数学人教版八年级下册图形的折叠问题

T D
B
BT BC TC
2 2
2
(10 x) 2 102 (10 x) 2 E 即， 解得 ，
x 2 .5
即. AT 2.5 --------14分
O
图③
C x
∴Rt△ATE≌Rt△DTE（HL） ∴AT＝DT. ----------------12分
九年级 数学 课堂小结
同一个直角三角形
相似 面积
图形的折叠 一题多法 方法二：等面积法
九年级 数学
1 3-x
①
4
④
1
①x
④ ③
4
5
②
3-x
②
x
5
3
3
x
5
SAECD S1 S2 S4
1 3 x 5 (3 x 3) 5 6 x S矩形ABCD S1 S2 S3 S4 2 2 2
解： 2）证明：（如图②）
由题意可知∠1＝∠2. ∵EG∥x轴， ∴∠1＝∠3. ∴∠2＝∠3. ∴EH＝CH. ---------------6分
y A
B D
（m，n） H 10-m 3
A’ F
E O
m
m n 2
1 P
G n C x
3）
m
1 2 n 5. 20
D 3 -----------9 分 2 A
4 ，AF= 1
1 3-x x 3 x
5
4
5 3
5
勾股 相似 面积
九年级 数学
图形的折叠
一题多法
方法一：勾股定理
A
1 x
F
1 3-x x 5
4 5 3
3-x
E
x
分析:
∵∠A=90° ∴EA²+AF²=EF² ∴（3-x)²+1²=x²
解得 x 5
3
折叠 集中
勾股定理
方程思想
解题技巧1:
分散条件
图形的折叠 一题多变 知识拓展，引向深刻
变式2：将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落 在点B´的位置.AB´与CD交于点E。若AB=8，DE=3， P为线段AC上任一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H.求 B' PG+PH的值
D E
H
P
G
C
A
F
B
作PF垂直AB PF=PG PG+PH=PF+PH =HF =AD =4
如何解决折叠问题的呢？
复习与回顾 1.轴对称图形 折叠 （1） 如果一个图形沿一条直线________, 互相重合 两侧的图形能够_________, 这个图形就叫是轴 对称轴 对称图形。折叠所在的这条直线__________. 轴对称图形 对称点 图形上能够重合的点叫__________.
轴对称图形
分析： 求线段DE值 A’ D 4 反思： Ａ X 3 E 8-X C X 2 1 B 4
利用折叠的性质： “平行线+角平分线” 找线段DE所在的等腰△
A’ F 3 1 2
D
设元建立方程 解方程得X=5
A
解：∵点A与点A’关于直线BD对称， ∴∠1 = ∠2 ∵CD∥BA， ∴∠1 = ∠3 ∴∠2 = ∠3 ∴ED= EB B 设 ED = x，则EB = x，EC= 8 – x 在Rt△BAE中， BC 2 CE 2 BE 2 2 2 2 ∴ 4 (8 x) x 解得x =5
解：
（1）E（0，5）；------------------------------------3分
y A E D B
O
C x
图①
图形的折叠 一题多变 知识拓展，引向深刻
变式三（在平面直角坐标系中的折叠）：
将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分 别在轴和y轴上.在OA边上选取适当的点E，连接CE，将△EOC 沿CE折叠。 （2）如图②，当点O落在矩形OABC内部的点D处时，过点E 作EG∥x轴交CD于点H，交BC 于点G. 求证：EH＝CH； （3）在（2）的条件下，设H（m，n），写出m与n之间的关系式
２、解决正方形、矩形的折叠问题，往往 转化为 直角三角形 、 等面积 、 相似三角形等方法 列出方程求解。
变式3
图形的折叠 一题多变 知识拓展，引向深刻
练习1解答过程：
图形的折叠 一题多变 知识拓展，引向深刻 变式1： 如图，矩形ABCD沿着对角 线BD折叠，使点A落在A’处，BA’交 CD于点E，AD=4，AB=8，则DE的 长为 5 .
对称轴 对称轴
2.勾股定理：
a c
在直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
b 即如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为
c，那么 a
2
b c .
2 2
图形的折叠
引入
引出课题
图形的折叠
引入
引出课题
图形的折叠
解决问题 引出课题
1.知识点回顾：
纸片折叠 折痕
实质
轴对称变换
生成相等的线段和角 对应点连线的垂直平分线
解：4） （如图③）连接ET， 由题意可知，ED＝EO， ED⊥TC，DC＝OC＝10 ∵E是AO中点， ∴AE＝EO. ∴AE＝ED. 在Rt△ATE和Rt△DTE中，
T E T E, AE ED,
设 AT ， x 则 BT ， 10 x， 在Rt△BTC中，,
y A
C F
图形的折叠
☞透过现象看本质:万变不离其宗
B
A
图 形 的 变 化
G O
A
折痕的变化
轴 实质 折 对 叠 称F E
轴对称性质：
D
背景的 变化
1.图形的全等性：重合部分 是全等图形，对应边角相等。 2.点的对称性：对称点 连线被对称轴垂直平分。 问题解决的方法： 转化为三角形，利用勾股定理建立等量关系
解题技巧3:
面积计算元素齐全 面积计算方法多样
等面积法
3- x 5 5 3 5 6 x x 2 2 2
勾股 相似
图形的折叠
反思二：
梳理知识，提炼方法，
1 3-x
x
1 3-x x x
4 5
5 等面积 3
1
x
5 相似
3
勾股定理
求边长用勾股定理
太多未知设未知数 反思二： 1、图形的折叠，往往使隐含条件明显化或分散条件集中化。
图②
m
1
B
“平行线+角平分线”
图形的折叠 一题多变 知识拓展，引向深刻
变式三（在平面直角坐标系中的折叠）：将边长OA=8，OC=10的矩形OABC 放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在轴和y轴上.在OA边 上选取适当的点E，连接CE，将△EOC 沿CE折叠。 （4）如图③，将矩形OABC 变为正方形，OC＝10，当点E为AO中点时，点O 落 在正方形OABC内部的点D处，延长CD交AB于点T，求此时AT的长度。
实质
对称轴
2.解题关键：折叠中长度不变，
位置改变带来特殊性
关键
折叠前后对应线段长度不变。
图形的折叠 一题多法 解决折叠问题——3、会求 例1、如图所示：点E为矩形ABCD的边AB上一点。将矩形 ABCD沿CE对折，点B恰好与AD上的点F重合。 （1）发现不变性：CF=
CB
，EF=
EB
。 。
F
（2）若AB=3,BC=5，求长度：DF= （3）在（2）的条件，求BE的长。
勾股定理
D A
3 1
F 2
B
“平行线+角平分线”
图形的折叠
y A E E O
图①
D
B
y A
B D H G C x
图②
y A
T D
B
E
C x
O
O
图③
C x
图形的折叠 一题多变 知识拓展，引向深刻
变式三（在平面直角坐标系中的折叠）： 将边长OA=8，OC=10的矩形OABC 放在平面直角坐标系中，顶点O为原点， 顶点C、A分别在x轴和y 轴上.在OA 边上选取适当的点E，连接CE，将△EOC 沿CE 折叠。 （1）如图①，当点O 落在AB 边上的点D 处时，点E 的坐标为
6-X 8-X 6-X X
G
X
8-(6-x) 6
图形的折叠
一题多变 知识拓展，引向深刻
变式4（在平面直角坐标系中的折叠） 将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中， 顶点O为原点，顶点C、A分别在x轴和y轴上.在OA边上选取 适当的点E，连接CE，将△EOC 沿CE折叠。
（1）如图①，当点O 落在AB边上的点D处时，点E的坐标为 （2）如图②，当点O 落在矩形OABC内部的点D处时，过点E 作EG∥x轴交 CD于点H，交BC于点G. 求证：EH＝CH； （3）在（2）的条件下，设H（m，n），写出m与n之间的关系式 （4）如图③，将矩形OABC 变为正方形，OC＝10，当点E为AO中点时，点O 落在正方形OABC内部的点D处，延长CD交AB于点T，求此时AT的长度。
根据勾股定理得bgcgbc图形的折叠知识拓展引向深刻一题多变变式4在平面直角坐标系中的折叠将边长oa8oc10的矩形oabc放在平面直角坐标系中顶点o为原点顶点ca分别在x轴和y轴上
八年级 数学
图形的折叠
广州市东环中学
王检辉
图形的折叠
引入 引入
引出课题
期中考试23题，平均分 5.3分
☆本题第2问6分，平均分2.2分，只有3位同学拿到满分。得 分低的主要原因是由于对折叠的实质理解不够透彻，没有掌 握解决折叠问题的方法。
图形的折叠 一题多变 知识拓展，引向深刻
变式3：（选做）如图， 矩形 中，AB=8，BC=6，P 为AD上一点， 将△ABP 沿BP翻折至△EBP， PE与 4.8 CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为__________
解析：如图所示： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8. 根据题意得△ABP≌△EBP， ∴ EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8. 在△ODP和△OEG中， ∴ △ODP≌△OEG， ∴ OP=OG，PD=GE，∴ DG=EP. 设AP=EP=x，则PD=GE=6－x，DG=x， ∴ CG=8－x，BG=8－（6－x）=2+x. 根据勾股定理，得 BC 2 CG 2 BG 2 6 2 (8 x) 2 (x 2) 2 即 解得 x=4.8. ∴ AP=4.8.
图形的折叠 课堂小结 及时反思
五、小结 1）折叠过程实质上是一个 轴对称 变换，折痕就是 对称轴 ， 变换前后两个图形 全等 。 2）在矩形的折叠问题中，若有求边长问题，常设未知数， 利用 方程 思想解决问题。 3）在折叠问题中，可以利用熟悉的数学模型， 转化到新背景下解决问题。 A’
1 3-x x
y A
T D
B
E
O
图③
C x
勾股
相似
总结
图形的折叠 一题多变 知识拓展，引向深刻
变式三（在平面直角坐标系中的折叠）：将边长OA=8，OC=10的矩形OABC 放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在轴和y轴上.在OA边 上选取适当的点E，连接CE，将△EOC 沿CE折叠。 （4）如图③，将矩形OABC 变为正方形，OC＝10，当点E为AO中点时，点O 落 在正方形OABC内部的点D处，延长CD交AB于点T，求此时AT的长度。