新高考数学高考数学压轴题 等差数列选择题专项训练分类精编附答案(2)

一、等差数列选择题
1．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ∀∈都有333
122n n n a a a ++=+，则10a 等于
（ ）
A ．10
B
C ．64
D ．4
解析：D 【分析】
利用等差中项法可知，数列{}
3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}
3
n a 的公
差，可求得3
10a 的值，进而可求得10a 的值. 【详解】
对*n N ∀∈都有3
3
3
122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}
3
n a 为等差数列，
由于11a =，22a =，则数列{}
3n a 的公差为33
217d a a =-=，
所以，33
101919764a a d =+=+⨯=，因此，104a .
故选：D.
2．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（ ） A ．18 B ．19
C ．20
D ．21
解析：B 【分析】
由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得
10a .
【详解】
()122n n a a n --=≥，且11a =，
∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，
通项公式为()12121n a n n =+-=-，
10210119a ∴=⨯-=，
故选：B.
3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若718a a a -<<-，则必定有（ ） A ．70S >，且80S < B ．70S <，且80S > C ．70S >，且80S > D ．70S <，且80S <
解析：A 【分析】
根据已知条件，结合等差数列前n 项和公式，即可容易判断. 【详解】
依题意，有170a a +>，180a a +< 则()177702a a S +⋅=
>
()()1881884
02
a a S a a +⋅=
=+<
故选：A .
4．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则9
9
S a =（ ） A ．9 B ．5
C ．1
D ．
59
解析：B 【分析】
由已知条件，结合等差数列通项公式得1a d =，即可求9
9
S a . 【详解】
4123425S a a a a a =+++=，即有13424a a a a ++=，得1a d =，
∴1999()
452
a a S d ⨯+=
=，99a d =，且0d ≠， ∴9
9
5S a =. 故选：B
5．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（ ） A ．4 B ．6
C ．7
D ．8
解析：A 【分析】
由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值 【详解】 解：由题意得154
52252
a ⨯+
⨯=，解得11a =， 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-， 因为215m a =，所以22115m ⋅-=，解得4m =， 故选：A
6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15 B ．20
C ．25
D ．30
解析：B 【分析】
设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入
求和公式即可求解 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=， 所以()51154
55254202
S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选：B
7．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ．
1
2
尺布 B ．
5
18
尺布 C ．
16
31
尺布 D ．
16
29
尺布 解析：D 【分析】
设该女子第()
N n n *∈尺布，前()
N n n *
∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公
差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】
设该女子第()
N n n *∈尺布，前()
N n n *
∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公
差为d ，
由题意可得30130293015015293902
S a d d ⨯=+=+⨯=，解得16
29d =.
故选：D.
8．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸 D ．二丈二尺五寸
解析：D 【分析】
由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为
985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差
数列性质求得后5项和． 【详解】
由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和， 则()
19959985.52
a a S a +=
==（尺），所以59.5a =（尺），由题知
1474331.5a a a a ++==（尺），
所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-， 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）． 故选：D ．
9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．2 B ．
43
C ．4
D ．4-
解析：C 【分析】
由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】 解：
()111116
11111322
a a S a
+⨯=
==，
612a ∴=，
又
5620a a +=，
58a ∴=，
654d a a ∴=-=.
故选：C ．
10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11
2
a =，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ） A ．21
4
a =-
B ．
648
211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712
D ．1121
n n n n n
T T T n n +-=
++ 解析：D 【分析】
当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-代入120n n n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的通项公式，由221a S S =-可判断A 选项的正误；利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误；求出n T ，可判断D 选项的正误.
【详解】
当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-， 由120n n n a S S -+=可得11111
2020n n n n n n
S S S S S S ----+=⇒
-+=， 整理得
1
112n n S S --=（2n ≥且n +∈N ）. 则1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为以2为首项，以2为公差的等差数列
()12122n n n S ⇒=+-⋅=，12n S n ∴=. A 中，当2n =时，221111
424
a S S =-=
-=-，A 选项正确； B 中，1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列，显然有
648
211S S S =+，B 选项正确； C 中，记()()
1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=
+-++， ()()()
1123111
212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++，
()()()
1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=
--=-<++++，故{}n b 为递减数列， ()1123max 1117
24612
n b b S S S ∴==+-=
+-=，C 选项正确； D 中，
12n n S =，()()2212
n n n T n n +∴==+，()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222
122212n n n n n n T =-++=+-≠，D 选项错误.
故选：D ． 【点睛】
关键点点睛：利用n S 与n a 的关系求通项，一般利用11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩来求解，在变形
过程中要注意1a 是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解.
11．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且
713n n S n T n -=，则5
5
a b =（ ）
A ．
3415
B ．
2310
C ．
317
D ．
62
27
解析：D 【分析】
利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】 由
713n n S n T n
-=， ()()1955199195519992791622923927
2
a a a a a a S
b b b b b b T ++⨯-======++⨯. 故选：D
12．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4S B ．5S
C ． 6S
D ． 7S
解析：B 【分析】
根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值. 【详解】
依题意55647560
0000
a a a a a a a d >⎧>⎧⎪
⇒<⎨
⎨+=+<⎩⎪<⎩
，所以015n a n >⇒≤≤， 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 13．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()
12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前10项的和为
（ ） A ．
89
B ．
910
C ．10
11
D ．
1112
解析：C 【分析】
首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设1
1111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】
当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，()()11122
n n n n n n n a S S n -+-=-=
-=.
检验111a S ==，所以n a n =. 设()11111
11
n n n b a a n n n n +=
==-++，前n 项和为n T ， 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
…. 故选：C
14．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155
C ．141
D ．139
解析：B 【分析】
画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】
所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：
由图可得：3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ，解得155
48x y =⎧⎨=⎩
.
故选：B.
15．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大21
2
，则该数列的项数是（ ） A ．8 B ．4
C ．12
D ．16
解析：A 【分析】
设项数为2n ，由题意可得()21
212
n d -⋅=，及6S S nd -==奇偶可求解． 【详解】
设等差数列{}n a 的项数为2n ， 末项比首项大
212
，
()212121;2
n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇，30S =偶，
30246S S nd ∴-=-==奇偶②．
由①②，可得3
2
d =，4n =， 即项数是8， 故选：A.
二、等差数列多选题
16．已知数列{}n a 满足()
*11
1n n
a n N a +=-∈，且12a =，则（ ） A ．31a =-
B ．201912
a =
C ．332
S = D ． 2 0192019
2
S =
解析：ACD 【分析】
先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ．
【详解】
由题意211122a =-=，31
1112a =-=-，A 正确，313
2122
S =+-=，C 正确；
41
121
a =-
=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3． 2019367331a a a ⨯===-，B 错；
201932019
67322
S =⨯=，D 正确．
故选：ACD ． 【点睛】
本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．
17．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =
B ．733S =
C ．135********a a a a a ++++=
D ．
222
122019
20202019
a a a a a +++= 解析：ABD 【分析】
根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，
342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正
确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，2
33423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a
a a a a a a a =-=-，
，2
20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，
累加可知D 正确. 【详解】
依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，
312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以
712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；
由12a a =，342a a a =-，564a a
a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，
可得
13572019a a a a a ++++
+=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，
故C 不正确；
2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，2
33423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()
a a a a a a a a =-=-，
，2
20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，
所以
2222
2
12342019
a a a a a ++++
+122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，
所以
222
122019
20202019
a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题. 18．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且2
3
n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为
（ ） A ．2
B ．5
C ．3
D ．4
解析：BD 【分析】
利用递推关系可得12
11
n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵2
3
n n n S a +=
， ∴2n ≥时，1121
33
n n n n n n n a S S a a --++=-=
-， 化为：112
111
n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ⎧⎫
⎨
⎬-⎩⎭
单调递减， 可得：2n =时，
2
1
n -取得最大值2． ∴1
n n a a -的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】
本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．若数列{}n a 满足112,02
121,1
2
n n n n n a a a a a +⎧
≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为
（ ） A ．
1
5
B ．
25
C ．
45
D ．
65
解析：ABC 【分析】
利用数列{}n a 满足的递推关系及13
5
a =
，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】
数列{}n a 满足112,02
121,1
2
n n n n n a a a a a +⎧
≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，
211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215
a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,
,,5555
. 故选：ABC.
【点睛】
本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题. 20．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ）
A ．0d >
B ．70a =
C ．95S S >
D ．6S 与7S 均为n S 的最大值
解析：BD
【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解.
【详解】
根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项： {}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；
又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误；
而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>，
又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的.
∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确；
故选：BD.
【点睛】
本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.
21．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（ ）
A ．45n a n =-
B ．23n a n =+
C ．223n S n n =-
D ．24n S n n =+
解析：AC
【分析】
由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式
【详解】
由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=， 所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232
n n n S n n --==-.
故选：AC.
【点睛】
本题考查等差数列，考查运算求解能力.
22．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）
A ．2n S n =
B ．223n S n n =-
C ．21n a n =-
D ．35n a n =-
解析：AC
【分析】
利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ．
【详解】
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =， ∴31413239237
S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，
1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．
()21212
n n n S n +-== 故选：AC ．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
23．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（ ）
A ．若100S =，则280S S +=；
B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15
C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大
D ．若78S S <，则89S S <
解析：BC
【分析】
根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案.
【详解】
A 选项，若1011091002
S a d ⨯=+=，则1290a d +=， 那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确；
B 选项，若412S S =，则()5611128940a a a a a a ++++=+=，
又因为10a >，所以前8项为正，从第9项开始为负，
因为()()116168916802
a a S a a +==+=， 所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确；
C 选项，若()115158151502
a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<， 则80a >，90a <，则{}n S 中8S 最大.故C 正确；
D 选项，若78S S <，则80a >，而989S S a -=，不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选：BC .
【点睛】
本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型.
24．公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（ ）
A ．0d <
B ．70a >
C ．{}n S 中5S 最大
D ．49a a < 解析：AD
【分析】
先根据题意得1110a a +>，1120a a +<，再结合等差数列的性质得60a >，70a <，0d <，{}n S 中6S 最大，49a a <-，即：49a a <.进而得答案.
【详解】
解：根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=
>，()112121202
a a S +=< 所以1110a a +>，1120a a +<，
由于11162a a a +=，11267a a a a +=+，
所以60a >，760a a <-<，
所以0d <，{}n S 中6S 最大，
由于11267490a a a a a a +=+=+<，
所以49a a <-，即：49a a <.
故AD 正确，BC 错误.
故选：AD.
【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，是中档题.
25．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）
A ．320n a n =-
B ．325n a n =-+
C ．当4n =时，n T 取最小值
D ．当6n =时，n T 取最小值
解析：AC
【分析】 由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值．
【详解】
解：在递增的等差数列{}n a 中，
由5105a a +=，得695a a +=，
又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =， 则967(2)3963
a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．
故A 正确，B 错误；
12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---
可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而5610820b b +=-=>．
∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．
故选：AC ．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．。