山西省太原五中高二数学三月月考试题 理(含解析)新人教A版

山西省太原五中2013-2014学年高二数学三月月考试题理（含解析）
新人教A版
一．选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的)
1．设
x
x
x
f ln
)
(=，若2
)
(
=
'x
f
，则
=
x
（）
A．e B．2e C．
ln2 2
D．ln2
2．下列值等于1的定积分是（）
A．
xdx
⎰10
2
1
B．
dx
x)
(1
1
+
⎰
C．
dx
⎰20
2
1
D．
dx
⎰10
2
1
3．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于( )．
A．1 B．2 C．0 D. 2
考点：1二次函数的单调性；2用导数研究函数的单调性。

4．由直线
1
2
x=
，x=2，曲线
1
y
x
=
及x轴所围成图形的面积为（）
A．
15
4B．
17
4C．
1
ln2
2D．2ln2
5．在下面的四个图象中，其中一个图象是函f(x)＝
1
3
x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于( )．
A.
1
3
B．－
1
3
C.
7
3
D．－
1
3
或
5
3
6．已知二次函数
2
()
f x ax bx c
=++的导数为()
f x
'
，
(0)0
f'>，对于任意实数x，有
()0
f x≥
，则
(1) (0) f
f'的最小值为 ( )
Ａ．3Ｂ．
5
2Ｃ．2Ｄ．
3
2
7．已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是
( )
A．y＝2x－1 B．y＝x C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3
8．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)> 0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)
【答案】D
【解析】
试题分析：因为
()()()()()()
()'''
f x
g x f x g x f x g x
=+
，则由已知可得0
x<时，()()
()'0
f x
g x>
，令
()()()
h x f x g x
=
，则函数
()()()
h x f x g x
=
在
(),0
-∞
上单调递
增。

因为
()()
,f x g x 分别是在R 上的奇函数和偶函数，所以
()
h x 在R 上是奇函数。

则
()
h x 图像关于原点对称，且在
()0,+∞上也单调递增。

因为()30g -=，且()g x 为偶函数则
()()330
g g -==，即
()()330h h -==。

综上可得
()()()0
h x f x g x =<的解集为
()(),30,3-∞-U 。

故D 正确。

考点：1函数的奇偶性；2用导数研究函数的单调性；3数形结合思想。

9．若函数f(x)=2x2 - lnx 在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )
A. ( 32 ,+ ∞)
B. (- ∞, 12 )
C. (12 , 32 )
D. [1, 32
)
10．设点P 在曲线
x
e y 21
=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为（ ）
A. 2ln 1-
B. )2ln 1(2-
C. 2ln 1+
D. )2ln 1(2+
【答案】B
【解析】
试题分析：函数
x
e y 21=和函数)2ln(x y =互为反函数图像关于y x =对称。

则只有直线PQ
与
直
线
y x
=垂
二．填空题（本题5个小题，共4⨯5=20分）
11. 若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于
________
12. 设函数f(x)＝
13ax3＋1
2bx2＋cx(c<0)，其图象在点A(1,0)处的切线的斜率为0，则f(x)
的单调递增区间是________．
13. 设2
0lg ()3a
x f x x t dt ⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰ 00x x >≤，若((1))1f f =，则a = .
【答案】1 【解析】 试题分析：因为
()1lg10
f ==，所以
()()()23330
10301
a
f f f t dt a a ===-==⎰，所以
1a =。

考点：1分段函数；2定积分。

14. 设f(x) =
dt
t x
a
⎰
212 且
⎰
=1
1
)(dx x f ， 则a = .
15. 关于x 的方程x3－3x2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是____．
三.解答题（本题4个小题，共4⨯10=40分） 16. (10分)如右图，由曲线4
2+=x y 与直线
x y 5=，0=x ，4=x
所围成平面图形的面积.
17．（10分）设f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．
【答案】(1)
()3212
f x x x
=-
；(2)
()
min
82
f x=-()max18
f x=
【解析】
试题分析：(1)根据
()
f x
为奇函数可得0
c=。

由导数的几何意义可得()'136
f a b
=+=-
，
()2
'3
f x ax b
=+
的最小值可求b，从而可得
()
f x
的解析式。

(2)先求导，在令导数大于0
得增区间，令导数小于零得减区间，从而求得在[]
1,3
-
上的极值。

再求两端点处函数值，
比较极值与端点处函数值最小的为最小值，最大的为最大值。

18．（10分）设函数f(x)＝x2－mlnx，g(x)＝x2－x＋a.
当a＝0时，f(x)≥g(x)在(1，＋∞),上恒成立，求实数m的取值范围；
当m＝2时，若函数h(x)=f(x)－g(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1) (],e
-∞
(2)
(]
22ln2,32ln3
--
【解析】
试题分析：(1) 可将问题转化为
()
1,
x∈+∞
时，ln
x
m
x
≤
恒成立问题。

令
()
ln
x
x
x
φ=
，
先求导，导数大于0得原函数的增区间，导数小于0得原函数的减区间，根据单调性可求最
小值。

只需
()
min
m x
φ
≤
即可。

(2)可将问题转化为方程2ln
x x a
-=,在
[]
1,3
上恰有两个
相异实根，令
()2ln
k x x x
=-。

同(1)一样用导数求函数的单调性然后再求其极值和端点
处函数值。

比较极值和端点处函数值得大小，画函数草图由
∴
()
k x 在
[)1,2上是单调递减函数，在(]2,3上是单调递增------------8分
函数．故()()min 222ln 2
k x k ==-，
又()11k =，
()332ln3
k =-，
∵
()()13k k >，∴只需
()()
23k a k <≤，
故a 的取值范围是
(]22ln 2,32ln3--．--------------------10分
考点：1导数研究函数的单调性；2用单调性求最值；3数形结合思想。

19．(10分) 已知函数
()2
a f x x x =+
，()ln g x x x =+，其中0a >． ()I 若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；
()II
若对任意的
[]
12
,1
x x e
∈，
（e为自然对数的底数）都有
()
1
f x
≥
()
2
g x
成立，求实数a
的取值范围．
当x变化时，
()
h x
，
()
h x
'
的变化情况如下表：
依题意，
2
118
1
4
a
-+
=
，即
23
a=，∵0
a>，∴3
a=
11 由2a ≥1e +，得a ≥12e +，又1≤a ≤e ，∴1
2e +≤a ≤e ．
③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=
<，
∴函数
()2
a f x x x =+在[]1e ，上是减函数． ∴()()2
min a f x f e e e ==+⎡⎤⎣⎦.由
2a e e +≥1e +，得a e ， 又a e >，∴a e >．
综上所述，a 的取值范围为
1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 考点：用导数求极值和最值。