辛集市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

辛集市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．
B ．18
C ．
D ．
2． 函数2()45f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞ B ．[]2,4 C ．(,2]-∞ D ．[]0,2 3． 有下列四个命题：
①“若a 2+b 2=0，则a ，b 全为0”的逆否命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若“q ≤1”，则x 2+2x+q=0有实根”的逆否命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题． 其中真命题为（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④
4． 在空间中，下列命题正确的是（ ） A ．如果直线m ∥平面α，直线n ⊂α内，那么m ∥n
B ．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β
C ．如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m ⊥α
D ．如果平面α⊥平面β，任取直线m ⊂α，那么必有m ⊥β
5． 等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（ ）
A ．
B 2=A
C B ．A+C=2B C ．B （B ﹣A ）=A （C ﹣A ）
D ．B （B ﹣A ）=C （C ﹣A ）
6． 已知椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为
，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF
1B 的周长为4，则C 的方程为（ ）
A ．
+
=1
B ．
+y 2=1
C ．
+
=1
D ．
+
=1
7． 在ABC ∆中，22
tan sin tan sin A B B A =，那么ABC ∆一定是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形 8． 已知直线l 1：（3+m ）x+4y=5﹣3m ，l 2：2x+（5+m ）y=8平行，则实数m 的值为（ ）
A ．﹣7
B ．﹣1
C ．﹣1或﹣7
D ．
9． 已知，其中i 为虚数单位，则a+b=（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．2
D ．3
10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=3，，A=60°，则满足条件的三角形
个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．以上都不对
11．设i 是虚数单位，若z=cos θ+isin θ且对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
12．若函数21,1,()ln ,1,
x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩则函数1
()2y f x x =+的零点个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
13．命题：“∀x ∈R ，都有x 3≥1”的否定形式为 ．
14．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是A 1D 1的中点，点P 在侧面BCC 1B 1上运动．现有下列命题：
①若点P 总保持PA ⊥BD 1，则动点P 的轨迹所在曲线是直线；
②若点P 到点A 的距离为
，则动点P 的轨迹所在曲线是圆；
③若P 满足∠MAP=∠MAC 1，则动点P 的轨迹所在曲线是椭圆；
④若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离比为1：2，则动点P 的轨迹所在曲线是双曲线； ⑤若P 到直线AD 与直线CC 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在曲线是抛物丝． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
15．若直线y ﹣kx ﹣1=0（k ∈R ）与椭圆恒有公共点，则m 的取值范围是 ．
16．已知函数()ln a f x x x =+
，(0,3]x ∈，其图象上任意一点00(,)P x y 处的切线的斜率12
k ≤恒 成立，则实数的取值范围是 ．
17．若x ，y 满足线性约束条件
，则z=2x+4y 的最大值为 ．
18．已知（ax+1）5的展开式中x 2的系数与
的展开式中x 3
的系数相等，则a= ．
三、解答题
19．如图所示，两个全等的矩形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M AC ∈，N FB ∈，且
AM FN =，求证：//MN 平面BCE ．
20．（本小题满分12分）某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位
（Ⅱ）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出2人进行陈述
发言，求事件“选出的2人中，至少有一名女士”的概率． 参考公式：2
2()K ()()()()
n ad bc a b c d a c b d -=
++++，()n a b c d =+++
【命题意图】本题考查统计案例、抽样方法、古典概型等基础知识，意在考查统计的思想和基本运算能力
21．已知f （x ）=|﹣x|﹣|+x|
（Ⅰ）关于x 的不等式f （x ）≥a 2
﹣3a 恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若f （m ）+f （n ）=4，且m ＜n ，求m+n 的取值范围．
22．已知f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+3a ．
（1）若不等式f （x ）≤0的解集为[1，3]，求实数a ，b 的值； （2）若b=3，求不等式f （x ）＞0的解集．
23．在平面直角坐标系中，已知M（﹣a，0），N（a，0），其中a∈R，若直线l上有且只有一点P，使得|PM|+|PN|=10，则称直线l为“黄金直线”，点P为“黄金点”．由此定义可判断以下说法中正确的是
①当a=7时，坐标平面内不存在黄金直线；
②当a=5时，坐标平面内有无数条黄金直线；
③当a=3时，黄金点的轨迹是个椭圆；
④当a=0时，坐标平面内有且只有1条黄金直线．
24．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．
辛集市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：由三视图可知正方体边长为2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示：
故该几何体的表面积为：3×22
+3×（）+=，
故选：D．
2．【答案】B
【解析】
试题分析：画出函数图象如下图所示，要取得最小值为，由图可知m需从开始，要取得最大值为，由图可知m 的右端点为，故m的取值范围是[]2,4.
考点：二次函数图象与性质．
3．【答案】B
【解析】解：①由于“若a2+b2=0，则a，b全为0”是真命题，因此其逆否命题是真命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，不正确；
③若x2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q≥0，解得q≤1，因此“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．
综上可得：真命题为：①③．
故选：B．
【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
4．【答案】C
【解析】解：对于A，直线m∥平面α，直线n⊂α内，则m与n可能平行，可能异面，故不正确；
对于B，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β，故不正确；
对于C，根据线面垂直的判定定理可得正确；
对于D，如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么可能m⊥β，也可能m和β斜交，；
故选：C．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于中档题．
5．【答案】C
【解析】解：若公比q=1，则B，C成立；
故排除A，D；
若公比q≠1，
则A=S n=，B=S2n=，C=S3n=，
B（B﹣A）=（﹣）=（1﹣q n）（1﹣q n）（1+q n）
A（C﹣A）=（﹣）=（1﹣q n）（1﹣q n）（1+q n）；
故B（B﹣A）=A（C﹣A）；
故选：C．
【点评】本题考查了等比数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论及学生的化简运算能力．
6．【答案】A
【解析】解：∵△AF
1B 的周长为4， ∵△AF 1B 的周长=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=2a+2a=4a ，
∴4a=4，
∴a=
，
∵离心率为，
∴，c=1，
∴b=
=
，
∴椭圆C 的方程为+=1．
故选：A ．
【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
7． 【答案】D 【解析】
试题分析：在ABC ∆中，2
2
tan sin tan sin A B B A =，化简得
22sin sin sin sin cos cos A B
B A A B
=，解得 sin sin sin cos sin cos cos cos B A
A A
B B A B =⇒=，即s
i n 2s i n 2A B =，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或
2
A B π
+=
，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D ．
考点：三角形形状的判定．
【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角三角函数基本关系的运用，其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出sin 2sin 2A B =，从而得到A B =或2
A B π
+=是试
题的一个难点，属于中档试题． 8． 【答案】A
【解析】解：因为两条直线l 1：（3+m ）x+4y=5﹣3m ，l 2：2x+（5+m ）y=8，l 1与l 2平行．
所以，解得m=﹣7．
故选：A ．
【点评】本题考查直线方程的应用，直线的平行条件的应用，考查计算能力．
9． 【答案】B
【解析】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1
另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．
故选B．
【点评】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题．
10．【答案】B
【解析】解：∵a=3，，A=60°，
∴由正弦定理可得：sinB===1，
∴B=90°，
即满足条件的三角形个数为1个．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于基础题．
11．【答案】B
【解析】解：∵z=cosθ+isinθ对应的点坐标为（cosθ，sinθ），
且点（cosθ，sinθ）位于复平面的第二象限，
∴，∴θ为第二象限角，
故选：B．
【点评】本题考查复数的几何意义，考查三角函数值的符号，注意解题方法的积累，属于中档题．
12．【答案】D
【解析】
考点：函数的零点．
【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令0)(=x f ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在],[b a 上是连续的曲线，且0)()(<b f a f .还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
二、填空题
13．【答案】 ∃x 0∈R ，都有x 03＜1 ．
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题：“∀x ∈R ，都有x 3
≥1”的否定形式为：命题：“∃x 0∈R ，
都有x 03
＜1”．
故答案为：∃x 0∈R ，都有x 03
＜1．
【点评】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．
14．【答案】 ①②④
【解析】解：对于①，∵BD 1⊥面AB 1C ，∴动点P 的轨迹所在曲线是直线B 1C ，①正确；
对于②，满足到点A 的距离为的点集是球，∴点P 应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，
②正确；
对于③，满足条件∠MAP=∠MAC 1 的点P 应为以AM 为轴，以AC 1 为母线的圆锥，平面BB 1C 1C 是一个与轴AM 平行的平面，
又点P 在BB 1C 1C 所在的平面上，故P 点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误； 对于④，P 到直线C 1D 1 的距离，即到点C 1的距离与到直线BC 的距离比为2：1， ∴动点P 的轨迹所在曲线是以C 1 为焦点，以直线BC 为准线的双曲线，④正确； 对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE ⊥BC ，EF ⊥AD ，PG ⊥CC 1，连接PF ，
设点P 坐标为（x ，y ，0），由|PF|=|PG|，得，即x 2﹣y 2
=1，
∴P 点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误． 故答案为：①②④．
【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．
15．【答案】 [1，5）∪（5，+∞） ．
【解析】解：整理直线方程得y ﹣1=kx ，
∴直线恒过（0，1）点，因此只需要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上即可，
由于该点在y 轴上，而该椭圆关于原点对称，
故只需要令x=0有 5y 2=5m
得到y 2
=m
要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上，则y ≥1即是
y 2≥1
得到m ≥1
∵椭圆方程中，m ≠5
m 的范围是[1，5）∪（5，+∞） 故答案为[1，5）∪（5，+∞）
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．本题采用了数形结合的方法，解决问题较为直观．
16．【答案】2
1≥a 【解析】
试题分析：'
21()a f x x x =
-，因为(0,3]x ∈，其图象上任意一点00(,)P x y 处的切线的斜率1
2
k ≤恒成立，2112a x x ∴-≤，(0,3]x ∈，x x a +-≥∴221
，(0,3]x ∈恒成立，由2111,222
x x a -+≤∴≥．1
考点：导数的几何意义；不等式恒成立问题．
【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义；不等式恒成立问题等知识点求函数的切线方程的注意事项：（1）
首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点．（2）切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．（3）在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．
17．【答案】38．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+4y得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，
直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，
由，解得，
即A（3，8），
此时z=2×3+4×8=6+32=32，
故答案为：38
18．【答案】．
【解析】解：（ax+1）5的展开式中x2的项为=10a2x2，x2的系数为10a2，
与的展开式中x3的项为=5x3，x3的系数为5，
∴10a2=5，
即a2
=，解得
a=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，利用展开式的通项公式确定项的系数是解决本题的关键．
三、解答题
19．【答案】证明见解析．
【解析】
考点：直线与平面平行的判定与证明．
20．【答案】
【解析】（Ⅰ）根据题中的数据计算：
()2 2
4005017030150
6.25
80320200200
⨯⨯-⨯
K==
⨯⨯⨯
因为6．25＞5．024，所以有97．5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关
（Ⅱ）由已知得抽样比为81
=
8010，故抽出的8人中，男士有5人，女士有3人．分别设为,,,,,1,2,3
a b c d e，选
取2人共有{},a b，{},a c，{},a d，{},a e，{},1a，{},2a，{},3a，{},b c，{},b d，{},b e，{},1b，{},2b，{},3b，{},c d，{},c e，{},1c，{},2c，{},3c，{},d e，{},1d，{},2d，{},3d，{},1e，{},2e，{},3e，{}
1,2，{}
1,3，{}
2,328个基本事件，其中事件“选出的2人中，至少有一名女士”包含18个基本事件，故所求概率为189
=
2814
P=．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a2﹣3a恒成立，即|﹣x|﹣|+x|≥a2﹣3a恒成立．
由于f（x）=|﹣x|﹣|+x|=，故f（x）的最小值为﹣2，
∴﹣2≥a2﹣3a，求得1≤a≤2．
（Ⅱ）由于f（x）的最大值为2，∴f（m）≤2，f（n）≤2，
若f（m）+f（n）=4，∴m＜n≤﹣，∴m+n＜﹣5．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）∵函数f（x）=x2﹣（a+b）x+3a，
当不等式f（x）≤0的解集为[1，3]时，
方程x2﹣（a+b）x+3a=0的两根为1和3，
由根与系数的关系得
，
解得a=1，b=3；
（2）当b=3时，不等式f（x）＞0可化为
x2﹣（a+3）x+3a＞0，
即（x﹣a）（x﹣3）＞0；
∴当a＞3时，原不等式的解集为：{x|x＜3或x＞a}；
当a＜3时，原不等式的解集为：{x|x＜a或x＞3}；
当a=3时，原不等式的解集为：{x|x≠3，x∈R}．
【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法和应用问题，是基础题目．
23．【答案】
①②③
【解析】解：①当a=7时，|PM|+|PN|≥|MN|=14＞10，因此坐标平面内不存在黄金直线；
②当a=5时，|PM|+|PN|=10=|MN|，因此线段MN上的点都满足上式，因此坐标平面内有无数条黄金直线，正确；
③当a=3时，|PM|+|PN|=10＞6=|MN|，黄金点的轨迹是个椭圆，正确；
④当a=0时，点M与N重合为（0，0），|PM|+|PN|=10=2|PM|，点P在以原点为圆心、5为半径的圆上，因此坐标平面内有且无数条黄金直线．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了新定义“黄金直线”、“黄金点”、椭圆的定义、圆的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…
由e==，得1﹣=，∴a=5，…
∴椭圆C的方程为+=1．…
（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…
设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…
由韦达定理得x1+x2=3，
y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…
由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，
∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…
【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．。