山西省汾阳中学校2019届高三数学上学期入学调研考试试题文

2019届高三入学调研考试卷
文 科 数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．复数2
2i 1i ⎛⎫
⎪+⎝⎭
等于（ ）
A ．4i
B ．4i -
C ．2i
D ．2i -
【答案】C
【解析】()
2
22
2i 4i 42i 1i 2i 1i -⎛⎫
=== ⎪+⎝⎭+，故选C ．
2．已知集合{|A x y ==，{}0,1,2,3,4B =，则A B = （ ） A ． B ． ∅{}0,1,2C ．
D ．
{}0,1,2,3(]{},34-∞ 【答案】C
【解析】集合{{}||3A x y x x ===≤，{}0,1,2,3,4B =， ∴{}0,1,2,3A B = ，故选C ．
3．函数lncos 2
2y x x ⎛⎫=-<π< ⎝π
⎪⎭的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】由题得()()()ln cos ln cos f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数， 所以图像关于y 轴对称，所以排除A ，C ．由题得1ln 032f π⎛⎫
=< ⎪⎝⎭
，所以D 错误，
故答案为B ．
4．已知两个单位向量a 和b 夹角为60︒，则向量-a b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．1- B ．1
C ．12
-
D ．
12
【答案】D
【解析】1
cos602
⋅=︒⋅=
a b a b ， 则向量-a b 在向量a 方向上的投影为：()2
1cos 2
ϕ-⋅-⋅-==
=
a a
b a b a
a b a
a
． 故选D ．
5．已知双曲线22
1(0)6
x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为
（ ） A ．22124x y -=
B ．22148x y -=
C ．22
18
y x -=
D ．22128
x y -=
【答案】D
【解析】双曲线22
1(0)6
x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，
可得2m =，则双曲线的标准方程是22
128
x y -=．故选D ．
6．从甲、乙、丙、丁四人中随机选出人参加志愿活动，则甲被选中的概率为（ ） A ．
14
B ．13
C ．
12
D ．
23
【答案】C
【解析】从甲、乙、丙、丁四人中随机选出人参加志愿活动， 包括：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁6种情况， ∴甲被选中的概率为
31
62
=．故选C ． 7．学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。

老师们目送着大家远去，渐行渐远．．．．．．执行如图所示的程序框图，若输入64x =，则输出的结果为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【解析】输入64x =，1i =，640x =>，21
log 6432x ==，112i =+=；
30x =>，21
log 32x =，213i =+=；
21log 302x =>，221
log (log 2x =，314i =+=；
221
log (log 02
x =
<，结束运算，输出4i =，故选C ．
8．在ABC △中，1a =，b =，6
A π
=，则角B 等于（ ） A ．
3π或23
π B ．
23
π
C ．
3
π D ．
4
π
【答案】A
【解析】∵1a =
，b =，6
A π=
， ∴由正弦定理得：
sin sin a b
A B
=
．则sin sin b A B a ===， 又∵0B <<π，b a >，∴3B =
π或23
π
．故选A ． 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AC 与1BB 所成的角为30︒，则1AA =（ ） A
B ．3 C
D
【答案】D
【解析】如图所示，连接11A C ，
∵11B B A A ∥，∴11A AC ∠是异面直线1AC 与1BB 所成的角，即1130A AC ∠=︒， 在111Rt A B C △
中，11A C ===， 在11Rt A AC △中，有
111tan30A C AA =︒
，即111tan30A C
AA ===︒
．故选D ．
10．将函数(
))cos
2sin 0222x x x f x ωωωω⎛
⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3ω
π个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在0,4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为增函数，则ω的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】函数(
))cos
2sin 0222x x x f x ωωωω⎛
⎫=-+> ⎪⎝⎭
sin sin 2sin 3x x x x ωωωωπ⎛
⎫=-=-=- ⎪⎝
⎭， ()f x 的图象向左平移
3ωπ
个单位，得2sin 33y x ωωππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎣
⎦的图象，
∴函数()2sin y g x x ω==；
又()y g x =在0,4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为增函数，∴44T π≥，即244ωππ≥，解得2ω≤，
所以ω的最大值为2．故选B ．
11．函数()f x 对任意的实数x 都有()()()221f x f x f +-=，若()1y f x =-的图像关于1x =对称，且()02f =，则()()20172018f f +=（ ） A ．0 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】因为()1y f x =-的图像关于1x =对称， 所以()y f x =的图像关于0x =对称，即()f x 为偶函数， 因为()()()221f x f x f +-=，
所以()()()12121f f f -+--=，所以()10f =，()()2f x f x +=，
因此()()201710f f ==，()()201802f f ==，()()201720182f f +=，故选B ．
12．双曲线22
22:1x y E a b
-=的半焦距为c ，1F ，2F 分别为E 的左右焦点，若E 上存在一点
P ，使得2
122
c PF PF ⋅=- ，则P 离心率的取值范围是（ ）
A
．(
B
．)
+∞
C
．(
D
．)
+∞
【答案】D
【解析】设(),P x y ，
则()()22222221221x PF PF c x y c x y x c y b x c a ⎛⎫⋅=---⋅--=-+=-+- ⎪⎝⎭
，
，
222222
222222c c c x b c a b c a
a =--=-≥⨯--，2220c a -≥，
∴c
e a
=≥D ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．曲线5e 2x y -=+在点()0,3处的切线方程为__________． 【答案】530x y +-=．
【解析】5e 2x y =+﹣的导数55e x y '=﹣﹣，
则在0x =处的切线斜率为05e 5-=-，切点为()0,3， 则在0x =处的切线方程为53y x =-+，即为530x y +-=． 故答案为530x y +-=．
14．若变量x ，y 满足约束条件25
34x y x y +≥≤≤⎧⎪
⎨⎪⎩，则z x y =+的取值范围是__________．
【答案】[]1,7
【解析】作出不等式组2534x y x y +≥≤≤⎧⎪
⎨⎪⎩
对应的平面区域如图所示阴影部分ABC △；
由z x y =+得y x z =-+，即直线的截距最大，z 也最大；
平移直线y x z =-+，可得直线y x z =-+经过点()3,4C 时，截距最大，此时z 最大， 即347z =+=；经过点A 时，截距最小，由=42=5y x y ⎧⎨⎩+，得3
=4x y -⎧⎨⎩
=，
即()3,4A -，此时z 最小，为341z =-+=； 即z 的取值范围是[]1,7，故答案为[]1,7．
15．已知()0,α∈π，tan 2α=，则cos2cos αα+=__________．
【解析】∵()0,α∈π，tan 2α=，∴0,2απ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，
则2222
sin 1cos 44cos cos αααα
-=⇔=，解得cos α=
∴21cos2cos 2cos 1cos 215αααα+=-+=⨯-+=
．
． 16．设直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是40π，1AB AC AA ==，120BAC ∠=︒，则此直三棱柱的高是__________．
【答案】
【解析】因为球的表面积是40π，所以2404R π=π，∴R =，
设1AB AC x AA ===，则222222cos1203BC x x x x =+-⨯︒=，∴BC =，
设ABC △的外接圆的半径为r 2r =，∴r x =．
由题得2
2
22x x ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
，∴x =
所以此直三棱柱的高是
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．
17．（12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，()12222n n a a a n -=+-≥． （1）证明：{}1n a +为等比数列；
（2）求{}n a 的通项公式，并判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）证明：∵37a =，3222a a =-，∴23a =， ∴121n n a a -=+， ∴11a =，
()111122
2211
n n n n a a n a a ---++==≥++，
∴{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，12n n a +=，∴21n n a =-， ∴1
1222212
n n n S n n ++-=-=---，
∴()
12222210n n n n n S a n n ++-=+----= ∴2n n n S a +=，即n ，n a ，n S 成等差数列．
18．（12分）某商品要了解年广告费x （单位：万元）对年利润y （单位：万元）的影响，对近4年的年广告费i x 和年利润()1,2,,4i y i =⋅⋅⋅数据作了初步整理，得到下面的表格：
广告费x 2 3 4 5 年利润y
26
39
49
54
（1）用广告费作解释变量，年利润作预报变量，建立y 关于x 的回归直线方程； （2）根据（1）的结果预报广告费用为6万元时的年利润．
附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，()n n x y ,，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的
最小二乘估计分别为：()()
()
1
2
1
ˆn
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑，ˆˆa
y bx =-．
【答案】（1）9.4.1ˆ9y
x =+；（2）6x =时，ˆ65.5y =万元． 【解析】（1）2345742x +++=
=，26394954
424
y +++==， 由表中数据与附中公式，得()()
()1
2
147
.5
ˆ94n
i
i
i n
i i x x y y b
x x ==--==
=-∑∑， 742ˆˆ9.49.12
a
y bx =-=-⨯=．所以回归方程为9.4.1ˆ9y x =+． （2）回归方程为9.4.1ˆ9y
x =+． 6x =时，9.469..5ˆ165y
=⨯+=万元． ∴广告费用为6万元时的年利润为65.5万元．
19．（12分）在三棱柱111ABC A B C -中，已知侧棱与底面垂直，90CAB ∠=︒， 且1AC =，2AB =，E 为1BB 的中点，M 为AC
上一点，2
3
AM AC =
．
（1）若三棱锥11A C
ME -，求1AA 的长； （2）证明：1CB ∥平面1A EM ． 【答案】
（1）1AA =
（2）见解析． 【解析】（1）设1AA h =， ∵1111A C AE E A C M V V --=，1111122
A C M h
S A C h =
⨯=△，三棱锥11E A C M -的高为2，
∴111232E A C M h V -=⨯⨯
=，解得
h =，即1AA =
（2）如图，连接1AB 交1A E 于F ，连接MF ．
∵E 为1BB 的中点，∴12
3
AF AB =， 又2
3
AM AC =
，∴1MF CB ∥， 而MF ⊂平面1A EM ，1CB ⊄平面1A EM ，∴1CB ∥平面1A EM ．
20．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，斜率为1的直线1l 交抛物线C 于A ，B 两点，当直线1l 过点()1,0时，以AB 为直径的圆与直线1x =-相切． （1）求抛物线C 的方程；
（2）与1l 平行的直线2l 交抛物线于C ，D 两点，若平行线1l ，2l 之间的距离为
，且
OCD △的面积是OAB △1l 和2l 的方程．
【答案】（1）24y x =；（2）11:2l y x =+
，21
2
l x =-或者1:2l y x =-，23l x =-． 【解析】（1）设AB 直线方程为y x b =-代入22y px =得()22220x b p x b -++=，
()2
22224840b p b bp p ∆=+-=+>，
设()11A x y ,，()22B x y ,，∴1222x x b p +=+，212x x b =，
2AB x =-==，
当1b =时，AB =，AB 的中点为()1p p +,，
依题意可知()211p ++=，解之得2p =， 抛物线方程为24y x =．
（2）O 到直线1l 的距离为d
1
1
22OAB S AB d =⨯⨯=⨯△．
因为平行线1l ，2l ，
则CD 的直线方程为()1y x b =-+，2OCD S b =+△．
2b =
即()()()223112b b b b +=++，化简得22320b b --=， ∴1
22b b =-=或代入0∆>， ∴11
:2l y x =+，21
2l x =-或者1:2l y x =-，23l x =-．
21．（12分）已知函数()ln f x x a x =-，()1,()a
g x a x +=-∈R ．
（1）若1a =，求函数()f x 的极值；
（2）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）()f x 的定义域为()0+∞,，
当1a =时，()ln f x x x =-，()11
1x f x x x '-=-=，
x ()0,1 1 ()1,+∞
()f x ' — 0 +
()f x 单调递减 极小值 单调递增
所以()f x 在1x =处取得极小值1．函数没有极大值．
（2）()1ln a
h x x a x x +=+-，
()()()()222211111x x a x ax a a a h x x x x x +-+⎡⎤--++⎣-=='⎦
=-，
①当10a +>时，即1a >-时，
在()01a +,上()0h x '<，在()1,a ++∞上()0h x '>，
所以()h x 在()01a +,上单调递减，在()1,a ++∞上单调递增；
②当10a +≤，即1a ≤-时，在()0,+∞上()0h x '>，
所以函数()h x 在()0,+∞上单调递增．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为2ααπ⎛⎫≠ ⎪⎝
⎭的直线l 的参数方程为()1cos sin x t t y t αα⎧⎨+=⎩
=为参数．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin 0ρθθ-=．
（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）已知点()1,0P ．若点M 的极坐标为12π⎛⎫ ⎪⎝⎭
,，直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点，求A ，B 两点间的距离AB 的值．
【答案】（1）见解析；（2）8．
【解析】（1）():tan 1l y x α=-； 曲线C 的直角坐标方程为24x y =；
（2）∵M 的极坐标为12π⎛⎫ ⎪⎝⎭
,，∴点M 的直角坐标为()01,． ∴tan 1α=-，直线的倾斜角34
απ=． ∴直线l
的参数方程为()1x t y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩==为参数．
代入24x y =
，得220t -+=．
设A ，B 两点对应的参数为1t ，2t
，则12122
t t t t ⎧⎪⎨⋅==⎪⎩+，
∴128AB t t =-===．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数()1f x x =+． （1）求不等式()211f x x <+-的解集；
（2）关于x 的不等式()()23f x f x a -+-<的解集不是空集，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）()(),11,A =-∞-+∞ ；（2）()1,+∞． 【解析】（1）∵()211f x x <+-，∴12110x x +-++<，
当1x <-时，不等式可化为()12110x x --+++<，解得1x <-，所以1x <-； 当1
12x -≤≤-，不等式可化为()12110x x ++++<，解得1x <-，无解；
当1
2x >-时，不等式可化为()12110x x +-++<，解得1x >，所以1x >
综上所述，()(),11,A =-∞-+∞ ．
（2）因为()()()()2312121f x f x x x x x -+-=-+-≥---=， 且()()23f x f x a -+-<的解集不是空集，
所以1a >，即a 的取值范围是()1,+∞．。