高考数学压轴专题最新备战高考《集合与常用逻辑用语》知识点总复习含答案解析

【最新】数学复习题《集合与常用逻辑用语》专题解析
一、选择题
1．已知集合{}
2|log ,1,|A y y x x B x y ⎧==>==
⎨⎩，则A B =I （ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()0,1
C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】
∵集合{}
2log ,1A y y x x == ∴集合(0,)A =+∞ ∵集合|
B x y ⎧==
⎨⎩ ∴集合1(,)2
B =-∞ ∴1(0,)2
A B ⋂= 故选A.
2．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A ．函数1
()f x x
=
在其定义域上是减函数 B ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题
C ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件
D ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠” 【答案】B 【解析】 【分析】
对于选项A ：利用反比例函数的图象与性质判断即可；
对于选项B ：利用原命题与它的逆否命题同真假，判断原命题的真假即可； 对于选项C ：根据充分条件与必要条件的定义即可判断； 对于选项D ：根据原命题的否命题的定义判断即可； 【详解】
对于选项A ：由反比例函数的图象与性质知，函数1
()f x x
=在区间()(),0,0,-∞+∞上单调递减，故选项A 错误；
对于选项B ：由题意知，当x y =时，sin sin x y =显然成立，故原命题为真命题，根据原命题与其逆否命题同真假可知，其逆否命题亦为真命题，故选项B 正确；
对于选项C ：当1x =-时，有2560x x --=成立，反过来，当2560x x --=时，可得
6x =或1x =-，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故选项C 错误；
对于选项D ：根据原命题的否命题的定义知，命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若
21x ≠，则1x ≠”，故选项D 错误； 故选：B 【点睛】
本题考查反比例函数的单调性、四种命题之间的关系及真假判断和充分条件与必要条件的判断；熟练掌握四种命题之间的关系及真假判断的方法是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
3．下列命题是真命题的是（ ）
A ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；
B ．命题p ：x R ∀∈，211x -≤，则p ⌝：0x R ∃∈，2
011x -≤；
C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件；
D ．命题“若()110x
x e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110x
x e -+≠”.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据面面关系判断A ；根据否定的定义判断B ；根据充分条件，必要条件的定义判断C ；根据逆否命题的定义判断D. 【详解】
若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能相交，故A 错误； 命题“p ：x R ∀∈，211x -≤”的否定为p ⌝：0x R ∃∈，2
011x ->，故B 错误；
p q ∨为真，说明,p q 至少一个为真命题，则不能推出p q ∧为真；p q ∧为真，说明,p q
都为真命题，则p q ∨为真，所以“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的必要不充分条件，故C 错误；
命题“若()110x
x e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110x
x e -+≠”，故
D 正确； 故选D 【点睛】
本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.
4．下列命题为真命题的个数是（ ） ①{
x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数；
②若0a b ⋅=r r
，则0a =r r 或0b =r r ；
③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题；
④函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】
对于①中，当x =时，22x =为有理数，故①错误；
对于②中，若0a b ⋅=r ，可以有a b ⊥r r
，不一定要0a =r r 或0b =r r ，故②错误；
对于③中，命题“若22
0x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，
其逆否命题为真命题，故③正确；
对于④中，()()x x x x
e e e e
f x f x x x
-----===-，
且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，定义域关于原点对称， 所以函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数，故④正确.
综上，真命题的个数是2. 故选：B. 【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.
5．数列{}n a 的通项公式为(
)n a n c n N *
=-∈．则“2c <”是“{}n
a 为递增数列”的（ ）
条件． A ．必要而不充分 B ．充要
C ．充分而不必要
D ．即不充分也不必要
【答案】A 【解析】 【分析】
根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得1
2
c n <+
，由此得到若{}n a 是递增数列，则3
2c <
，根据推出关系可确定结果. 【详解】 若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->，
即()()22
1n c n c +->-，化简得：12
c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32
c ∴<， 则2c <¿
{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，
∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．
故选：A . 【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.
6．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1x
y
<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】D 【解析】 【分析】
x y <，不能得到
1x y <， 1x
y
<成立也不能推出x y <，即可得到答案. 【详解】 因为x ，y R ∈，
当x y <时，不妨取11,2x y =-=-，21x
y
=>， 故x y <时，
1x
y
<不成立， 当1x
y
<时，不妨取2,1x y ==-，则x y <不成立， 综上可知，“x y <”是“1x
y
<”的既不充分也不必要条件， 故选：D 【点睛】
本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.
7．“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
试题分析：由x ＜﹣1，知x 2﹣1＞0，由x 2﹣1＞0知x ＜﹣1或x ＞1．由此知“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的充分而不必要条件． 解：∵“x ＜﹣1”⇒“x 2﹣1＞0”， “x 2﹣1＞0”⇒“x ＜﹣1或x ＞1”．
∴“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的充分而不必要条件． 故选A ．
点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用，解题时要注意基本不等式的合理运用．
8．已知集合*4
x
M x N ⎧=∈⎨⎩且*10x N ⎫∈⎬⎭，集合40x N x
Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭，则( ) A ．M N = B ．N M ⊆ C ．20x M N x
Z ⎧⎫
⋃=∈⎨⎬⎩⎭
D ．*40x M N x
N ⎧⎫
⋂=∈⎨⎬⎩⎭
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
由题意可得：集合M 表示能被20整除的正整数， 而集合N 表示能被40整除的整数，
据此可得，集合N 与集合M 的公共元素为能被40整除的正整数， 即*40x M N x
N ⎧⎫
⋂=∈⎨⎬⎩⎭
， 本题选择D 选项.
9．给出下列说法： ①定义在[],a b 上的偶函数()()24f x x a x b =-++的最大值为20；
②“4
x π
=
”是“tan 1x =”的充分不必要条件；
③命题“()00,x ∃∈+∞，001
2x x +≥”的否定形式是“()0,x ∀∈+∞，12x x
+<”． 其中正确说法的个数为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D 【解析】
根据偶函数的定义求得a 、b 的值，利用二次函数的基本性质可判断①的正误；解方程
tan 1x =，利用充分条件和必要条件的定义可判断②的正误；根据特称命题的否定可判断③的正误.综合可得出结论. 【详解】
对于命题①，二次函数()()2
4f x x a x b =-++的对称轴为直线42
a x +=，
该函数为偶函数，则4
02
a +=，得4a =-，且定义域[]4,
b -关于原点对称，则4b =， 所以，()2
4f x x =+，定义域为[]4,4-，()()max 420f x f ∴=±=，命题①正确；
对于命题②，解方程tan 1x =得()4
x k k Z π
π=+∈，
所以，tan 14
x x π
=⇒=，tan 14
x x π
=
⇐=/，
则“4
x π
=
”是“tan 1x =”的充分不必要条件，命题②正确；
对于命题③，由特称命题的否定可知③正确. 故选：D. 【点睛】
本题以考查命题真假性的形式，考查函数奇偶性、二次函数最值，充分条件与必要条件 还有特称命题的否定，考查的知识点较多，能较好地检测考生的逻辑推理能力，属中等题．
10．“a b >”是“a a b b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
首先判断y x x =的单调性，再根据单调性判断充分必要条件. 【详解】
22,0
,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩
，函数是奇函数，并且在R 上单调递增，
所以a b >时，a a b b >，
反过来，若满足a a b b >时，根据函数y x x =是单调递增函数，所以a b >， 所以a b >”是“a a b b >”的充要条件. 故选：C
本题考查充分必要条件，重点考查函数单调性的判断方法，转化与化归的思想，属于基础题型.
11．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3
C π
<”，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】
充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，
整理得，22
12cos a b C ab
++>，
由基本不等式，222a b ab ab
+≥=，
当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1
cos 2C >，解得3
C π<， 充分性得证；
必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291
cos 247562
C +-==>⨯⨯，
故3
C π
<
，但228ab c =<，故3
C π
<
推不出2ab c >.
故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】
本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.
12．已知命题2
000:,10p x R x x ∃∈-+≥；命题:q 若a b <，则
11
a b
>，则下列为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．p q ∧⌝
C ．p q ⌝∧
D ．p q ⌝∧⌝
【答案】B 【解析】
因为2
2
213133
1()44244
x x x x x -+=-+
+=-+≥，所以命题p 为真；1122,22--∴Q 命题q 为假，所以p q ∧⌝为真，选B.
13．已知全集,U R =2{|2}M x x x =-≥则U C M =（ ）． A ．{|20}x x -<< B ．{|20}x x -≤≤ C ．{|20}x x x <->或 D ．{|20}x x x ≤-≥或
【答案】C 【解析】 【分析】
解二次不等式求出集合M ，进而根据集合补集运算的定义，可得答案． 【详解】
∵全集U=R ，2
{|2}={|20}M x x x x x =-≥-≤≤∴∁U M={x|x<-2或x>0}， 故选C ． 【点睛】
本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关键．
14．已知a ，b 为实数，则01b a <<<，是log log a b b a >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
通过正向与反向推导来验证充分与必要条件是否成立即可 【详解】
若01b a <<<，则lg lg b a <，
lg lg 1,1lg lg b a a b >> ，lg lg log log lg lg a b b a
b a a b
>⇔>， 显然o 0l g lo 1g a b b a b a <><<⇒，充分条件成立
但log log a b b a >时，比如说2,3a b ==时，却推不出01b a <<<，必要条件不成立 所以01b a <<<是log log a b b a >的充分不必要条件 【点睛】
本题考查充分与必要条件的判断，推理能力与计算能力，由于参数的不确定性，故需要对参数进行讨论
15．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．
16．已知,αβ是不同的两个平面，直线a α⊂，直线b β⊂，条件:p a 与b 没有公共点，条件://q αβ，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
【答案】B 【解析】
∵a 与b 没有公共点时，a 与b 所在的平面β可能平行，也可能相交（交点不在直线b 上）
∴命题p ：a 与b 没有公共点⇒命题q ：α∥β，为假命题 又∵α∥β时，a 与b 平行或异面，即a 与b 没有公共点 ∴命题q ：α∥β⇒命题p ：a 与b 没有公共点，为真命题； 故p 是q 的必要不充分条件 故选B
17．已知实数a b 、满足0ab >，则“11
a b
<成立”是“a b >成立”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】 由
11b a a b ab
--=， 0ab >Q ，∴若
11
a b
< 成立, 则0b a -< ，即a b >成立，反之若a b >， 0ab >Q ，110b a a b ab
-∴
-=<， 即
11
a b
<成立， ∴“
11
a b <成立”是“a b > 成立”充要条件，故选C. 【点睛】
本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试
,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直
观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
18．设集合{}
20,201x M x N x x x x ⎧⎫
=≤=-<⎨⎬-⎩⎭
，则M N ⋂为（ ）
A ．{}
01x x ≤< B ．{}
01x x <<
C ．{}
02x x ≤<
D ．{}
02x x <<
【答案】B 【解析】 【分析】
根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合
{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】
由题意，集合{}
20{01},20{|02}1x M x
x x N x x x x x x ⎧⎫
=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭
，
所以{}
01M N x x ⋂=<<. 故选：B . 【点睛】
本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.
19．定义在R 上的函数()y f x =满足()555,0222f x f x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=-->
⎪ '⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，任意
的12x x <都有()()12f x f x >是125x x +<的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
条件 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 因为()5,02x f x '>
>； ()5,02x f x '<<，且()f x 关于5
2
x =对称，所以12x x <时， ()()12f x f x > ()21221212555
5,555222
f x x x x x x x x <>=-⇒⇒-<∴<-⇒+<
反之也成立： 12x x <时，
()()()1212121225555,,55222
x x x x x x f x f x f x +<⇒<⇒>-<-=<>，所以选C. 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
20．命题“x R ∀∈，2230x x -+≤”的否定为（ ）
A ．x R ∀∈，2230x x -+≥
B ．x R ∃∉，2230x x -+>
C ．x R ∃∈，2230x x -+>
D ．x R ∀∉，2230x x -+≤
【答案】C
【解析】
分析：根据全称命题的否定得结果.
详解：因为x R ∀∈，2230x x -+≤，所以否定为x R ∃∈，2230x x -+>, 选C.
点睛：命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”.。