基于分数阶Hilbert变换的多路加密

基于分数阶Hilbert变换的多路加密
高培;赵犁丰
【摘要】The SSB communication based on the fractional Hilbert transform can use fracational rotation angle as the encryption key at the same time, so as to ensure the communications security effectively.But this technique can only use one encryption key.In order to increase the cryptographic key space for the securer system, a method of the shunting processing for the multi-channel filter set is introduced.It can also reduce the computation complexity.%基于分数阶Hilbert变换的单边带通信可以同时将分数阶旋转角度作为加密密钥,从而保证通信安全.但基于分数阶Hilbert变换的单边带通信加密技术只能让信号使用一个加密密钥.为了达到增大密钥空间以更有效地保证信息安全的目的,采用多通道滤波器组分路处理的方法,在减少了系统计算复杂度的基础上增大了密钥空间.
【期刊名称】《现代电子技术》
【年(卷),期】2011(034)001
【总页数】4页(P115-117,121)
【关键词】分数阶Hilbert变换;多抽样速率;多路加密;密钥空间;多通道滤波器组【作者】高培;赵犁丰
【作者单位】中国海洋大学,山东,青岛,266100;中国海洋大学,山东,青岛,266100【正文语种】中文
【中图分类】TN918-34
0 引言
随着世界通信技术的发展，既需要在有效利用频带传输多种信息，更需要保证通信安全，为了保证信息安全，有混沌加密，RSA加密等多种加密方式。

而基于分数阶Hilbert变换的单边带通信，更是将传统Hilbert的解析信号抑制负频谱推广到了分数阶Fourier域。

这种方法最大的优点是，在传输信号的同时可以利用分数阶Hilbert变换阶数作为加密密钥，保证通信安全。

但是加密信号的信号只有单加密密钥，即密钥空间较小[1]。

基于多抽样速率滤波器可以在频谱分析中将信号分为几个互不重叠的子带，分别进行编码，压缩等处理，可以起到节省计算工作量及存储空间的目的。

本文利用多抽样速率滤波器组，提出了一种可以将信号进行多路传输，各路独立加密的对称密钥加密方案。

1 分数阶Hilbert变换原理
1.1 分数阶Fourier变换
分数阶Fourier变换的定义为[2]：
Xp(u)=Kp(u,t)x(t)dt
(1)
式中:为整数，p为分数阶Fourier的变换阶数。

虽然实信号的分数阶Fourier变换不满足共轭对称性，但是任意信号f(t)的分数阶Fourier变换可以看成是信号的Fourier变换。

如果r(t)为实信号，可以用指数信号调制，调制后为调制后信号的分数阶Fourier变换为：
(2)
式中:Fπ/2表示传统Fourier变换(看做是旋转角度为π/2的分数阶Fourier变换)，Aα与u无关，关于u为偶对称，而实信号r(t)的Fourier变换满足共轭对称性。

因此保留f(t)的分数阶Fourier正谱Fα[f](u)(u≥0)，就能得到实信号r(t)的正频谱，从而恢复实信号[3]。

1.2 分数阶Hilbert变换
类似于传统Hilbert变换，定义信号x(t)的分数阶Hilbert变换为[4]：
*h′(t))
(3)
式中:为传统Hilbert变换的核函数，即h(t)=1/πt(t≠0)，α为分数阶Fourier变换的旋转角度。

相应的解析信号：
(4)
式中:为信号x(t)的分数阶Hilbert变换。

此解析信号只包含信号x(t)的分数阶Fourier正谱分量[5]。

设信号x(t)是实信号r(t)经过指数信号调制后得到的信号，即：则解析信号和r(t)
的关系为：
(5)
1.3 基于分数阶Hilbert变换的单边带通信
信号发射前必须经过调制，根据式(3)，式(4)生成解析信号，此解析信号只包含原
信号的分数阶Fourier域的正频谱部分[6]。

如图1所示。

图1 调制发射框图
接收端接收到解析信号后，利用式(5)恢复，然后解调即可恢复x(t)。

如图2所示。

图2 恢复解调框图
设正确角度为α，若接收端不按照α为角度进行恢复，假设以角度β解调，可将
β代入式(5)进行整理，则生成的实信号r′(t)为：
(6)
由此可以看出，信号不但节省了频带，同时还保持了一个加密密钥，接收端只有满足角度α=β时，才能精确重构原信号。

2 基于分数阶Hilbert变换的多速率信号处理多路加密方法及性能分析
2.1 基于分数阶Hilbert变换的加密原理
多路分数阶Hilbert变换加密通信框图如图3所示。

图3 加密通信调制基本框图
在图3中，待发送信号首先使用多抽样速率滤波器组分为N路。

N通道滤波器组
如图4[7]所示。

图4 N通道滤波器组
实际应用中，为了高效计算，常采用滤波器组的多相结构。

设E(z)和R(z)分别是
H(z)和G(z)的多相分解形式，定义为：
(7)
式中:Q=M/N(M为滤波器长度)；k=0，1，2,…，N-1；hl为H0～HN-1中第l
个滤波器。

(8)
式中:(M为滤波器长度)；k=0，1，2,…，N-1；gl为G0～GN-1中第l个滤波器[8]。

若满足：
P(z)=E(z)·R(z)=cz-λI
(9)
则系统为完全重建系统。

式中：c和λ为常数;I为单位矩阵。

经过多抽样速率滤波器组分为N路后，分别进行各路加密，各路使用式(3)，式(4)加密，分别设定独立的旋转角度。

在接收端，各路根据式(5)，按照双方约定的密钥进行解密。

2.2 基于多抽样速率滤波器组的多加密密钥系统的实现
综上所述,提出一种可以将单路信号使用多个加密密钥进行加密的系统,如图5所示。

图5 多抽样速率滤波器组的单路信号多加密密钥系统
图5中,x0(n)～xN-1(n)为图4中原信号x(n)经过N通道滤波器组经过分析滤波器H0(z)～HN-1(z)分成不同的子带信号。

使用式(3)，式(4)加密后进行传输。

接收端利用式(5)，对加密信号进行解密得到xα0(n)～xαN-1(n)，将这些信号进行插值恢复原采样率和经过综合滤波器组处理，最后归并各路信号可以恢复原信号。

恢复信号和原信号的关系为：
(10)
式中:c和n0为常数。

由图5可以看出，加密密钥由一个拓展为N个，即密钥空间增大了。

2.3 性能分析
单路加密算法的计算复杂度分别是复杂度为O(n)的乘法，O(nlog n)的卷积运算。

当n足够大时，后者支配前者。

所以系统总的计算复杂度为O(nlog n)。

其中,n
为数据长度[9]。

多加密密钥系统中，应采用高效算法，即使用多相结构，并且将分析滤波器组的多相分量与抽取器、插值器和综合滤波器组的多相分量分别进行等价变换。

这样可以使得卷积和乘法运算在低抽样率的一端，使得卷积和乘法的计算复杂度减少。

设采用N个加密算子，即多抽样速率滤波器组共N路。

根据以上讨论。

则原信号x(n)经过抽取后分别与分析滤波器组的多相分量进行卷积运算，每路卷积运算的计算复杂度为路总的计算复杂度为加密和解密的计算复杂度占支配地位的是卷积运算。

进行各路加密，此时各路数据长度为n/N，每路加密和传输后解密的复杂度为路总的加密解密计算复杂度为同理，最后和综合滤波器组的各多相分量进行卷积运算后插值恢复，总的计算复杂度也为所以，系统总的计算复杂度为因此，与单路加密系统相比，多加密系统不但使得系统总的计算复杂度降低，并且增大了密钥空间[10]。

3 仿真实验
仿真实验系统为2通道分数阶Hilbert变换加密系统，输入信号为方波，分析滤波器组的多相分量为综合滤波器组的多相分量为分别以π/6和π/5作为第1路和第2路的加密密钥，经传输后，分别以正确密钥(π/6和π/5)和错误密钥(π/6.5和π/5)进行解密。

仿真实验结果如图6所示。

图6 正确和错误密钥重建的信号
由图6(b)可见，当密钥正确时，可以重建原信号；若某一路解密，设第一路角度变为π/6.5，第二路保持不变，则经过综合滤波器后两路信号和合并重建的信号如图6(c)所示。

因此，只有知道N个通道独有的加密密钥，才能解密重建原信号。

4 结语
根据分数阶Hilbert变换理论，可以得到分数阶域信号的解析表示，并且可以使用分数阶相位参数作为单边带通信的加密密钥。

基于多通道滤波器组的多路加密系统
不但使计算复杂度更小，同时还可以将单路信号的加密密钥拓展为N个，从而增大了密钥空间，因此通信的安全性更高。

该系统可用于存在多发射端，多接收端的系统，有一定的实用价值。

参考文献
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