矩阵的判定条件

关于矩阵正定的若干判别方法
数学学院数学与应用数学（师范）专业 2010级赵明尖
指导教师吴春
摘要:矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,研究矩阵的正定性一直都是矩阵分析领域中非常热门的课题。

本文主要讨论了矩阵的定义、性质以及正定性。

全文一共分为两章,第一章,主要阐述矩阵的正定性的定义以及性质；第二章,主要讨论了正定性矩阵的定义判别法和定理判别法。

关键词:正定矩阵；定义；性质；判定
Abstract: The positive definiteness of matrix is an important concept in theory of the matrix, Studying positive definiteness of the matrix is always a very popular topic in the area of analysis of the matrix. We mainly discuss the definition, property and positive definiteness of matrix in this paper .The text is divided into two chapters, and the first chapter, we mainly expound the definition and property of the positive definiteness of the matrix; the second chapter, we mainly discuss discriminating method of the definition and the theorem of the positive definiteness of matrix.
Key words: positive definiteness of the matrix；definition；property；discrimination
1 引言
代数学是数学中的一个重要分支，矩阵是高等代数中的重要组成部分，而正定矩阵在矩阵论中占有十分重要的地位。

而且正定矩阵部分的应用非常广泛，n阶实正定矩阵在正定理论中占有非常重要的地位。

正定矩阵在物理学，概率论以及优化控制论中都得到了重要的应用，另外在数值计算科学中也经常用到正定矩阵的知识。

比如线性方程组的高斯-塞德尔迭代法就是在方程组的系数是正定矩阵的情况下对任意初始向量是收敛的。

但是随着数学本身及应用矩阵的其他学科或领域（数学规划，现代控制等）的发展，普通矩阵越来越不能满足其应用需要，于是正定矩阵引起了国内外学者的广泛关注并做出了许多重要的研究工作，本文在前人研究的基础上对正定矩阵的性质及判定做了进一步的讨论研究，获得了一些
相应的结论。

通过对矩阵正定判定的研究，归纳与总结了正定矩阵的性质及判定，补充并完善了部分定理的条件与结论。

本文提供解决正定矩阵判定问题的几种方法。

让学者在学习判断矩阵的正定性时，能够深入探讨其基本性质对于其他科研领域的研究有着重要的作用。

2 定义与性质
2.1定义
定义 2.1[]1
实二次型12(,,...,)n f x x x 称为正定的，如果对任意一组不全为零
的实数12,,...,n c c c 都有12(c ,c ,...,c )0n f >。

定义 2.2[]2
设n n A R ⨯∈，且A 是n 阶实对称矩阵即T A A =，若0n X R ≠∈，都
有0T X AX >，则A 叫做正定矩阵。

定义2.3[]1
在实二次型()n x x x f ,,,21 的规范形中，正平方项的个数p 称为
()n x x x f ,,,21 的正惯性指数，
负平方项的个数p r -称为()n x x x f ,,21的负惯性指数，它们的差()r p p r p -=--2称为()n x x x f ,,,21 的符号差。

2.2性质
性质2.1 如果矩阵A 是正定矩阵，则必有： （1）0,1,2,......,ii a i n >=；
（2）A 的元素的绝对值最大者必是主对角元； （3）1nn n A a A -≤,其中1n A -是A 的1n -阶顺序主子式； （4）1122...nn A a a a ≤,当且仅当A 为对角阵时等号成立。

注2.1 我们可以利用上述正定矩阵A 的性质判定某些实对称矩阵不是正定矩阵。

例如，对角元有非正数的对称矩阵必不是正定矩阵；只要有一个非对角元的绝对值不小于对称矩阵的最大者，则这个矩阵必不是正定矩阵；或若对于n 阶矩阵
A 有：1122...nn A a a a >,则A 必不是正定正矩阵。

例2.1[]4
判断二次型222
112132233
10824228f x x x x x x x x x =+++-+是否正定。

解 二次型f 对应的矩阵为
33()ij A a ⨯==104
124
21412141⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
. 显然A 的元素绝对值最大者为2314a =,为非对角元，则A 为非正定矩阵，所以二次型也是非正定的。

3 正定矩阵的判定方法
3.1 定义判定
定义3.1[]8
对于实对称矩阵A =()ij a （其中,,1,2,,ij a R i j n ∈=⋯ ）,若对于任
意非零列向量X ，都有0T X AX >,则称A 是正定矩阵。

例3.1[]7
设A 为正定矩阵，B 为n 阶实反对称矩阵，证明2A B -是正定矩阵。

分析 这是两个矩阵之差，要证明其正定性，用定义可证。

证明 因为A 是正定矩阵,
所以T A A = ,且对任意n 维列向量0X ≠有0T X AX >,
又B 是实反对称矩阵，即T B B =,从而222()()T A B A B A B -=--=-. 即2A B -是实对称矩阵，又对任意实n 维列向量0x ≠,有：
2()()()()0T T T T T X A B X X A B B X X AX BX BX -=+=+>,
故2A B -是正定矩阵。

例 3.2[]
3 设A 是n 阶正定矩阵，B 是n m ⨯实矩阵，B 的秩为m ，证明 ：
T B AB 是正定矩阵。

证明 因为
()T T T T T B AB B A B B AB ==，
故 T B AB 是实对称矩阵，其次，由于秩,,B m m n =≤故0BX =只有零解，因此，若任取非零实列向量X 必有0BX ≠，因A 是正定矩阵，故对任取的非零实列向量X ，必有 ()()()T T T X B AB X BX A BX = , 因此T B AB 是正定矩阵。

例 3.3[]5
证明:A 是正定矩阵，则A *也是正定矩阵。

证明 由于A 正定，所以0A >，且对任意n 维向量0X ≠有0T X AX >.又1A A A *-=,从而对任意0,X ≠有（注意T A A =,且当0X ≠时10A X -≠）
1111()()0T T T T T X A X X A A X A X A AA X A A X A A X *----===>,
又因为有()111()()T
T T A A A A A A A A *---*====,
即A *实对称矩阵，故A *正定矩阵。

注 3.1 以上三个例子，是运用正定矩阵的定义来证明的。

还提供了利用实矩阵来构造正定矩阵的方法。

具体是，若A 不是方阵，也不对称时,,T T A A AA 是正定矩阵，若A 是方阵，但不对称，则T A A +是正定矩阵，同时，在证明的过程中，我们也看到了齐次线性方程组解的理论在正定二次型的理论中的应用。

3.2 定理判定
定理3.1[]1 n 阶实对称矩阵A 正定当且仅当实二次型12(,,...,)T n f x x x X AX =的正惯性指数为n 。

证明 设实二次型()12,,...,n f x x x 经过非退化线性变换得
2221122n n
a x a x a x ++⋯+. （3.1） 由于非退化实线性变换保持正定性不变，那么A 正定当且仅当（3.1）是正定的，由定义2知（3.1）正定当且仅当i a >0(n i ,,2,1 =)，因此正惯性指数为n 。

定理3.2[]1 实对角矩阵⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛n d d d
2
1正定的充分必要条件是 0i d >(n i ,,2,1 =)
证明 由定理3.1得，实对称矩阵正定当且仅当二次型
222
121122(,,...,)...n n n
f x x x d x d x d x =+++. 的正惯性指数为n ，因此0(1,2,...,)i d i n >=。

定理 3.3[]1 实对称矩阵A 是存在一实系数n n ⨯矩阵B ，使得T AB B A +正定，其T B 为B 的转置。

证明 因为()()()T T T T T T AB B A AB B A AB B A +=+=+,所以T AB B A +是n 阶实对称矩阵。

先证必要性
若秩A n =,则1A -存在，令1B A -=,则
111()()2T T T AB B A AA A A E AA E ---+=+=+=，
由此可知T AB B A +正定。

再证充分性
设T AB B A + 正定,,0n X R X ∀∈≠
()()()0T T T T X AB B A X AX BX BX AX +=+>. （*） 由（*）式知0AX > ,这就是说，任意的0X ≠ ,都有0AX ≠ ,从而0AX =仅有零解，所以秩A n =。

定理 3.4[]1 实对称矩阵A 是正定的充要条件是二次型
12(,,...,)n f x x x = T X A X 的系数矩阵A 的所有特征值都是正数，即大于零。

证明 由题意知，实对称矩阵A 可对角化为
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛n a a a
2
1， 其中1a ，,,2 a n a 恰好是A 的特征值，则二次型T X A X 的标准形为：
1a 21x +2a 22x +…+n a 2
n x ,
而非退化实线性变换保持正定性不变，由222
121122(,,...,)...n n n
f x x x a x a x a x =+++正定，得0(1,2,...,)i a i n >=。

例 3.4[]5
设A 为三阶实对称矩阵，且满足220A A +=，已知A 的秩2A =.
则当k 为何值时，矩阵A kE +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵。

解 设t 为A 的一个特征值，对应的特征矩阵向量为X ，则
AX tX =,则22,(X 0)A X t X =≠。

从而， 22(A 2A)X (t 2t)X +=+。

由条件220A A +=， 推知2(t 2t)0+=，又由于0X ≠，故有 2,0,t t =-= 于是
故矩阵A 的全部特征值为122t t ==-，30t =.
矩阵A kE +仍为实对称矩阵.则A kE +的全部特征值为2,2,k k k -+-+。

于是2k >时，矩阵A kE +的全部特征值大于零，故A kE +为正定矩阵。

定理 3.5[]1 实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同。

证明 实正定二次型的规范形为
222
11...n x x x +++. (3.2)
而（3.2）的系数矩阵为单位矩阵，非退化实线性变换保持正定性不变，而且新二次型的系数矩阵与原二次型的系数矩阵是合同的，故实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同。

22,
0A -⎛⎫
⎪-Λ ⎪ ⎪⎝⎭
例 3.5[]6
证明正定矩阵的行列式大于零。

证明 设A 是一正定矩阵，因为A 与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵C 使
T T A C EC C C ==，
两边取行列式，就有2
0T A C C C ==>。

定理 3.6[]2 实对称矩阵A 是正定的充要条件是存在可逆矩阵C 使得
A =T C C 。

证明 设A 为一正定矩阵，当且仅当A 与单位矩阵合同，因此，存在可逆矩阵C ，使得T T A C EC C C ==。

定理 3.7[]1 实对称矩阵A 正定的充分必要条件是矩阵A 的顺序主子式全大于零。

证明 先证必要性
实对称矩阵A 正定，则二次型12(,,...,)n f x x x =T
X AX =∑∑==n i n
j j i ij x x a 11
是正定的，
对于每一个(1)k k n ≤≤，令
1211
(,,...,)k k
n ij i j i j f x x x a x x ===∑∑，
我们来证k f 是一个k 元正定二次型，对于一组不全为零的数1c ，2c ，…，k c ，有
1212(,,...,)(,,...,,0,...,0)0k n k f c c c f c c c =>，
因此k f 是一个k 元正定二次型.由充要条件2得k f 的矩阵行列式
11110k
k kk
a a a a > (1,2,...,)k n =，
再证充分性 对n 作数学归纳法 当1n =时,1()f x =11a 2
1x ,
由条件11a >0，显然1()f x 是正定的，假定此论断对1n -元二次型成立，下证n 元的
情形。

令
, X =⎪
⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-n n n n a a a ,121 ， 则
A =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛nn T
a X X A 1
. 由A 的顺序主子式全大于零可知1A 的顺序主子式全大于零，由假设1A 是正定矩阵， 有1n -阶可逆矩阵G ，使得T G 1A G =1-n E ， 令
1C =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛100G ，
则 T
C 1
A 1C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10
0T
G ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn T a X X A 1
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100G =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-nn T T n a G X X G E 1, 令 2C =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--10
1
X G E T n ， 则 T
C 2T
C 1
A 1C 2C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101
G X E T n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-nn T T n a G X X G E 1⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--10
1X G E T n =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--X GG X a E T
T nn n 00
1. 令 C =1C 2C ,a =nn a -T X G T G X , 则有
T C AC =⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛a
11， 两边取行列式得2
C
A =a ,由条件0A >,知0a >. 由于
11121,112222,111,11,21,1n n n n n n a a a a a a A a a a ------⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 11=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1
1
1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛a 111
， 因此A 与单位矩阵合同。

由定理5得，A 是正定矩阵。

例 3.6[]7
判别二次型222
123123121323(,,)55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正
定。

解 123(,,)f x x x 的矩阵为5
24212425-⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪--⎝⎭
，
它的顺序主子式
50>,
52
21
>0, 524212425
---->0. 因此有定理3.6知123(,,)f x x x 正定。

定理 3.8[]3
A 是正定矩阵的充要条件是1A -是正定矩阵。

证明 必要性
若A 是正定的，则存在实可逆矩阵C 使T A C C =。

所以1111()()T T A C C C C ----==, 因为C 可逆，1C -也是实可逆矩阵,所以有1A -也是正定矩阵。

充分性
若1A -是正定矩阵，则1111()()T T A C C C C ----== 因为1111()(())T T A A C C C C ----===,所以A 是正定的。

定理 3.9[]1
Q 是正定矩阵的充要条件是：存在非退化的上(下)三角矩阵Q ，
使 T A Q Q =。

证 不妨以下三角矩阵为例来证明，上三角矩阵的情况同理可证。

充分性是显然的。

下证必要性
若()ij A a = 是n 阶正定矩阵，则A 的任意k 阶主子式大于零.特别的有 0nn a >.将
A 的第n 列乘适当的倍数，分别加到第1,2,......,1n -列上，再施同样的行变化，可
使A 变成为⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡nn a A 001的形式。

即存在非退化的下三角矩阵T 1，使⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡=nn T a A AT T 00111, 再令
2T diag =， 故 12112001T T A T T ATT ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
.
因为A 正定，故1A 作为A 的1n -阶顺序主子式，也是正定的。

对A 做同样处理，最终可得到
n T T T
T E R R T AT T T R R =21211212.............
令 1212......Q TT T R =，所以Q 是非退化的下三角矩阵，且使T
A Q Q =。

定理 3.10[]8
A 是正定矩阵的充要条件是存在正交向量组 n a a a ,......,,21使
A =T
n
n T T a a a a a a +++...2211. 证明 必要性
A 是正定矩阵，因为存在正定矩阵U ,
12diag(,,...,)T n A U U λλλ=，12(,,...,)n U βββ=，
令(1,2,...)i i a i n ==，其中(1,2,...,)i a i n =为正交向量组，即
()11221212...,,...T T T T T T n n n n A a a a a a a a a a a a a ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝==⎭
+++ , 显然A 是正定矩阵。

4 结束语
判定矩阵正定性有许多种法，我们需要在理论和实际中善于发现并充分利用，具体问题具体分析以求用最好的方法解决问题。

而本文只是简单的介绍了矩阵正定的几种判定方法。

还有很多矩阵的判定方法以及矩阵的应用本文并没有谈到。

例如矩阵在物理学，概率论以及优化控制论中等的作用及其他的正定矩阵判定方法我们将在以后的文章中谈到。

参考文献：
[1] 《高等代数》第三版.北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编，高等教育出版社
［M］，2003.
[2] 钱吉林.《题解精粹》第二版.中央民族出版社［M］，2010.
[3] 岳贵鑫.正定矩阵及其应用［J］辽宁省交通高等专科学校学报，2008（10），3-5.
[4] 燕列雅，于育民.用初等变换进行矩阵的QR分解［J］数学通报，1998（9），2-3.
[5] 杨子胥.《高等代数习题集》.山东科学技术出版社［M］，2004.
[6] 曹璞.正定矩阵的判定与性质[J].南都学坛,1994(3)：1-3.
[7] 徐仲.陆全《高等代数考研教案》.西北工业大学出版社［M］,2006.
[8]徐仲.高等代数（第三版）导教.导学.导考（第2版）.西北工业大学出版社［M］，2006.
第 11 页（共 11 页）。