1.3.1空间直角坐标系(解析版)

1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1．3.1 空间直角坐标系
知识点一 空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{}i ，j ，k ，以O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz .
(2)相关概念：O 叫做原点，i ，j ，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分． 知识点二 空间一点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 为坐标向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA →，且点A 的位置由向量OA →
唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OA →
＝x i ＋y j ＋z k ．在单位正交基底 {i ，j ，k }下与向量 OA →
对应的有序实数组(x ，y ，z )叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作A (x ，y ，z )，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标． 知识点三 空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a ，作OA →
＝a .由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )， 使a ＝x i ＋y j ＋z k .有序实数组(x ，y ，z )叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，上式可简记作a ＝(x ，y ，z )． 【题型目录】
题型一、空间中点的位置及坐标特征 题型二、求空间图形上的点的坐标
题型三、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 题型四、求空间两点的中点坐标 题型五、空间向量的坐标
题型一、空间中点的位置及坐标特征 1．下列命题中错误的是 ( )
A ．在空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )
B ．在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定是(0，b ，c )
C ．在空间直角坐标系中，在z 轴上的点的坐标可记作(0,0，c )
D ．在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c ) 【答案】A
【详解】空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标是(a,0,0)．故选A. 2．在空间直角坐标系中，点()1,2,3A 在xOy 平面上的射影的坐标为
A ．()1,2,0
B ．()1,0,3
C ．()0,2,3
D ．()1
2,0--， 【答案】A
【解析】过点()1,2,3A 作平面xOy 的垂线，垂足即为射影，横、纵坐标不变，竖坐标为0，结合图象，从而可求出射影坐标.
【详解】空间直角坐标系中，点()1,2,3A ，过点()1,2,3A 作平面xOy 的垂线AQ ，垂足Q 即为射影， 则点Q 的坐标为()1,2,0. 故选：A
3．在空间直角坐标系中，点(1,M 2，3)到z 轴的距离为()
A ．3C
4．点(),,P a b c 到坐标平面xOz 的距离是___________.
5．已知棱长为3的正四面体A BCD -，O 为A 在底面BCD 上的射影，建立如图所示的空间直角坐标系，点B 的坐标是_________．
6．如图，在长方体中，1111ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，15AA =，以点A 为原点，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴建立空间直角坐标系.求点A ，B ，C ，D ，1A ，1B ，1C ，1D 的坐标. 【答案】()0,0,0A ，()4,0,0B ，()4,3,0C ，()0,3,0D ，()10,0,5A ，()14,0,5B ，()14,3,5C ，()10,3,5D 【详解】由题意，知()0,0,0A .
由于点B 在x 轴上，且4AB =，则它的横坐标为4，又它的纵坐标和竖坐标都为0， 所以点B 的坐标为()4,0,0.同理可得()0,3,0D ，()10,0,5A ；
由于点C 在xAy 平面内，则它的竖坐标为0，点C 在x 轴､y 轴上的投影依次为点B ､点D ，又4AB =，3AD =， 所以点C 的横坐标和纵坐标依次为4，3，即点C 的坐标为()4,3,0.同理可得()14,0,5B ，()10,3,5D ； 点1C 在x 轴､y 轴和z 轴上的投影依次为点B ､D 点和1A 点，所以点1C 的坐标为()4,3,5;
所以()0,0,0A ，()4,0,0B ，()4,3,0C ，()0,3,0D ，()10,0,5A ，()14,0,5B ，()14,3,5C ，()10,3,5D . 题型三、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标
7．如图，分别求点()2,3,4，()1,2,3-关于各个坐标平面、坐标轴、原点对称的点的坐标． 【详解】根据空间直角坐标系的概念，可得：
点()2,3,4关于坐标平面,,xOy xOz yOz 的对称点分别为()()()2,3,4,2,3,4,2,3,4---； 点()1,2,3-关于坐标平面,,xOy xOz yOz 的对称点分别为()()()1,2,31,2,,,31,2,3----； 点()2,3,4关于x 轴、y 轴和z 轴的对称点分别为()()()2,3,4,2,3,4,2,3,4------； 点()1,2,3-关于x 轴、y 轴和z 轴的对称点分别为()()()1,2,31,2,,,31,2,3-----； 点()2,3,4关于原点O 的对称点分别为()2,3,4---； 点()1,2,3-关于原点O 的对称点分别为()1,2,3--.
8．在空间直角坐标系O xyz -中，点()1,2,3P 关于原点对称的点的坐标是（） A ．()1,2,3B ．()1,2,3-C ．()1,2,3-D ．()1,2,3--- 【答案】D
【分析】由空间坐标系中点对称，结合中点坐标公式求对称的点的坐标即可. 【详解】若()1,2,3P 关于原点对称的点的坐标为(,,)M x y z ，
∴,P M 的中点为(0,0,0)，由中点坐标公式可得：1,2,3x y z =-=-=-， ∴(1,2,3)M ---. 故选：D
9．已知空间点(3,1,4)P --，则点P 关于y 轴对称的点的坐标为（） A ．(3,1,4)---B ．(3,1,4)-- C ．(3,1,4)-D ．(3,1,4) 【答案】D
【分析】利用空间直角坐标系点关于坐标轴对称的特点求解作答. 【详解】依题意，点(3,1,4)P --关于y 轴对称的点的坐标为(3,1,4). 故选：D
10．在空间直角坐标系中O xyz -中，点()1,2,3A -关于xOy 平面的对称点B 的坐标为（） A ．()1,2,3--B ．()1,2,3--C ．()1,2,3D ．()1,2,3- 【答案】A
【分析】直接写出对称点B 的坐标.
【详解】点()1,2,3A -关于xOy 平面的对称点B 的坐标为()1,2,3--. 故选：A
题型四、空间中点坐标公式
11．已知A (1,2,3)，B (5,6，－7)，则线段AB 中点D 的坐标为________.
12．在空间直角坐标系中，点4()21P -，
，关于点()2,1,4M --的对称点的坐标是（） A ．(000)，
，B ．214()--，，C ．6312()--，，D ．2312()-，， 【答案】C
【分析】设对称点为3,(,)P x y z ，由题可知点M 为线段3PP 的中点，根据中点坐标公式列出式子进行计算即可得解. 【详解】设对称点为3,(,)P x y z ，则点M 为线段3PP 的中点， 由中点坐标公式，可得：()()()2226
211324412x y z ⎧=⨯--=⎪
=⨯--=-⎨⎪=⨯--=-⎩
，所以363)12(P --，
，. 故选：C .
【点睛】本题考查空间直角坐标系中点关于点的对称问题，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 题型五、空间向量的坐标
13．如图，在长方体OABC D A B C ''''-中，3OA =，4OC =，2OD '=，以111,,342OA OC OD ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
'为单位正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ． (1)写出D ，C ，A '，B '四点的坐标；
(2)写出向量A B ''，B B '，A C ''，AC '的坐标．
【答案】(1)点A '(3,0,2)，点B '(3,4,2)，点C (0,4,0)，D (0,0,2) (2)(0,4,0)A B ''=；(0,0,2)B B '=-；(3,4,0)A C ''=-；(3,4,2)AC '=-． 【详解】(1)点D 在z 轴上，且2OD '=， 所以点D 的坐标是(0,0,2)． 同理，点C 的坐标是(0,4,0)．
点A '在x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为A ，O ，D ，
它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点A '的坐标是(3,0,2)． 点B '在x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为A ，C ，D ，
它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点B '的坐标是(3,4,2)． (2)(0,4,0)A B OC ''==； (0,0,2)B B OD ''=-=-；
()()()3,0,00,4,03,4,0A C A D D C =+=-+='-'''''；
()()()3,0,00,4,00,0,2(3,4,2)AC AO OC CC ''=++=-++=-．
1．若空间一点()2
1,1,11M a a +-+在z 轴上，则=a （）
A ．1
B ．0
C ．±1
D ．1- 【答案】D
【分析】根据z 轴上点的坐标的特征得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为空间一点()2
1,1,11M a a +-+在z 轴上，
所以21010a a +=⎧⎨-=⎩，解得1a =-；
故选：D
2．点()2,0,3P -位于（）
A ．y 轴上
B ．z 轴上
C ．xOz 平面内
D ．yOz 平面内 【答案】C
【分析】根据点的坐标的特征判断即可；
【详解】解：因为点()2,0,3P -的纵坐标为0，所以点P 在xOz 平面内. 故选：C
3．在空间直角坐标系中，所有点(,2017,2018)()P x x R ∈的集合表示（）
A ．一条直线
B ．一个平行于xOz 平面的平面
C ．一个平行于xOz 平面的平面
D ．两条直线 【答案】A
【分析】根据空间坐标的知识确定正确选项.
【详解】点P 的纵坐标与竖坐标不变，只有横坐标发生变化，在空间中表示一条直线. 故选：A
【点睛】本小题主要考查空间直角坐标系，属于基础题. 4．在空间直角坐标中，点()1,2,3P ---到平面xOz 的距离是（）
A ．1
B ．2
C ．3
D 【答案】B
【分析】利用空间坐标的定义，即可求出点()1,2,3P ---到平面xOz 的距离. 【详解】点()1,2,3P ---,由空间坐标的定义.点()1,2,3P ---到平面xOz 的距离为2. 故选：B
5．（多选）在空间直角坐标系中，已知点(),,P x y z ，那么下列说法正确的是（） A ．点P 关于x 轴对称的点的坐标是()1,,P x y z -； B ．点P 关于yOz 平面对称的点的坐标是()2,,P x y z --； C ．点P 关于xOy 平面对称点的坐标是()3,,P x y z -； D ．点P 关于原点对称点的坐标是()4,,P x y z ---． 【答案】CD
【分析】根据空间点对称求解即可.
【详解】对选项A ，(),,P x y z 关于x 轴对称的点的坐标是()1,,P x y z --，故A 错误； 对选项B ，(),,P x y z 关于yOz 平面对称的点的坐标是()2,,P x y z -，故B 错误； 对选项C ，(),,P x y z 关于xOy 平面对称的点的坐标是()3,,P x y z -，故C 正确； 对选项D ，(),,P x y z 关于原点对称点的坐标是()4,,P x y z ---，故D 正确. 故选：CD
6．在空间直角坐标系Oxyz 中，与点()1,2,1-关于平面xOz 对称的点为（） A ．()1,2,1--B ．()1,2,1-C ．()1,2,1---D ．()1,2,1-- 【答案】A
【详解】解：因为点()1,2,1-，则其关于平面xOz 对称的点为()1,2,1--. 故选：A.
7．空间中，线段PQ 的端点坐标分别为()1,4,7-，()3,4,5-，则线段PQ 的中点M 的坐标为________.
8．已知空间直角坐标系中三点A ，B ，M ，点A 与点B 关于点M 对称，且已知A 点的坐标为(3，2，1)，M 点的坐标为(4，3，1)，则B 点的坐标为________．
9．已知1111ABCD A B C D -是棱长为2的正方体，E ，F 分别是1BB 和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出1DB ，DE ，DF 的坐标.
【答案】()()()12,2,2,2,2,1,0,1,0DB DE DF ===. 【分析】求得1,,B E F 的坐标，由此确定正确答案.
【详解】依题意()()()12,2,2,2,2,1,0,1,0B E F ，由于D 是坐标原点， 所以()()()12,2,2,2,2,1,0,1,0DB DE DF ===.
10．四棱锥S ABCD -中，AB //CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2AB BC ==，1CD SD ==. 建系求点S 的坐标.
所以在SEM 中，设22SM EM +在SDM 中，SM ①②解得：x =
1．在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4，7，6)，则点M 关于y 轴对称的点在xOz 平面上的射影的坐标为（） A ．(4，0，6)B ．(4-，7，6)-C ．(4-，0，6)-D ．(4-，7，0) 【答案】C
【解析】首先由M 的坐标，确定其关于y 轴的对称点：y 值不变，x 、z 值与M 点对应坐标值互为相反数，再由对称点在xOz 面上的射影坐标为：x 、z 值不变，y 值变为0即可. 【详解】点M 的坐标是(4，7，6)， 点M 关于y 轴对称的点为(4M '-，7，6)-， 点M '在xOz 平面上的射影的坐标为(4-，0，6)-． 故选：C ．
2．若空间一点(1,0,1)M a a -+在z 轴上，则=a （） A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】C
【分析】根据点在z 轴上，可得点的横、纵坐标均为0； 【详解】点(1,0,1)M a a -+在z 轴上， ∴101a a -=⇒=，
故选：C.
3．点()3,0,4P 在空间直角坐标系中的位置是（） A ．y 轴上B ．xOy 平面上C ．xOz 平面上D ．yOz 平面上 【答案】C
【解析】根据点()3,0,4P 的横坐标、纵坐标以及竖坐标的特点，可得点()3,0,4P 的位置. 【详解】点()3,0,4P 的纵坐标为0，横坐标和竖坐标不为0， ∴点()3,0,4P 在xOz 平面上.
故选：C.
4．点()P a b c ，，到坐标平面yoz 的距离是（） A ．4
9
B ．a
C ．
b D ．c
5．在空间直角坐标系O xyz -中，点()2,2,4A 与点()2,2,4B --（） A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于z 轴对称 【答案】D
【详解】点A ，B 的竖坐标相同，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，所以关于z 轴对称. 故选：D
【点睛】方法点睛：点(),,M a b c 是空间直角坐标系O xyz -中的一点，则
（1）关于xOy 平面的对称点坐标为(),,a b c -；关于xOz 平面的对称点坐标为(),,a b c -；关于yOz 平面的对称点坐标为(),,a b c -.
（2）关于x 轴的对称点坐标为(),,a b c --；关于y 轴的对称点坐标为(),,a b c --；关于z 轴的对称点坐标为(),,a b c --. （3）关于原点的对称点坐标为(),,a b c ---.
6．点()2,1,3P -关于Oxy 平面的对称点的坐标为（） A ．()2,1,3-B ．()2,1,3C ．()2,1,3--D ．()2,1,3-- 【答案】B
【分析】根据点关于坐标轴，坐标平面对称时，关于谁对称谁不变可得.
【详解】关于Oxy 平面对称的点的x ，y 坐标不变，只有z 坐标相反，所以点()2,1,3P -关于Oxy 平面的对称点的坐标为()2,1,3．
7．（多选）下列各命题正确的是（）
A ．点()1,2,3-关于平面xOz 的对称点为()1,2,3
B ．点1,1,32⎛⎫
- ⎪⎝⎭
关于y 的对称点为1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．点()2,1,3-到平面yOz 的距离为1
D ．设{}
,,i j k 是空间向量单位正交基底且以i ，j ，k 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立了一个空间直角坐标系， 若324m i j k =-+，则()3,2,4m =- {}
,,i j k 是空间向量单位正交基底且以i ，j ，k 的方向为系，且324m i j k =-+，所以m ⃑
D 正确，
ABD
8．在空间直角坐标系中，点()1,,P a b 与点(),2,4Q c -关于坐标原点对称，则abc =______． 【答案】8
【详解】点()1,,P a b 与点(),2,4Q c -关于坐标原点对称，则1,2,4c a b =-==-，故8abc =. 故答案为：8.
9．已知点()()240320A B -，
，，，，，则线段AB 的中点坐标___________.
10．已知点()423A -，
，关于坐标原点的对称点为1A ，1A 关于xOz 平面的对称点为2A ，2A 关于z 轴的对称点为3A ，则线段3AA 的中点M 的坐标为_______.
【答案】()400-，
， 【详解】点423A -（，，）关于坐标原点的对称点A 1的坐标为423--（，，），点423A --（，，）关于xOz 平面的对称点A 2的坐标为423-（，，），点423A -（，，）₂关于z 轴的对称点A 3的坐标为423---（，，），∴线段AA 3的中点M 的坐标为
400-（，，）
. 【点睛】本题考查了原点对称、z 轴对称、面对称的规律，考查了中点坐标公式，熟记对称坐标之间的特征是解题
的关键.
11．空间直角坐标系中点，(),3,4A a 和点(1,,)B b c -关于点(1,3,2)C -对称，则a b c ++=__________.
12．在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等腰三角形，1AB AC AA ==，E 、F 分别是1CC 、BC 的中点，且5AB =，
6BC =，请建立空间直角坐标系，并求各点的坐标.
【分析】利用FC FA ⊥，取11B C 的中点为1F ，即可以点F 为原点，分别以射线FC ､F A ､1FF 为x 轴、y 轴、z 轴的正，FAC 是直角三角形，所以)3,0,0、(3,0,0C 13．已知点A ，B 关于点(1P ，2，3)的对称点分别为,A B ''，若(1A -，3，3)-，(3A B ''=，1，5)，求点B 的坐标. 【答案】(4-，2，8)-.
【分析】由已知得AB A B ''=-，设(B x ，y ，)z ，带入坐标列方程组求解即可.
【详解】解：由题意可知P 是线段AA '和BB '的中点，则AB B A A B ''''==-，
设(B x ，y ，)z ，则(1,3,3)(3,1,5)(3,1,5)AB x y z =+-+=-=---
所以133135x y z +=-⎧⎪-=-⎨⎪+=-⎩，解得428x y z =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩
. ∴点B 的坐标为(4-，2，8)-.
14．在空间直角坐标系中，点P (－2，1，4)．
（1）求点P 关于x 轴的对称点的坐标；
（2）求点P 关于xOy 平面的对称点的坐标；
（3）求点P 关于点M (2，－1，－4)的对称点的坐标
【答案】（1）(－2，－1，－4)；（2）(－2，1，－4)；（3）(6，－3，－12)．
【分析】(1)由点关于x轴对称点的特点即可求出点的坐标.
(2) 由点关于xOy平面对称点的特点即可求出点的坐标.
(3) 设对称点为P3(x，y，z)，由M为线段PP3的中点，结合中点坐标公式即可求出对称点的坐标.
【详解】（1）由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．
（2）由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2，1，－4)．
（3）设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点．由中点坐标公式，
可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3(6，－3，－12)．
15．如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标．。