重庆大学 Z变换与FL变换的关系.ppt
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σ >0, 即S的右半平面 → r>1,即Z的单位圆外 。
为常数: 左向右移 → r为常数: 0 半径扩大
j
0
0
(2).ω 与Ω 的关系（ω =Ω T）
Ω = 0，S平面的实轴， ω = 0，Z平面正实轴；
Ω =Ω 0(常数)，S:平行实轴的直线， ω = Ω 0T,Z:始于
又由于 z esT
所以有： z re j eT e jT
因此，r eT , T ;
这就是说， Z的模只与S的实部相对应, Z的相角只与S虚部Ω 相对应。
(1).r与σ 的关系 (r eT )
σ =0,即S平面的虚轴→r=1,即Z平面单位圆；
σ <0,即S的左半平面 → r<1,即Z的单位圆内；
线性移不变系统常用差分方程表示：
M
M
ak y(n k ) bm x(n m)
k 0
m0
取z变换得：
M
M
ak z kY ( z) bm z m X ( z)
k 0
m0
M
H (z)
Y (z) X (z)
bm z m
m0
N
ak z k
k 对上式因式分解，令
x(n) xa(nT) ,显然，当 z esT 时，序列x(n) 的 z 变 换就等于理想取样信号的拉氏变换。
即X (z) zesT X (esT ) Xˆ a (s)
2.Z变换与拉氏变换的关系( S、Z平面映射关系）
S平面用直角坐标表示为：s j
Z平面用极坐标表示为： z re j
1 ae
j
1/(1 a cos jasin )
幅度响应为:
H (e j )
(1
a2
1
2a cos) 2
相位响应为: arg[ H (e j )] tg1[ a sin ] (1 a cos )
h(n) anu(n)
1
:
0
3
2
2
2
H (e j ) :
我们从s平面与z平面的映射关系中可 看 出, s 平 面 到 z 平 面 是 多 值 映 射, 整 个 z 平 面 在 s 平 面 的 投 影 只 是 一 条 条 沿 s 平 面Ω 轴 层 叠 的 带 状 区 间, 每 一 条 带 状 区 间 都 “全 部 代 表” 了 一 个 z 平 面, 因 而 理 想 冲 激 抽 样 的 拉普拉斯变换值沿s平面虚轴是不断重复 的, 即 为 周 期 性 的, 周 期 为 (对 自 变 量 s 而 言 ) j2π/T. 这 是 时 域 抽 样、频 域 (这 里 是 复 频 域) 周 期 延 拓 的 必 然 结 果!
b0
a0
k 0 M
得：
H (z)
Y (z) X (z)
K
(1 cm z 1)
m1
N
(1 dk z1)
k 1
四.系统的频率响应的意义
系统的单位抽样响应h(n)的傅氏变换也即单位圆上的 变换 H (e j ) 称作系统频率响应。
H (e j ) h(n)e jn n
二.Z变换和傅氏变换的关系
连续信号经理想取样后,其频谱产生周期延拓，
即
Xˆ a ( j)
1 T
k
Xa(
j
jk
2
T
)
我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=jΩ
的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此,
这就是说X,(（z取)z样e j）T 序列X在(单e j位T圆)上的XˆZa变(换j,就) 等
1．三种变换的比较
变换名称 信号类型 变量
傅里叶变 拉普拉斯
换
变换
连续信号
xt
z变换
离散信号
xnT
jΩ
s σ jΩ
z esT
2．频率的比较
模拟角频率 Ω ，量纲：弧度/秒； 数字角频率 ω ，量纲：弧度； ejω 是周期为 2 π的周期函数 关系：ω ΩT
3．s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换
五.频率响应的几何确定
1.频响的零极点表达式
M
M
(1 cm z1)
(z cm )
H(z) K
m1 N
KzNM
m1 N
(1 dk z1)
(z dk)
k 1
k 1
M
(e j cm )
H (e j ) Ke j(N M )
m1 N
H (e j ) e j arg[H (e j )]
收敛条件为： x(n) n
2.反变换:
F 1[ X (e j )] x(n) 1
X (z)zn1dz
2j z 1
1 x(e j )e jnd
2
§2-7 离散系统的系统函数
及频率响应
一.系统
y(n) h(n)为单位取样响应
对于线性移不变系统：
y(n) x(n) h(n)
Y(z) X (z)H(z)
Y (e j ) X (e j )H (e j )
也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列 的傅氏变换与频率响应的乘积。H (e j ) 是ω 的周期 函数，e jn e j( 2 )n可知H (e j ) H (e j( 2 ) ) 。
X (e j ) 1 T
2k
Xa( j
k
T
)
所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。
结论
z 变 换 是 理 想抽 样 信 号 的 拉 普 拉 斯 变 换 在 离 散 时 间 信 号 系 统 的 表 示; 序 列 的 傅 里 叶 变 换 可以说是理想抽样信号的傅里叶变换在离 散 时 间 信 号 系 统 的 表 示, 而 由 于 z 变 换 与 拉 普 拉 斯 变 换、拉 普 拉 斯 变 换 与 傅 里 叶 变 换 的 两 个 特 殊 关 系, 单 位 圆 上 的 z 变 换 就 是 序 列 的 傅 里 叶 变 换!
置和高度有明显影响。极点在圆外，系统 不稳定。
H (e j )
。
。
0 3 2 ω
2
2
零点在单位圆上0, 处；极点在 , 3 处 。
22
[例2-14] 设一阶因果系统的差分方程为: y(n) x(n) ay(n 1), a 1，a为实数,求系统的频率响应。
[解]: 对差分方程两边取Z变换:
m1
k 1
2.几点说明
(1).z(N M )表示原点处零极点，它到单位圆
的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只
是给出线性相移分量ω (N-M)。 (2).单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的
位置与深度有明显影响，当零点位于单
位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆外。
(3).单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位
ak z k 1 ak z k
k 0
k 1
只要有一个ak 0，序列就是无限长的。
M
M
y(n) bm x(n m) ak y(n k)
因果系统的单位抽样响应为因果序列， 其收 敛域为R+<|z|≤∞；而因果稳定系统的系统函数 收敛域为 1≤|z|≤∞（R+<1)，也就是说,其全部 极点必须在单位圆内。
因果性：输出不超前于输入 系统因果性的判断方法：
时域： hn hnun
z域： 收敛域在圆外
三.系统函数和差分方程的关系
原点的射线；
Ω ( , ), S:宽 2的水平条带， ω ( , ) 整个z平面.
TT
T
j 3
jIm[Z]
T
T
T
3
T
ω
0
Re[Z]
S平面到Z平面的映射是多值映射，不是单一映射。
总结：z 变 换 的 本 质 是 理 想 冲 激 抽 样 的 拉 普
拉 斯 变 换, 所 不 同 的 仅 在 于 复 频 域 自 变 量 的 设 置 不 同, z 变 换 是 z, 理 想 冲 激 抽 样 的 拉 普 拉 斯 变 换 是 s, 二 者 关 系 是z=eST (T 是 抽 样 间 隔)
(e j dk )
k 1
模：
M
e j cm
H (e j )
K
m1 N
e j dk
相角：
k 1
M
arg[ H (e j )] arg[ K ] arg[e j cm ]
m1
N
arg[e j dk ] (N M )
Y (z) X (z)H (z), H (z) Y (z) X (z)
H(z)称作线性移不变系统的系统函数，而且
在单位圆 z e j 上的系统函数就是系统的频率
响应。
二.因果稳定系统
我们知道,一线性移不变系统稳定的充要条件是 h(n)必须满足绝对可和：∑|h(n)|<∞。
z变换H(z)的收敛域由满足∑|h(n)z-n|<∞的那 些z值确定。如单位圆上收敛，此时则有 ∑|h(n)|<∞ ，即系统稳定；也就是说，收敛域 包括单位圆的系统是稳定的。
于理想取样信号傅氏变换。
用数字频率ω 作为Z平面的单位圆的参数，
ω 表示Z平面的辐角，且
。
z e j
T
考虑到 T，则
X (z)ze j X (e j ) Xˆ a ( j)
又
Xˆ a (
j)
1 T
k
Xa(
j
jk
2
T
)
X (z)ze j
Y (z) X (z) az1y(z),Y (z)(1 az1) X (z) Y(z) 1
H (z) X (z) 1 az1 , z a
这是一因果系统，其单位抽样响应为 h(n) anu(n);
而频率响应为: H (e j ) H (z)ze j
1
jΩT 单 位 圆 上 的 z 变 换 可 写 作x(e ）。因 而, 它 显 然 反 映 了 序 列 x(n) 的 频 谱.
三．傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系
1. 三种变换的比较 2.频率的比较 3.s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 4.z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换 （DTFT）
H(z) z za
零极点分布情况 0
2
ω ω
七．IIR系统和FIR系统
1．无限长单位冲激响应(IIR)系统 如果一个离散时间系统的单位抽样响应h(n)
延伸到无穷长,即n→∞时,h(n)仍有值,这样的系 统称作IIR系统。
M
M
bm z m
bm z m
H (z)
m0 M
m0 M
§2-5 Z变换与拉氏变换、
傅氏变换的关系
一.Z变换与拉氏变换的关系
1.理想取样信号的拉氏变换
设xa (t) 为连续信号，xˆa (t) 为其理想取样信号，
则
Xˆ a (s) L[ xˆa (t)]
xˆa
(t )est dt
[
x（ a nT ) (t nT )]estdt
σ 0, s jΩ
HjΩ Hs s jΩ
4. z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏 变换（DTFT）
z 1, z ejω
X ejω X z zejω
四.序列的傅氏变换
1.正变换:
F[x(n)] x(e j ) X (z)ze j x(n)e jn , n
k 1
e j e j
cm dk
m
me jm
k
ke jk
dckm极零点点向向量量，，k极m零点点指指向向向向量量。；
M
m
因此，H (e j )
K
m1 N
;
m
k 1
arg[ H (e j )] arg[ K]
M
N
m k (N M )
n
xa
(nT
)e st
(t
nT
)dt
n
xa (nT )enTs
xa (nT )(esT )n
n
n
因此，Xˆ a (s) L[xˆa (t)] xa (nT )(esT )n n 序列x(n)的z变换为 X (z) x(n)zn ，考虑到 n
1
1
1
1
1
1 a 1 a2 1 a 1 a2 1 a
0 1 2 3 4 5 6 7 8 n arg H (e j ) : 0 tg1a 0 tg1a 0
jIm[z]
H (e j )
1 1 a
-1
Re[z]
0a1
0 3 2
2
2
arg[ H (e j )]
为常数: 左向右移 → r为常数: 0 半径扩大
j
0
0
(2).ω 与Ω 的关系（ω =Ω T）
Ω = 0，S平面的实轴， ω = 0，Z平面正实轴；
Ω =Ω 0(常数)，S:平行实轴的直线， ω = Ω 0T,Z:始于
又由于 z esT
所以有： z re j eT e jT
因此，r eT , T ;
这就是说， Z的模只与S的实部相对应, Z的相角只与S虚部Ω 相对应。
(1).r与σ 的关系 (r eT )
σ =0,即S平面的虚轴→r=1,即Z平面单位圆；
σ <0,即S的左半平面 → r<1,即Z的单位圆内；
线性移不变系统常用差分方程表示：
M
M
ak y(n k ) bm x(n m)
k 0
m0
取z变换得：
M
M
ak z kY ( z) bm z m X ( z)
k 0
m0
M
H (z)
Y (z) X (z)
bm z m
m0
N
ak z k
k 对上式因式分解，令
x(n) xa(nT) ,显然，当 z esT 时，序列x(n) 的 z 变 换就等于理想取样信号的拉氏变换。
即X (z) zesT X (esT ) Xˆ a (s)
2.Z变换与拉氏变换的关系( S、Z平面映射关系）
S平面用直角坐标表示为：s j
Z平面用极坐标表示为： z re j
1 ae
j
1/(1 a cos jasin )
幅度响应为:
H (e j )
(1
a2
1
2a cos) 2
相位响应为: arg[ H (e j )] tg1[ a sin ] (1 a cos )
h(n) anu(n)
1
:
0
3
2
2
2
H (e j ) :
我们从s平面与z平面的映射关系中可 看 出, s 平 面 到 z 平 面 是 多 值 映 射, 整 个 z 平 面 在 s 平 面 的 投 影 只 是 一 条 条 沿 s 平 面Ω 轴 层 叠 的 带 状 区 间, 每 一 条 带 状 区 间 都 “全 部 代 表” 了 一 个 z 平 面, 因 而 理 想 冲 激 抽 样 的 拉普拉斯变换值沿s平面虚轴是不断重复 的, 即 为 周 期 性 的, 周 期 为 (对 自 变 量 s 而 言 ) j2π/T. 这 是 时 域 抽 样、频 域 (这 里 是 复 频 域) 周 期 延 拓 的 必 然 结 果!
b0
a0
k 0 M
得：
H (z)
Y (z) X (z)
K
(1 cm z 1)
m1
N
(1 dk z1)
k 1
四.系统的频率响应的意义
系统的单位抽样响应h(n)的傅氏变换也即单位圆上的 变换 H (e j ) 称作系统频率响应。
H (e j ) h(n)e jn n
二.Z变换和傅氏变换的关系
连续信号经理想取样后,其频谱产生周期延拓，
即
Xˆ a ( j)
1 T
k
Xa(
j
jk
2
T
)
我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=jΩ
的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此,
这就是说X,(（z取)z样e j）T 序列X在(单e j位T圆)上的XˆZa变(换j,就) 等
1．三种变换的比较
变换名称 信号类型 变量
傅里叶变 拉普拉斯
换
变换
连续信号
xt
z变换
离散信号
xnT
jΩ
s σ jΩ
z esT
2．频率的比较
模拟角频率 Ω ，量纲：弧度/秒； 数字角频率 ω ，量纲：弧度； ejω 是周期为 2 π的周期函数 关系：ω ΩT
3．s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换
五.频率响应的几何确定
1.频响的零极点表达式
M
M
(1 cm z1)
(z cm )
H(z) K
m1 N
KzNM
m1 N
(1 dk z1)
(z dk)
k 1
k 1
M
(e j cm )
H (e j ) Ke j(N M )
m1 N
H (e j ) e j arg[H (e j )]
收敛条件为： x(n) n
2.反变换:
F 1[ X (e j )] x(n) 1
X (z)zn1dz
2j z 1
1 x(e j )e jnd
2
§2-7 离散系统的系统函数
及频率响应
一.系统
y(n) h(n)为单位取样响应
对于线性移不变系统：
y(n) x(n) h(n)
Y(z) X (z)H(z)
Y (e j ) X (e j )H (e j )
也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列 的傅氏变换与频率响应的乘积。H (e j ) 是ω 的周期 函数，e jn e j( 2 )n可知H (e j ) H (e j( 2 ) ) 。
X (e j ) 1 T
2k
Xa( j
k
T
)
所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。
结论
z 变 换 是 理 想抽 样 信 号 的 拉 普 拉 斯 变 换 在 离 散 时 间 信 号 系 统 的 表 示; 序 列 的 傅 里 叶 变 换 可以说是理想抽样信号的傅里叶变换在离 散 时 间 信 号 系 统 的 表 示, 而 由 于 z 变 换 与 拉 普 拉 斯 变 换、拉 普 拉 斯 变 换 与 傅 里 叶 变 换 的 两 个 特 殊 关 系, 单 位 圆 上 的 z 变 换 就 是 序 列 的 傅 里 叶 变 换!
置和高度有明显影响。极点在圆外，系统 不稳定。
H (e j )
。
。
0 3 2 ω
2
2
零点在单位圆上0, 处；极点在 , 3 处 。
22
[例2-14] 设一阶因果系统的差分方程为: y(n) x(n) ay(n 1), a 1，a为实数,求系统的频率响应。
[解]: 对差分方程两边取Z变换:
m1
k 1
2.几点说明
(1).z(N M )表示原点处零极点，它到单位圆
的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只
是给出线性相移分量ω (N-M)。 (2).单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的
位置与深度有明显影响，当零点位于单
位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆外。
(3).单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位
ak z k 1 ak z k
k 0
k 1
只要有一个ak 0，序列就是无限长的。
M
M
y(n) bm x(n m) ak y(n k)
因果系统的单位抽样响应为因果序列， 其收 敛域为R+<|z|≤∞；而因果稳定系统的系统函数 收敛域为 1≤|z|≤∞（R+<1)，也就是说,其全部 极点必须在单位圆内。
因果性：输出不超前于输入 系统因果性的判断方法：
时域： hn hnun
z域： 收敛域在圆外
三.系统函数和差分方程的关系
原点的射线；
Ω ( , ), S:宽 2的水平条带， ω ( , ) 整个z平面.
TT
T
j 3
jIm[Z]
T
T
T
3
T
ω
0
Re[Z]
S平面到Z平面的映射是多值映射，不是单一映射。
总结：z 变 换 的 本 质 是 理 想 冲 激 抽 样 的 拉 普
拉 斯 变 换, 所 不 同 的 仅 在 于 复 频 域 自 变 量 的 设 置 不 同, z 变 换 是 z, 理 想 冲 激 抽 样 的 拉 普 拉 斯 变 换 是 s, 二 者 关 系 是z=eST (T 是 抽 样 间 隔)
(e j dk )
k 1
模：
M
e j cm
H (e j )
K
m1 N
e j dk
相角：
k 1
M
arg[ H (e j )] arg[ K ] arg[e j cm ]
m1
N
arg[e j dk ] (N M )
Y (z) X (z)H (z), H (z) Y (z) X (z)
H(z)称作线性移不变系统的系统函数，而且
在单位圆 z e j 上的系统函数就是系统的频率
响应。
二.因果稳定系统
我们知道,一线性移不变系统稳定的充要条件是 h(n)必须满足绝对可和：∑|h(n)|<∞。
z变换H(z)的收敛域由满足∑|h(n)z-n|<∞的那 些z值确定。如单位圆上收敛，此时则有 ∑|h(n)|<∞ ，即系统稳定；也就是说，收敛域 包括单位圆的系统是稳定的。
于理想取样信号傅氏变换。
用数字频率ω 作为Z平面的单位圆的参数，
ω 表示Z平面的辐角，且
。
z e j
T
考虑到 T，则
X (z)ze j X (e j ) Xˆ a ( j)
又
Xˆ a (
j)
1 T
k
Xa(
j
jk
2
T
)
X (z)ze j
Y (z) X (z) az1y(z),Y (z)(1 az1) X (z) Y(z) 1
H (z) X (z) 1 az1 , z a
这是一因果系统，其单位抽样响应为 h(n) anu(n);
而频率响应为: H (e j ) H (z)ze j
1
jΩT 单 位 圆 上 的 z 变 换 可 写 作x(e ）。因 而, 它 显 然 反 映 了 序 列 x(n) 的 频 谱.
三．傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系
1. 三种变换的比较 2.频率的比较 3.s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 4.z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换 （DTFT）
H(z) z za
零极点分布情况 0
2
ω ω
七．IIR系统和FIR系统
1．无限长单位冲激响应(IIR)系统 如果一个离散时间系统的单位抽样响应h(n)
延伸到无穷长,即n→∞时,h(n)仍有值,这样的系 统称作IIR系统。
M
M
bm z m
bm z m
H (z)
m0 M
m0 M
§2-5 Z变换与拉氏变换、
傅氏变换的关系
一.Z变换与拉氏变换的关系
1.理想取样信号的拉氏变换
设xa (t) 为连续信号，xˆa (t) 为其理想取样信号，
则
Xˆ a (s) L[ xˆa (t)]
xˆa
(t )est dt
[
x（ a nT ) (t nT )]estdt
σ 0, s jΩ
HjΩ Hs s jΩ
4. z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏 变换（DTFT）
z 1, z ejω
X ejω X z zejω
四.序列的傅氏变换
1.正变换:
F[x(n)] x(e j ) X (z)ze j x(n)e jn , n
k 1
e j e j
cm dk
m
me jm
k
ke jk
dckm极零点点向向量量，，k极m零点点指指向向向向量量。；
M
m
因此，H (e j )
K
m1 N
;
m
k 1
arg[ H (e j )] arg[ K]
M
N
m k (N M )
n
xa
(nT
)e st
(t
nT
)dt
n
xa (nT )enTs
xa (nT )(esT )n
n
n
因此，Xˆ a (s) L[xˆa (t)] xa (nT )(esT )n n 序列x(n)的z变换为 X (z) x(n)zn ，考虑到 n
1
1
1
1
1
1 a 1 a2 1 a 1 a2 1 a
0 1 2 3 4 5 6 7 8 n arg H (e j ) : 0 tg1a 0 tg1a 0
jIm[z]
H (e j )
1 1 a
-1
Re[z]
0a1
0 3 2
2
2
arg[ H (e j )]