一种基于Contourlet变换的总变分图像去噪算法

2019年第2期
第40卷
总第289期（自然科学
）
学报
数学及应用数学
一种基于Contourlet变换的
总变分图像去噪算法
张洪为1，张俊英2
摘要：文章针对Contourlet阈值去噪方法和总变分去噪模型的局限性，将Contourlet变换和总变分模型结合，提出一种基于Contourlet变换的总变分去噪方法，该方法在有效去除图像噪声的同时能兼顾图像的纹理细节信息，实验验证了本文方法的有效性和稳定性.
关键词：Contourlet变换；图像去噪；总变分模型
中图分类号：TP391文献标识码：A文章编号：1008-7974（2019）02-0047-03
DOI：10.13877/22-1284.2019.04.011
图像去噪是图像被进一步研究和处理的基础，如何在去除图像噪声的同时保护图像的纹理和细节是图像去噪的关键问题.现有的去噪方法一种是基于频域的去噪方法，包括傅里叶变换、小波变换［1］、Contourlet［2］变换等，即先将含噪图像变换到频率域，然后根据噪声主要位于变换域的高频部分，利用硬阈值或软阈值方法对图像的高频部分进行处理，最后进行反变换即得到去噪后的图像.一种是基于空间域的去噪方法，包括均值滤波［3］、中值滤波［4］、偏微分方程［5-6］、变分法［7］等.均值滤波和中值滤波是利用噪声点周围像素点的均值或中值进行去噪，是一种邻域方法.偏微分方程和变分法是将一个图像去噪问题转化为求解一个偏微分方程问题或泛函极小化问题，具有局部自适应性、模型建立的灵活性等诸多优点.本文针对阈值去噪方法容易产生伪吉布斯现象和阈值选择困难等局限，将总变分去噪方法与Contourlet变换结合，提出一种基于Contourlet变换的总变分图像去噪方法.
1Contourlet变换Contourlet变换是Do和Vetterli［8-9］于2002年提出的一种新的多尺度几何分析方法，也称为金字塔方向滤波器组PDFB（Pyramidal Directional Filter Bank），PDFB的实现包括两个过程，即首先对图像进行拉普拉斯塔式分解LP（Laplacian Pyramid），捕获奇异点，然后由方向滤波器组DFB（Directional Filter Banks）对获得的带通图像进行分解，以捕获方向信息.重复上述过程，将图像分解为多尺度方向子带如图1所示.Contourlet 变换由于具有多方向滤波器组，从而它比小波变换具有更多的方向信息.图2为Zoneplate图像经
收稿日期：2018-11-17
基金项目：通化师范学院科研项目（201640）.
作者简介：1.张洪为，黑龙江绥化人，在读博士，通化师范学院数学学院讲师（吉林通化134002）.2.张俊英，教师.
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学报过Contourlet 变换后的系数图像，各尺度由粗到细依次具有4、4、8、8个方向子带
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图1图像进行PDFB
变换过程示意图
图2Zoneplate 图像的Contourlet 分解示例图
2基于Contourlet 变换的阈值去噪方法
基于Contourlet 阈值去噪方法是将经过Con ⁃tourlet 变换的Contourlet 系数按照事先选定的阈值分为两类，当Contourlet 系数C 的绝对值大于等于事先选定的阈值Th 时，说明这部分系数主要由噪声等高频信息变换而来，去噪时通常被舍弃；当Contourlet 系数C 的绝对值小于事先选定的阈值Th 时，说明这部分系数主要由原始图像的低频信息变换而来，去噪时通常被保留.具体如式（1）所示
C ~
l ,d (i ,j )=ìíî
ïï
0 if ||c l ,d (i ,j )<Th
c l ,
d (i ,j ) if ||c l ,d (i ,j )≥Th （1）Contourlet 变换的硬阈值法虽然能很好的保
留图像的边缘等细节信息，但它的局限性也是显而易见的.因为硬阈值函数在阈值处不连续，造成重构图像信号产生震荡，所以经过硬阈值去噪的图像通常会出现局部振铃和伪吉布斯效应.
3总变分去噪方法
变分法图像去噪的基本思想是将图像去噪问题归结为一个泛函极小化问题，然后进一步求解相应的微分方程，1992年Rudin Qsher 和Fatemi ［10］提出变分极小化模型（简称TV 模型）如下
min E (u )=∫Ω||∇u d x d y +λ2
∫Ω(u -u 0)2d x d y （2）
其中，∫Ω
||∇u d x d y 为正则项，
是对能量的估计，起到平滑图像、消除噪声的作用，∫Ω(u -u 0)2d x d y 为逼近项，反映了被恢复图像u 与含噪图像u 0之
间的差别，
λ为权衡系数.对应的欧拉-拉格朗日方程的演化形式为
ìí
îïï∂u (x ,y ,t )∂t =div(∇u ∇u )+λ(u 0-u )
u (x
,y ,t )|t =0=u 0(x ,y )
（3）其中，
(x ,u )∈Ω,t >0.尽管TV 模型在保持图像边缘方面有比较好的特性，但随后的研究发现它不完全符合形态学原则［11］，这一局限性导致其稳态解中常会出现明显的“阶梯”效应.另外，由于TV 模型是以1/||∇u 为扩散系数的，在图像的边缘附近，因||∇u 较大，1/||∇u 较小，扩散较弱，从而
保留了边缘，但对于边缘附近的噪声却很难去除.
4基于Contourlet变换的总变分去噪算法
由于基于Contourlet 变换的阈值去噪方法存在阈值选择困难及容易产生伪吉布斯效应等局限，而总变分去噪模型的局限性是易于产生“阶梯”效应，为此提出一种基于Contourlet 变换的总变分去噪算法，即在基于Contourtlet 变换的阈值去噪方法中，用总变分模型扩散过程代替阈值过滤噪声过程，具体算法如下：
1）确定分解的层次K ，对含噪图像进行Contourlet 变换，得到低频系数a 0和高频系数
d 0,d 1,⋯,d K -1.
2）对变换域的最外两层利用总变分模型式（3）进行扩散处理，得到新的系数.
3）对未处理的高频系数d 0,d 1,⋯,d K -3和
已处理的高频系数d K -2,d K -1以及低频系数a 0
进行Contourlet 逆变换，得到信号x ̂，即为原始信号x 的估计.
5实验结果
为验证本文方法的有效性，本文选取了大小
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张洪为，等一种基于Contourlet 变换的总变分图像去噪算法
为256×256的Lena 、Barbara 两幅图像作为测试图像，并将本文方法与基于Contourlet 的硬阈值去噪方法和总变分去噪方法在强度为15的高斯白噪声下的去噪结果进行比较，实验结果表明，利用基于Contourlet 的阈值去噪方法去噪后的图像会产生明显的伪吉布斯效应，利用总变分模型去噪后的图像会丢失很多的纹理细节信息并且会出现明显的块效应，而利用本文算法去噪后的图像既能很好的去除噪声，又能很好的保留图像的纹理和细节信息.噪声强度为15的Lena 图像去噪结果比较如图3所示，噪声强度为15的Barbara 图像去噪结果比较如图4所示
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（a ）Lena 含噪图（b ）Contourlet
阈值去噪图
（c ）总变分模型去噪图
（d ）本文方法去噪图
图3噪声强度为15的Lena
图像去噪结果比较
（a ）Barbara 含噪图
（b ）Contourlet
阈值去噪图
（c ）总变分模型去噪图
（d ）本文方法去噪图
图4噪声强度为15的Barbara 图像去噪结果比较
6结论
本文针对Contourlet 阈值去噪方法和总变分去噪方法的局限性，提出了一种基于Contourlet 变换的总变分去噪方法，实验表明，该方法在去除图像噪声的同时能够保持图像的纹理和细节信息.
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（责任编辑：陈衍峰）
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