示的是该回来的残差。

我们注意到波动的“成群”现象，波动在一些较长的时刻内会专门小（例如1962年～1967年），在其他一些较长的时刻内会专门大（例如1980年～1988年）。

这些情形都说明其误差项具有条件异方差。

因此能够考虑使用ARCH或GARCH模型表示。

-0.008
-0.004
0.000
0.004
0.008
0.012
55
60
65
70
75
80
85
90
95
图3.1.3：AAA 企业债券回来残差
为探究如此做的可能性，用一个简单GARCH （1，1）模型表示误差项的方差，并对方程（*）重新回来，得到以下的结果：
33
321
028086.0265632.0274858.0000355.0R R R RAAA t t t
t
--+-+=
RAAA GPW IP IP t t
t t 11964354.0033299.0000350.0000353.0--++-+
997197.02
=R
s ＝0.001660 DW ＝1.481227 对数似然值＝2791.006 （**）
图3.1.4：GARCH （1，1）的运算结果
注意到采纳了误差项方差的GARCH 表达式对所有的系数估量几乎没有什么阻碍。

另外，GARCH 方程中只有一个系数是统计显著的。

还应该注意到，回来的标准误差增大了（从0.001656到0.001660）。

这并不意味着模型没有说明利率，他只说明一个事实，即用一般最小二乘估量有异方差误差的方程时，估量的标准误差是有偏的。

为了对异方差的形式做进一步的探讨，我们在前面的GARCH 模型中加入了一个外生变量。

保持GARCH （1，1）结构，然而在该方程中加入3个月国债利率的滞后变化量，该模型的估量结果如下：
33
321
028085.0265632.0274857.0000353.0R R R RAAA t t t
t
--+-+=
RAAA GPW IP IP t t t t 11964354.0033299.0000350.0000353.0--++-+
997197.02
=R
s ＝0.001662 DW ＝1.481128 对数似然值＝2843.775
(***)
3个月国债利率滞后值的变化对回来误差项方差的变化有显著的说明作用。

此外，ARCH 项和GARCH项系数现在差不多上高度统计显著的。

最后在回来方程中一些系数的大小有了尽管微小然而仍能注意到的变化，许多t统计值都变大了。

例2．股票收益（计量经济模型与经济推测P178,例10.5）
众所周知，股票收益不仅依靠于其风险的大小，而且还受到其他专门多因数阻碍，比如贴现率的变化以及批发价格的通胀率等。

本文我们将研究S&P500股票指数的月收益，来分析股票收益的其他阻碍因数。

在回来模型中我们引入理论上应当减少股票收益的两个变量：3个月国债利率的变化△R3t ，以批发价格通胀率GPW t。

因为股票价格应该反映期望以后收益的贴现值，因此贴现率（此例中确实是国债利率）的增加应当减少现值，因此我们期望在做回来时，国债利率变化的系数为负。

另外，批发价格通胀率能够减少税后资产收益，因此我们期望它与股票收益是负相关的。

为了说明不同的问题，在此文中我们使用了四个模型，第一我们用Citibase关于S&P500指数的数据（FSPCOM）和S&P500指数产生的红利（FSDXP）运算月收益RETURNSP，RETURNSP t=(FSPCOM t-FSPCOM t-1)/FSPCOM t-1+0.01FSDXP t/12 第一，我们做一个简单的最小二乘估量，使用Eviews3.1软件进行运算，得到回来结果如下：（注：我们使用DDD代表△R3t）
Dependent Variable: RETURNSP
Method: Least Squares
Date: 04/09/04 Time: 10:02
Sample(adjusted): 1960:02 1996:02
Included observations: 433 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.012028 0.001755 6.855222 0.0000
DDD -0.829997 0.306072 -2.711773 0.0070
GPW -0.854717 0.234959 -3.637724 0.0003
R-squared 0.055120 Mean dependent var 0.009266
Adjusted R-squared 0.050725 S.D. dependent var 0.033816
S.E. of regression 0.032947 Akaike info criterion -3.980928
Sum squared resid 0.466767 Schwarz criterion -3.952725
Log likelihood 864.8710 F-statistic 12.54203
Durbin-Watson stat 1.520197 Prob(F-statistic) 0.000005
由上表，我们得到一般最小二乘估量的回来方程为：
RETURNSP t=0.0120-0.8300△R3t-0.8547GPW t
R^2=0.0551 s=0.03382 DW=1.5202 对数似然值：864.9 我们注意到，上面的运算结果中R^2=0.0551，其值比较小，说明股票收益波动专门大，这些收益的方差专门少能被我们所引入的变量所说明，这是因为我们只引入了两个变量，股票收益的另一阻碍因数即风险没有包括进来，但△R3t和GPW t的系数具有我们所期望的符号，且差不多上统计显著的。

0.15
0.10
0.05
0.00
-0.05
-0.10
-0.15
上图为上述回来的残差，那个地点也存在着波动的“成群”现象。

其次，我们做一个GARCH(1，1)模型，即误差项中包含前一时刻的变化量（ARCH项）以及前一时刻的方差（GARCH项）。

运算结果如下：
Dependent Variable: RETURNSP
Method: ML - ARCH
Date: 04/09/04 Time: 10:04
Sample(adjusted): 1960:02 1996:02
Included observations: 433 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 13 iterations
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
C 0.012727 0.001555 8.184483 0.0000
DDD -1.092432 0.299419 -3.648512 0.0003
GPW -0.801296 0.182970 -4.379376 0.0000
Variance Equation
C 0.000187 7.80E-05 2.395270 0.0166
ARCH(1) 0.186330 0.046405 4.015312 0.0001
GARCH(1) 0.647314 0.101511 6.376787 0.0000
R-squared 0.052833 Mean dependent var 0.009266
Adjusted R-squared 0.041742 S.D. dependent var 0.033816
S.E. of regression 0.033103 Akaike info criterion -4.047044
Sum squared resid 0.467897 Schwarz criterion -3.990637
Log likelihood 882.1851 F-statistic 4.763642
Durbin-Watson stat 1.516388 Prob(F-statistic) 0.000301
得到回来方程为：
RETURNSP t=0.0127-1.0924△R3t-0.8013GPW t
σ^2=0.0002+0.1863(εt-1)^2+0.6473(σt-1)^2
R^2=0.0528 s=0.0338 DW=1.5164 对数似然值：882.2
从上表结果中，我们看到ARCH和GARCH项的系数的差不多上统计显著的。

尽管与第一种方法比较回来方程中的系数有专门大变化，然而仍旧具有我们所期望的负号，而且统计上是显著的。

而且，我们还注意到，与上面的方法比较，回来的R^2减小了，这是因为一般最小二乘法会使R^2达到最大，在GARCH模型中对异方差的修正导致R^2有所下降。

我们明白持有股票的期望收益应当能够补偿投资人的股票风险，即认为股票的收益应当与其风险成正比，因此我们在模型中加入误差项本身的方差或标准差。

因此这确实是下面所要做的GARCH-M模型。

Dependent Variable: RETURNSP
Method: ML - ARCH
Date: 04/09/04 Time: 10:05
Sample(adjusted): 1960:02 1996:02
Included observations: 433 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 13 iterations
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
SQR(GARCH) 0.484916 0.254255 1.907205 0.0565
C -0.001636 0.007565 -0.216219 0.8288
DDD -1.001360 0.307156 -3.260107 0.0011
GPW -0.878117 0.176662 -4.970600 0.0000
Variance Equation
C 0.000146 6.37E-05 2.286557 0.0222
ARCH(1) 0.183232 0.042398 4.321702 0.0000
GARCH(1) 0.691128 0.086148 8.022558 0.0000
R-squared 0.050442 Mean dependent var 0.009266
Adjusted R-squared 0.037068 S.D. dependent var 0.033816
S.E. of regression 0.033183 Akaike info criterion -4.052899
Sum squared resid 0.469078 Schwarz criterion -3.987090
Log likelihood 884.4525 F-statistic 3.771654
Durbin-Watson stat 1.487198 Prob(F-statistic) 0.001136
因此得到回来方程为：
RETURNSP t= -0.0016-1.0014△R3t-0.8781GPW t+0.4849σt
σ^2=0.00015+0.1832(εt-1)^2+0.6911(σt-1)^2
R^2=0.0504 s=0.03382 DW=1.4871 对数似然值：884.5
从回来方程可看出，尽管标准误差项σt在统计上将就显著，但其系数据有我们期望的符号。

最后我们考虑一个更加复杂的模型，GARCH(4,2)模型，其中仍旧包含条件标准误差项，其运算结果如下：
Dependent Variable: RETURNSP
Method: ML - ARCH
Date: 04/09/04 Time: 10:06
Sample(adjusted): 1960:02 1996:02
Included observations: 433 after adjusting endpoints
SQR(GARCH) 0.407308 0.131543 3.096383 0.0020
C 0.000539 0.003998 0.134756 0.8928
DDD -0.958969 0.265635 -3.610101 0.0003
C 0.000244 0.000123 1.983154 0.0474
ARCH(1) 0.277998 0.060297 4.610446 0.0000
ARCH(2) 0.007201 0.035318 0.203901 0.8384
ARCH(3) -0.041203 0.074881 -0.550252 0.5821
ARCH(4) 0.106813 0.043919 2.432030 0.0150
GARCH(1) -0.243317 0.103323 -2.354910 0.0185
R-squared 0.044711 Mean dependent var 0.009266
Adjusted R-squared 0.022074 S.D. dependent var 0.033816
S.E. of regression 0.033441 Akaike info criterion -4.065492
Sum squared resid 0.471909 Schwarz criterion -3.962078
Log likelihood 891.1790 F-statistic 1.975132
得到回来方程为：
RETURNSP t= 0.0005-0.9590△R3t-0.8177GPW t+0.4073σt
σ^2=0.0002+0.2780(εt-1)^2+0.0072(εt-2)^2-0.0412(εt-3)^2+0.1068(εt-4)^2-0.2433(σ
t-1)^2+0.6949(σt-2)^2
R^2=0.0447 s=0.03382 DW=1.51 对数似然值：891.2 我们注意到，回来方程中条件标准误差系数的数值比上一种方法得出的结果略微减小，但现在却是统计显著的，而且，第一个和第四个ARCH项和两个GARCH项差不多上统计显著的。

在本例所介绍的模型中，说明变量对因变量的说明程度都比较小，因此关于股票收益
的推测作用不大，然而，它却说明收益确实不仅依靠于风险，而且正如我们所预期的，它还依靠于利率的变化和通货膨胀。

例3：对我国深市股票收益率的ARMA 模型及GARCH 模型的拟合分析及比较
例3.1平稳性分析及检验
在时刻序列分析中，平稳时刻序列是一类重要的随机序列。

平稳时刻序列的定义有两种：宽平稳和严平稳。

时刻序列{t y }是严平稳的，假如{t y }的分布随时刻的平移而不变；时刻序列{t y }是严平稳的，假如{t y }有有穷的二阶矩，且均值与自协方差随时刻的平移而不变。

如{t y }为正态序列，那么{t y }为严平稳与宽平稳是相互等价的，因此，经济时刻序列分析中序列的平稳性分析常指宽平稳。

平稳时刻序列能够由它的均值μ方差2σ，自相关系数P k 和偏自相关系数Ф
kk
的特点描述，而非平稳过程参数的估量专门困难，因此，分析时刻序列时第一
检验其是否平稳，若非平稳则通过检验其非平稳类型，用差分或Box-Cox 非线性变换的方法使均值和方差非平稳转换为平稳时刻序列，在构造出模型做进一步的分析
对时刻序列平稳性的检验方法要紧有自相关函数检验法和单位根的ADF 检验法。

理论上，假如一个随机过程是随机的，它的任何大于零的滞后自相关系数都会是零，也确实是说，它的样本自相关系数近似的服从以零为均值，1/n 为方差的正态分布。

另一种方法是单位根的ADF 检验。

假设{t y }服从有单位根的AR(p)自回来过程，若特点方程Ф（B ）的根落在单位圆上，就说该序列非平稳。

本文以我国深市2000.1.1-2001.8.8的大盘收盘指数为原始数据，分析图如下：
图1：t y 的线性图
从图中能够初步判定该序列含一个时刻的趋势项，均值随时刻的改变而改变，是非平稳的。

同时，观看样本的自相关图（该图略），发觉自相关系数缓慢的下降，一阶偏自相关系数显著的不为零，可见是典型的非平稳性时刻序列，需要进行非平稳转换。

对该序列做精确的平稳性ADF 检验，其中含有趋势项及位移项，但仍旧不能拒绝非平稳的零假设，三种检验都支持了{t y }非平稳的假设，故需要对其进行平稳性变换再进行分析。

单位根的ADF 检验结果如下：（表1）
表1：t y 的ADF 检验结果：
ADF Test tatistic
-1.579203
1% Critical Value* -3.9864 5% Critical Value -3.4235
10% Critical Value
-3.1344
在金融分析中常常将股价或股指的对数差分值作为收益率的指标，本文也采取这一方法，进而分析变换后的平稳时刻序列{t z }，变换如下：
1
ln
-=t t
t y y z 对变换后的序列{t z }再做平稳性的ADF 检验，该检验拒绝了非平稳假设，是一个平稳性的随机序列，检验值如下：（表2）
表2：t z 的ADF 检验结果：
ADF Test Statistic -9.574804
1% Critical Value*
-3.9864 5% Critical Value -3.4235
例3.2模型的建立及检验
一个时刻序列能够有多种方法建立它的模型，较常用的是ARIMA 模型。

该模型用变量自身的滞后值及随机误差作为说明变量，而不引进外生变量。

若{t z }通过d 次差分后为平稳序列，则：
t q t d p a B z B B )()1)((θ=-Φ
其中： p p p B B B B Φ--Φ-Φ-=Φ 2211(）
q q q B B B B θθθθ----= 2211)(
当d=q=0时，ARIMA(p,d,q)模型也称为p-阶自回来模型，记为AR(p)。

AR(p)模型即为：
t p t p t t t a z z z z +Φ++Φ+Φ=--- 2211
当{t z }的特点方程的所有的根都在单位圆以外时，{t z }为一平稳过程，现在，自相关函数呈混合指数衰减或呈拖尾型；而偏自相关函数滞后p 阶后截尾。

当d=p=0时，ARIMA(p,d,q)模型也称为滑动平均模型，记为MA(q)。

MA(q)模型为：
q t q t t t t a a a a z -------=θθθ 2211
当{t z }服从MA(q)时，它的自相关系数是滞后q 阶截尾的，而偏自相关系数呈混合指数衰减。

由此能够初步判定随机序列服从的模型。

ARMA(p,q)模型包含了AR(p)过程和MA(q)过程的特点，自协方差函数和偏自
相关函都呈拖尾型，它的具体识别需要技巧，常用“试错法”，即从低阶到高阶
逐个取（p,q）的值来试，直到找到一个最优的模型。

第一观看{
z}的样本自相关系数图及偏自相关系数图（图2）的特点，发觉
t
滞后七期、八期的相关系数与偏相关系数都较接近临界值，通过试拟合，最后用
由赤池准则AIC(Akaike’s information criterion)和Schwartz的SBC准则选
择得拟合的模型如下：（表3）
z的样本自相关系数与偏自相关图
图2:
t
z的拟合模型
表3：
t
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
AR(1) -0.011239 0.051322 -0.218982 0.8268
MA(2) -0.003801 0.052176 -0.072856 0.9420 R-squared -0.002889 Mean dependent var 0.000795 Adjusted R-squared -0.005550 S.D. dependent var 0.014464 S.E. of regression 0.014504 Akaike info criterion -5.623552 Sum squared resid 0.079306 Schwarz criterion -5.602773 Log likelihood 1067.663 Durbin-Watson stat 1.995971
现在，能够同意估量系数为零的原假设。

同时，尽管DW统计量接近于2，
但不能够同意残差服从正态分布的原假设，还需要再检验该模型的残差的正态分
布假设，做Q-Q图，发觉残差尽管相关不显著，但不完全服从正态分布，这会给
该模型的参数估量和推测的精确性带来专门多的苦恼，也会对该模型的可靠信提
出怀疑。

见图3：
图3：残差Q-Q图
再进一步检验残差，发觉残差平方之间存在着序列相关，这是残差中存在ARCH 效应或GARCH 效应的检验方法之一，故，需要再对残差做ARCH 效应的LM 检验。

残差平方的自相关图于偏自相关图见图4：
图4：残差平方的自相关系数和偏自相关系数图
因此，能够认为在对我国股市收益率的分布拟合中，ARMA 模型不是最理想的。

3.3GARCH 模型的拟合及推测
ARCH 模型的要紧思想即时刻t 的t u 的方差2t σ依靠于时刻1-t 的平方误差的大小，即依靠于21-t u 。

ARCH 模型的一个推广是GARCH 模型，其中t u 在时刻刻t 的条件方差2t σ不仅依靠于过去的平方干扰，而且还依靠于过去的条件方差。

在经济学的许多领域，专门是金融学中应用最广的是GARCH(1,1),尽管其形式简单。

GARCH(1,1)的模型如下：
t z =α+t u
2t σ=0γ+211-t u γ+212-t σγ
其中，t u 服从标准正态分布。

对序列是否服从ARCH 或GARCH 分布的常用检验方法有LM 检验法和F-统计量检验法。

假如检验统计量显著大于临界值，则同意备则假设即有ARCH 或GARCH 效应，需要对它进行方程的拟合。

由于{t z }的ARMA 模型中的系数显著的为零，且残差的平方存在自相关，故，能够直截了当对序列{t z }做ARCH 效应检验。

分别作滞后一阶至四阶的ARCH 的 LM
检验，检验结果发觉F-统计量以概率零大于临界值，LM值也远远大于临界值，拒绝原假设，这两种检验都有力的支持了残差中有ARCH或GARCH效应存在，且比较明显，，说明该序列是序列相关的。

又考虑到原模型的拟合并不十分合适，故用ARCH模型对其再进行拟合
通过检验能够用ARCH模型来拟合该序列，拟合结果如下:
（1）ARCH(1)模型的拟合检验中发觉R2与校正的R2都为负，这是一种比较专门的情形，回来系数不显著为零，能够同意该模型，同时，赤池信息准则与施瓦兹信息准则都较小，DW统计量也接近于2，残差不自相关同时对残差进一步的检验发觉残差近似的服从正态分布，故能够认为该模型的拟合程度较好。

拟合的模型和残差检验见表5和图6：
表5：ARCH(1)模型拟合结果
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
C 0.000139 7.76E-06 17.94339 0.0000
ARCH(1) 0.371835 0.067263 5.528086 0.0000 R-squared -0.003579 Mean dependent var 0.000867 AdjustedR-squared -0.006234 S.D. dependent var 0.014513 S.E. of regression 0.014558 Akaike info criterion -5.736277 Sum squaredresid 0.080111 Schwarz criterion -5.715539 Log likelihood 1091.893 Durbin-Watson stat 2.009255 （2）GARCH(1，1)
LM统计量较大也能够拟合GARCH模型，且金融数据中专门多都能够用该模
z也做GARCH(1,1)模型的拟合，以便与ARCH(1)模型的型拟合，故本文对序列
t
拟合成效做比较，比较发觉GARCH(1,1)模型的新加的系数显著的不为零，对回来残差和剩余残差的阻碍不大，然而降低了赤池信息准则与施瓦兹信息准则的值，对该模型的残差进行检验，也通过了正态分布的假设检验。

故该模型的拟合是有意义的。

模型的拟合结果见表6：
图6：ARCH(1)拟合模型的残差的正态性检验
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
C 9.14E-06 2.20E-06 4.155483 0.0000
ARCH(1) 0.158532 0.029028 5.461419 0.0000
GARCH(1) 0.795380 0.030548 26.03710 0.0000 R-squared -0.003579 Mean dependent var 0.000867 Adjusted R-squared -0.008903 S.D. dependent var 0.014513 S.E. of regression 0.014577 Akaike info criterion -5.947786 Sum squared resid 0.080111 Schwarz criterion -5.916679 Log likelihood 1133.079 Durbin-Watson stat 2.009255
（3）推测
用差不多拟合的模型做推测，推测得图形如下：
图7：GARCH(1,1)模型的推测图。