湖南省五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考文科数学试题(解析版)

湖南省五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考
文科数学
本试卷共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．
【详解】由A中不等式解得：0≤x≤2，即，
∵B={-1，0，1，2，3}，
∴A∩B={0，1，2}，
故选：C．
【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.设为虚数单位，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
计算出，进而计算即可.
【详解】
.
【点睛】本题考查复数的除法运算及模的求法，考查计算能力． 3.在一次
千米的汽车拉力赛中，名参赛选手的成绩全部介于分钟到分钟之间，将比赛成绩分为五组：第一组
，第二组
，…，第五组
，其频率分布直方图如图所示，若成绩在
之间的选手可获奖，则这
名选手中获奖的人数为（ ）
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】
由频率分布直方图得到成绩在内的频率，然后用50乘以两组的频率和可得该班在这次百米测试中成绩良好的人
数；
【详解】由频率分布直方图知，成绩在内的频率为： ，
所以，成绩在
内的人数为：
（人），
所以该班成绩良好的人数为11人． 故选D.
【点睛】本题考查了频率分布直方图计算频数，属基础题. 4.已知双曲线的离心率为，则的焦点坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】
根据离心率求得双曲线方程中的 ，进而根据求得c ，则双曲线的焦点坐标可得．
【详解】由双曲线，离心率为2，可得
则
故双曲线C的焦点坐标是（±2，0）．
故选A.
【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线标准方程和基本性质的理解和运用．
5.在直角中，，，，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
在直角三角形ABC中，求得，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．
【详解】
在直角中，，，，，
，
若，则
故选C.
【点睛】本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．
6.某四棱锥的三视图如图所示，某侧视图是等腰直角三角形，俯视图轮廓是直角梯形，则该四棱锥的各侧面中，面积的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出各个侧面的面积，进而可得答案．
【详解】
因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是直角梯形的一个顶点，
后面是直角三角形，直角边为3与2，所以后面的三角形的高为：
右面三角形是直角三角形，直角边长为：，4，三角形的面积为：．
前面三角形BC边长为：6，高为，其面积为：，
左面也是直角三角形，直角边长为4，，三角形的面积为，
四棱锥的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
7.已知函数，则（）
A. 的最小正周期为，最大值为
B. 的最小正周期为，最大值为
C. 的最小正周期为，最大值为
D. 的最小正周期为，最大值为
【答案】B
【分析】
先逆用二倍角公式，然后逆用两角和的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，即可得到最大值，利用周期公式求周期；
【详解】由题
∴最大值为4 ，．
故选B.
【点睛】本题考查了三角变换及三角函数的图象与性质，解题的关键是化成正弦型函数的标准形式．
8.执行如图所示程序框图，其中.若输入的，则输出的结果为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
计算循环中的值，当满足判断框的条件时，退出循环，输出结果即可．
【详解】模拟执行程序框图，可得
不满足条件，继续循环，
不满足条件，继续循环，
不满足条件，继续循环，
满足条件，
退出循环，输出的值为58．
【点睛】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力，属于基础题．
9.已知函数在区间上单调递减，则的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的导数，推出m，n的不等式组，然后利用线性规划，表达式的几何意义求解即可．
【详解】
∵，
∴，
∵在区间上单调递减，
∴在区间上恒成立，
∴，不等式组表示的可行域如图阴影部分，
∴m2+n2的几何意义是可行域内的点与原点距离的平方，显然原点到直线距离最小，所以．故选：D．
【点睛】本题考查函数的单调性，考查导数知识的综合运用，考查学生分析解决问题的能力，线性规划的应用，属于中档题．
10.已知，，，是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
画出几何体的图形，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，求出半径即可求解球的表面积．
【详解】
由题意画出几何体的图形如图，
把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离
为球的半径，
，是正三角形，所以．
所求球的表面积为：
故选：C．
【点睛】本题考查球的表面积的求法，球的内接体问题，考查空间想象能力以及计算能力．
11.已知函数，若，且，则取最大值时的值为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得为f（x）的对称轴，再根据，由此求出的值，写出f（x）的解析式，求出取最大值时的值.
【详解】∵对x∈R恒成立，
∴为的对称轴，
∴
解得，
∵，
∴
故取，
则取最大值
故选C.
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．
12.若为奇函数，则满足的的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质求得，可得．不等式即，再利用函数的单调性可得x-1＜-2，由此求得x的取值范围．
【详解】为奇函数，∴，求得，可得．
不等式足，即，即．
再根据在R上单调递增，可得，
故选B.．
【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数，若，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】
将代入函数解析式，利用对数的运算性质可求出.
【详解】由题，即
即答案为2 .
【点睛】本题考查对数的运算性质，属基础题.
14.设，满足约束条件，则的最大值是______.
【答案】3
【解析】
作可行域，则直线过点A（3,0）时取最大值3
15.已知直线被抛物线截得的弦长为，直线经过的焦点，为上的一个动点，设点的坐标为，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
把直线方程与抛物线方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得出p与关系；再根据经过的焦点，得出p 与的关系，可求出抛物线方程，进而得到的最小值.
【详解】（1）
则又直线经过的焦点，则
由此解得抛物线方程为，则
故当时，
即答案为.
【点睛】熟练掌握直线与抛物线相交问题转化为直线方程与抛物线方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式等是解题的关键．
16.已知，，分别为内角，，的对边，，是，的等比中项，且的面积为，
则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知及正弦定理可求cosC的值，由是，的等比中项，且的面积为，根据余弦定理可求.
【详解】∵，
∴利用正弦定理可得：
则为锐角，由的面积为，
可得由是，的等比中项可得由余弦定理可得
故
故答案.
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.已知首项为的数列的前项和为，，设.
（1）求数列的通项公式；
（2）判断数列是否为等差数列，并说明理由；
（3）求数列的前项和.
【答案】（1）（2）数列是等差数列；理由详见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）利用（）可求数列的通项公式，注意验证
的情况；
（2）由题可得，即数列为等差数列；、、
（3），利用裂项相消法可求数列的前项和.
【详解】解：（1）依题意，则时，,.
时，，则，整理得，
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
（2），则，
且，所以数列是等差数列.
（3）
.
【点睛】本题着重考查了等差的通项公式与求和公式、数列的通项与求和以及对数的运算法则等知识，考查了转化、化归与函数方程数学思想的应用，属于中档题．
18.2019年国际篮联篮球世界杯，将于2019年在的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.为了宣传世界杯，某大学从全校学生中随机抽取了名学生，对是否收看篮球世界杯赛事的情况进行了问卷调查，统计数据如下：
（1）根据上表说明，能否有的把握认为收看篮球世界杯赛事与性别有关？
（2）现从参与问卷调查且收看篮球世界杯赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取人参加2019年国际篮联篮球世界杯赛志愿者宣传活动.
（i）求男、女学生各选取多少人；
（ii）若从这人中随机选取人到校广播站开展2019年国际篮联篮球世界杯赛宣传介绍，求恰好选到名男生的概率. 附：，其中.
【答案】（1）有（2）（i）男生人，女生人（ii）
【解析】
【分析】
（1）利用，计算结果，通过比较即可判断能否有99%的把握认为收看开幕式与性别有关．（2）（ⅰ）根据分层抽样方法，求得解选取的人中，男生有人，女生有人．
（ⅱ）设抽取的名男生分别为，，，名女生为甲；列出从中抽取两人的所以情况以及抽到男的情况，然后求解概率．
【详解】解：（1）因为，
所以有的把握认为收看篮球世界杯赛与性别有关.
（2）（i）根据分层抽样方法得，男生人，女生人，
所以选取的人中，男生有人，女生有人.
（ii）设抽取的名男生分别为，，，名女生为甲；
从中抽取两人，分别记为，，，），，，共种情形，
其中男的有，，，共种情形
所以，所求概率.
【点睛】本题考查独立检验思想的应用，古典概型的概率的求法，分层抽样的应用，考查计算能力．
19.如图，四边形中，，，为的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且平面平面，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明过程详见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）连接交于，连接，依题意可知四边形为平形四边形，由此可证，即可证明平面；（2）取中点，连接，证明平面，且,由可求求三棱锥
的体积.
【详解】解：（1）连接交于，连接，依题意可知四边形为平形四边形，
又为的中点，
又平面，平面，平面.
（2）取中点，连接，
，，
又平面，平面平面，且平面平面，平面，且,
又为的中点，
点到平面的距离等于点到平面的距离的，
又四边形为菱形，为等边三角形，，
.
【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，几何体体积的求法，熟练掌握空间直线与平面位置关系的定义、判定定理、性质定理是解答本题的关键．
20.已知椭圆的离心率为，右焦点为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过定点的直线交椭圆于，两点，连接并延长交于，求证：.
【答案】（1）（2）证明过程详见解析
【解析】
【分析】
（1）设出圆的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出b，利用离心率求出a，即可求出椭圆C的标准方程；（2）依题意可知直线斜率存在，设方程为，代入整理得
，与椭圆有两个交点，.
设，，直线，的斜率分别为，，利用韦达定理证明
即可.
【详解】解：（1）依题意可设圆方程为，
圆与直线相切，.，
由解得，
椭圆的方程为.
（2）依题意可知直线斜率存在，设方程为，代入整理得
，
与椭圆有两个交点，，即.
设，，直线，的斜率分别为，
则，.
，
即.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，圆的圆心与半径的求法，考查分析问题解决问题的能力．
21.已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明有且只有三个零点.
【答案】（1）时，在上单调递减；时，在上单调递增；时，在
上单调递减，在和上单调递增.（2）证明过程详见解析.
【解析】
【分析】
（1）的定义域为，求导，对解析分类讨论可得函数的单调性；
（2），，
由（1）可知在和上单调递增，在单调递减，
首先证明在上有唯一零点，再证明在上有唯一零点；
最后证明在有唯一零点即可
【详解】解：（1）的定义域为，
①时，，，在单调递减；
②时，令，即，
（i）时，，此时，在上单调递增；
（ii），，令，则，
时，，时，
，在和上单调递增，在
单调递减.
综上，时，在上单调递减；时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在
和上单调递增.
（2），，
由（1）可知在和上单调递增，在单调递减，
又，且，在上有唯一零点.
又，
在上有唯一零点；
又，，在有唯一零点
综上，当时，有且只有三个零点.
【点睛】本题考查了函数单调性的判断，零点的存在性定理，导数的应用，考查分类讨论思想，属于中档题．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4一4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，直线的参数方程为（是参数）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）求圆心的直角坐标；
（2）过直线上的圆引切线，求切线长的最小值.
【答案】（1）（2）2
【解析】
【分析】
（1）依题意有，，即可求出圆心的直角坐标；
（2）设上任意一点，，半径，由切线的几何性质即可求出切线长的表达式，进而求得切线长的最小值.
【详解】解：（1）依题意有，
，即.，即
（2）设上任意一点，
，半径，切线长为，
即切线长的最小值为.
【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，切线的几何性质的应用，．
23.[选修4一5：不等式选讲]已知函数，.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）时，不等式为，利用分类讨论解不等式
（2）恒成立⇔恒成立，进而可求范围．
【详解】解：（1）时，不等式为，
当时，不等式化为：，，此时；
当时，不等式化为：，，此时-；
当时，不等式化为：，，此时.
综上，不等式的解集为.
（2），
，，
又，，解得或，
即的取值范围是.
【点睛】熟练掌握绝对值不等式的解法、分类讨论的思想方法、等价转化思想等是解题的关键．。