1.4环量和旋度

②作为旋度在该方向的投影。 【解】：
①矢量 l ex 2ey 2ez 的方向余弦为
矢量场为 由环量面密度公式
A x( z y)ex y( x z )ey z ( y x)ez
1 2 2 cos , cos , cos 3 3 3
1 2 2 19 ( z y) ( x z ) ( x y) 3 3 3 (1,2,3) 3
②
ex ey ez rot A A x y z x( z y ) y ( x z ) z ( y x) ( z y )ex ( z x)ey ( y x)ez

环量面密度 ( ) n ( Az Ay ) cos Az Ax cos Ay Ax cos A y z
c
x
S
z
x
y

斯托克斯定理
A dl ( A) d S
rot A 5ex 4ey 3ez
在点M (1, 2,3) 处旋度为
(1,2,3) l 1 l 方向的单位矢量 o l (ex 2ey 2ez ) l 3 在点M (1, 2,3) 处沿 l 方向的环量面密度为：
式中S为闭合曲线l所包围的曲面。
物理含义：
矢量A沿任意闭合曲线l的环量等于以l为边界的曲面S 上旋度的面积分。
斯托克斯定理的证明：
S 0
lim
dl
l
S
rot A n


A dl ( A) d S
l
S 0
lim
S Biblioteka rot A n
Ay Ax Az Ay Ax Az ( ) cos cos cos y z x y z x
旋度的物理意义： 矢量的旋度是描述矢量场A在各点处的旋涡源强度。 旋度和散度的区别： （1）矢量场的旋度是矢量，散度是标量。 （2）旋度描述场中各点的旋涡源强度； 散度描述场中各点的通量源强度。
c c
ex rot A A x Ax
ey y Ay
ez z Az
Az Ay Az Ax Ay Ax ex ez ey z z y x y x
l S
(c)
【例1-11】求矢量 A yex xey cez （c是常量）沿曲线 ( x 2)2 y2 R2 , z 0 的环量。
y
【解】：曲线l是以（2，0）为圆心，R为 半径的圆，故线元 dl dxex dyey
l
对于有限大面积S，可将其按如图(c)方式进行分割，对 每一小面积元有
A l1 d ( ) d S1 A l A dl ( A) d S2
l2
)

A dl ( A) d S
第一章 矢量分析
1.4 矢量场的环量和旋度
主要内容

环量 旋度 斯托克斯定理
学习目的

掌握环量、旋度的物理意义 了解环量、旋度的关系 灵活运用斯托克斯定理求解矢量场
1.4.1 矢量场的环量（环流）
定义：
l
A
A
矢量场A沿空间有向闭合曲线l 的积分称为矢量场A的环量。
Ay Ax Az Ay Ax Az ( ) cos cos cos y z x y z x 1 2 2 ( z y) ( x z) ( x y) 3 3 3
将点 M (1, 2,3) 代入上式：
R

l
O
(2,0)
x l A dl ( yex xey cez ) (dxex dye y )
l
环量
( ydx xdy )
l
[ R sin d(2 R cos ) (2 R cos )d( R sin )]
（3）旋度描述的是场分量沿着与它相垂直的各方向上的变化
规律；散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。 旋度的运算规则： ( A) 0
( ) 0
1.4.3 斯托克斯定理
表达式：
A dl ( A) dS
l S
2. 旋度 定义：
rot A A lim[
S 0
A dl
c
大小：最大的环量密度；
S
]max n
方向：取得最大环量密度时的面元方向。
表达式： 在直角坐标系下
ex rot A A x Ax
ey
ez z Az
y Ay
Az Ay Az Ax Ay Ax ex ez ey z z y x y x
旋度与环量密度的关系为
A dl
0
2π
( R 2 2 R cos )d
0
2π
2πR 2
方法二：
rot A A ex ey x y 2ez y x
ez z c
由斯托克斯定理得
A dl ( A) d S 2 ez d S 2πR 2
c s s
【例】用以下两种方法求矢量场 A x( z y)ex y( x z)ey z( y x)ez
在点M (1, 2,3) 处沿方向 l ex 2ey 2ez 的环量面密度。 ①直接应用环量面密度的计算公式；
5 8 6 19 A lo M 3 3 3 3
内容小结
主要概念：

环量
旋涡源
旋度
若环量（旋度）等 于零，该矢量场为 无旋场或保守场
主要定理：

斯托克斯定理
主要公式

环量 旋度
A dl A cos dl
作业：P21 1-18
1. 环量密度
如图(b)过点P 作一微小曲面S，它 的边界曲线记为l，面的法线方向与曲线 l绕向成右手螺旋关系。若当S 收缩至P 点附近时存在极限
S 0
S nS
P
l
(b)
A
lim
A dl
l
S
则此极限称为矢量场 A 在P 点沿n方向的环量（面）密度 或环量强度。该极限值与S的形状无关，但与S的方向n有 关。
表达式： A dl A cos dl l l
P
（a）
物理意义： （1）环量用来描述产生该矢量场的旋涡源。 （2）若 0 ，表示该矢量场为无旋场或保守场； 若 0 ，表示该矢量场为涡旋场。 由图(a)可见，环量取决于曲线l的绕行方向。
1.4.2 矢量场的旋度