因式分解PPT课件

例: 设 n 是大于 2 的整数 . 证明: 不存在 u , v , w K[ x ], 使得 u n + v n = w n , deg uvw > 0 .
证: 若 u , v , w 存在. 设 deg w deg u , deg v . 设 r 是 uvw 互异的不可约因式的乘积. 则有 deg r deg uvw 3 deg w . 应用定理*, n deg w < deg r , 矛盾!
定理* : 设 f , g , h K[ x ]不全为常数, 且 f + g = h, (f,g,h)=1. 设 r 是多项式 f g h 的所有(互异)不可约 因式的乘积. 证明: deg f , deg g , deg h < deg r .
证: 不妨设 deg h deg f , deg g .
2. 已知 n = 9379 是两个素数的乘积 , 求正整数 m < n , 使得 m3 ≡ 86 mod n .
多项式分解的标准形式
在 K[ x ] 中, 非零多项式都能唯一地 写成
f ( x ) = a p1 ( x )e1 p2 ( x )e2 … ps ( x )es 0 a K , pi ( x ) 首一不可约,
X2+ I = 0
0 1 a 2 1 0 0 0
a
0
0
1
0
0
余数定理
在 K[ x ] 中, 用 x – t 去除 f ( x ) , 得到的 余式一定是 f ( t ) . 证 : 作带余除法,
f(x)=q(x)(x–t) + r, rK. “将 x 用 t 代入”, 得 f ( t ) = r .
一元多项式的根
设 f ( x ) K[ x ] , 数域 K 是幺环 R 的子环. 若有 t R , 使得
f(t) = 0, 则称 t 是 f ( x ) 在扩环 R 上的一个根.
例: 多项式 f = x2 + 1 Q[ x ]
在 Q 上没有根,
在 C 上有两个根,
在 Q 的扩环 R = M2( Q ) 上有无穷多个根 :
若 f ( x ) = p( x )e g( x ) , ( p( x ), g( x ) ) = 1 对 x 求导, 得 f ( x ) = p( x )e-1 ( e p( x ) g( x ) + p( x ) g( x ) )
于是有 p( x )e-1 | ( f ( x ) , f ( x ) )
f ( a ) = an a n + an-1 a n-1 + + a0 K , 则 a f ( a ) ( a K ) 是 K 上的函数, 称为由 f 给出的多项式函数.
x 用 t 带入
设数域 K 是交换幺环 R 的子环, f ( x ) K[ x ] . 对任意 t R , 记
f ( t ) = an t n + an-1 t n-1 + + a0 . 若 f(x)=h(x)g(x)+r(x), 则有 f ( t ) = h ( t ) g ( t ) + r ( t )
由于 f , g , h 两两互素, 我们有
r = f g h / ( f , f ) ( g , g ) ( h , h ) .
又由
f +g =h
得
f + g = h
于是有 f g – f g = f h – f h
故 ( f , f ) ( g , g ) ( h , h ) | f g – f g
若a 0: ( f ( x ) , f ( x ) ) = ( x3 + a x + b, 3 x2 + a ) = ( 3 x3 + 3 a x + 3 b, 3 x2 + a ) = ( 2ax + 3b, 3 x2 + a )
= ( 2ax + 3b, 12 a2 x2 + 4 a3 )
= ( 2ax + 3b, 4 a3 + 27b2 )
则有 f = p1e1 -1 p2e2 -1… prer -1 g 其中 pi ( x ) | g ( x )
于是
( f , f ) = p1e1 -1 p2e2 -1… prer -1 f / ( f , f ) = a p1 p2 … pr
定理: 非零多项式 f ( x ) 在 K[ x ] 无重因式 ( f ( x ) , f ( x ) ) = 1 .
定理: 设幺环 R 是域 K 的扩环 , t R 与 K 中 元素都可交换 , 则映射 : K[ x ] → R
an x n + an-1 x n-1 + + a0 an t n + an-1 t n-1 + + a0
( (x)= t, (a)= a , a K )
保持加法与乘法运算 , 即 是 K[ x ] 到 R 的同态 ( f + g ) = ( f ) + ( g ) , ( f g ) = ( f ) ( g ) , f , g K[ x ]
定理: 设 0 f K[ x ] , 数域 K L . 则有 f ( x ) 在 L[ x ] 中无重因式 f ( x ) 在 K[ x ] 中无重因式
重因式
例: 当 a , b 满足什么条件时, 多项式 f ( x ) = x2 + a x + b , a , b K
没有重因式. 解:
重因式的判定定理
在 K[ x ] 中, 若不可约多项式 p( x ) 整除 f ( x ) 的重数 e 1 , 则 p( x ) 整除 f ( x ) 的重数为 e – 1 . • f ( x ) 的单因式不整除 f ( x ) • p 是 f 的重因式 p | ( f , f )
证: 设 f ( x ) = p( x )e g( x ) , p( x ) | g( x ) . 求形式导数, 得 f ( x ) = p( x )e-1 ( e p( x ) g( x ) + p( x ) g( x ) )
例: 求 f = x 4 – 6 x 2 – 8 x – 3 的重因式
解: ( f ( x ) , f ( x ) ) = ( x 4 – 6 x 2 – 8 x – 3 , 4 x 3 – 12 x – 8 ) = (–3x2–6x–3, x3–3x–2 ) = ( x2+2x+1, = ( x + 1 )3 ( x – 3 )
数学分析里的求导运算是建立在函数极限, 函数导数的基础上的. 对数域上的形式 多项式, 能不能求导?
K[ x ] 上的形式导数
多项式 f ( x ) = an x n + an-1 x n-1 ++ a1 x + a0 ,
的形式导数是 K 上的 n - 1 次多项式: f ( x ) = n an x n-1 + ( n – 1 ) an-1 x n-2 + + a1 用类似方式定义 f ( x ) , … , f ( k )( x )
f 无重因式 ( f ( x ) , f ( x ) ) = 1 a2–4b 0
重因式
例: 当 a , b 满足什么条件时, 多项式 f ( x ) = x3 + a x + b , a , b K
没有重因式. 解:
f 无重因式 ( f ( x ) , f ( x ) ) = 1 4 a 3 + 27 b 2 0
不能被 p( x ) 整除 由 0 deg p( x ) < deg p( x ) 知 p( x ) | p( x ) , p( x ) | e p( x ) g( x ) + p( x ) g ( x )
若 f ( x ) = a p1 ( x )e1 p2 ( x )e2 … pr( x )er pi ( x ) 首一不可约
第七章 多项式环
1 一元多项式环 2 整除性与最大公因式 3 不可约多项式与唯一分解性质 4 重因式 5 C , R 与 Q 上的不可约多项式 6 多元多项式 7 对称多项式 8 有限域
将多项式看成函数
设 f = an x n + an-1 x n-1 + + a0 K[ x ] 对aK, 记
形式导数的性质
f ( x ) , g ( x ) K[ x ], 有
• ( f ) = 0 f K
• ( k f ( x ) ) = k f ( x )
kK
• ( f g )= f g
• ( f g ) = fg + f g
• ( f ( x )m ) = m f ( x ) m-1 f ( x ), m 1
称 p( x ) 是 f ( x ) 的 e 重因式. e = 0 , p ( x ) 与 f ( x ) 互素 e = 1 , p ( x ) 是 f ( x ) 的单因式 e > 1 , p ( x ) 是 f ( x ) 的重因式
例: 求 f = x 4 – 6 x 2 – 8 x – 3 的重因式
n + 2809 n + 2911
n + 2967 n + 3469
作业：3 月 18 日 交
§7.5 3, 4, 5 §7.6 3, 4, 6, 7, 12 补充题: 1, 2
补充题: 1. 证明: 若非零多项式 f , g 满足 f g = f g, 则存在非零常数 c , 使得 f = c g .
若 f g – f g 0 , 则有 deg r deg ( f g h ) – deg( f g – f g ) deg ( f g h ) – max{ deg( f g ) , deg( f g ) }
= deg h + 1 > deg h .
若 f g – f g = 0 , 则 f / g 为非零常数, 于是 f , g , h 都为常数, 与题设矛盾.
f ( x ) 没有重因式 ( f ( x ) , f ( x ) ) = 1 4 a 3 + 27 b 2 0
整数环上的 ABC 猜想 : 任给常数 t > 0 , 存在 C > 0 , 使得 对满足条件 a+b=c 且 (a,b,c)=1 的所有正整数 a , b , c , 都有 c < C r 1+ t , 这里 r 是 a b c 所有互异素因子的乘积.
ei 1 称为 pi ( x ) 整除 f ( x ) 的重数
第七章 多项式环
1 一元多项式环 2 整除性与最大公因式 3 不可约多项式与唯一分解性质 4 重因式 5 C , R 与 Q 上的不可约多项式 6 多元多项式 7 对称多项式 8 有限域
不可约因式的重数
若不可约多项式 p( x ) 满足 p ( x )e | f ( x ) 但 p ( x )e+1 | f ( x ) ,
=
1 (无重因式), 若 4 a3 + 27b2 0
x + 3b/(2a) (重因式), 若 4 a3 + 27b2 = 0
讨论: 若 a = 0, b 0 , 则有
( f ( x ) , f ( x ) ) = ( x3 + b, 3 x2 ) = ( b , x2 ) = ( 1, 0 ) = 1
若 a = 0, b = 0 , 则有 ( f ( x ) , f ( x ) ) = ( x3 , 3x2 ) = ( 0 , x2 ) = x2
重因式
例: 当 a , b 满足什么条件时, 多项式 f ( x ) = x3 + a x + b , a , b K
没有重因式. 解: 综上所述,
小结: 满足消去律的交换幺环称为整环. 在整环 Z , K[ x ] 上能做带余除法, 可做辗转相除求元素的最大公因子, 因此 Z , K[ x ] 上有元素唯一分解性质.
例: 大于 n = 10100 的前十个素数
n + 267
n + 949
n + 1243 n + 1293
n + 1983 n + 2773
例 : 设 A 是向量空间 Kn 上的线性变换. 若在 K[ x ] 中, 多项式 f ( x ) 可分解为 f ( x ) = f1 ( x ) f2 ( x ) , ( f1 ( x ) , f2 ( x ) ) = 1 则 Ker f ( A ) 的每个向量都能唯一地写成
1 + 2 的形式, 其中 i Ker fi ( A ) , i = 1, 2.