东北农业大学网络教育2014年专科起点本科入学考试(高等数学)

东北农业大学网络教育2014年专科起点本科入学考试
模拟试题高等数学（一）
一、选择题（大题共10小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）。

1.极限（）
A. B. C. D.
2.下列关系式正确的是（）
A. B.
C. D.
3.（）
A. B. C. D.
4.方程，表示的二次曲面是（）
A. 椭球面
B.柱面
C. 圆锥面
D.抛物面
5.若所确定的区域，则（）
A. B. C. D.
6.已知导函数的一个原函数为，则（）
A. B. C. D.
7.级数为常数（）
A.绝对收敛
B.条件收敛
C.发散
D. 收敛性与有关
8.设，则（）
A.2
B.1
C.
D.O
9.函数在内二阶可导，且，，则曲线在内
（）
A.单调增加且上凹
B.单调增加且下凹
C.单调减少且上凹
D.单调减少且下凹
10.设为连续函数，则（）
A. B. C. D.O
二、填空题（本大题共10小题，每小题6分，满分40分）
11. 。

12.设，则。

13.设，则。

14.。

15.已知平面，则过原点且与垂直的直线方程为。

16.设，则。

17.设，则。

18.设区域，，则直解坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分，有。

19.微分方程满足初始条件的特解为。

20．设区域由曲线，围成，则二重积分。

三、解答题（本大题共8小题，满分70分）
21.（本题满分8分）已知当时，与是等价无穷小量，求常数的值.
22.（本题满分8分）设，求
23. （本题满分8分）求证：
24. （本题满分8分）求曲线在点（1，3）处的切线方程。

25. （本题满分8分）设，求，。

26. （本题满分10分）判定的敛散性
27. （本题满分10分）已知，，，求，。

28 . （本题满分10分）
设为[0，1]上的连续函数，试证。

模拟试题高等数学（一）参考答案
1.A
2.C
3.C
4.D
5.B
6.D
7.A
8.A
9.B 10. D 11.
12. 13. 14. 15. 16. 17. 1
18.19. 20.
21.解：由于当时,与是等价无穷小理
因此有
解得
22. 解：令，
，
所以
23. 证明：
因为定积分与积分变量无关，所以
24. 解：由导数的几何意义知，曲线在点处切线的斜率。

切线方程为
，由于，则
因此切线方程为，即
25. 解：设，，则，由复合函数的链式法则有
，
由于，，
26. 解：设，。

由于为公比的几何级数，因此为收敛级数。

而
，为公比的几何级数，因此为收敛级数，进而知收敛，故收敛。

27.解：由于
而
，
因此
进而
28.证明：由于二重积分区域可以表示为：，，其图形如图阴影部分所示
如果换为先对积分，作平行于轴的直线与区域相交，沿轴正向看，入口曲线为，出口曲线为，
因此，在区域中。

因此
原等式成立
东北农业大学网络教育2014年专科起点本科入学考试
模拟试题高等数学（二）
一、选择题（大题共10小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）。

1.（）
A. B. C. D.
2.函数在处连续是在处极限存在的（）
A.充分百必要条件
B. 必要非充分条件
C.充分必要条件
D.即不充分也不必要条件
3.（）
A. B.
C. D.
4.下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是（）
A. B.
C. D.
5.当时，是的等价无穷小量，则（）
A. B. C. D.
6.微分方程通解为（）
A. B.
C. D.
7.平面，的位置关系为（）
A.垂直
B.斜率
C.平行不重合
D. 重合
8.设函数，则在处（）
A.可导
B.连续但不可导
C.不连续
D.无定义
9.设与是正项级数，且，，则下列命题正解的是（）
A.若收敛，则收敛
B. 若发散，则发散
C.若发散，则发散
D. 若收敛，则收敛
10.设，在极标下二重积分可以表示为（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
11.若，则。

12.要使，能构成复合函数，则取值范围是。

13.设，且在点处连续，则。

14.已知由方程：确定函数，则。

15.已知，则。

16.设，，。

17.过原点且与平面的平行的平面方程为。

18.函数的极小值点是。

19.级数绝对收敛的充要条件是。

20.微分方程的阶数是。

三、解答题（本大题共8小题，满分70分）
21.（本题满分8分）当时，与为等价无穷小量，求.
22.（本题满分8分）设，求.
23. （本题满分8分）设，且，求.
24. （本题满分8分）欲围一个面积为150平米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元。

问场地的两边各为多少米时，才能使所用材料费最少？
25. （本题满分8分）已知连续，证明.
26. （本题满分10分）已知直线，若平面过点且与垂直，求平面的方程。

27. （本题满分10分）设，判定该函数的极值、单调性以及该曲线的凹向与拐点。

28 . （本题满分10分）求的通解。

模拟试题高等数学（二）参考答案
1. B
2.A
3. B 4 .C 5. B 6.C 7.A 8.A 9. B 10. B 11. 12.13.
14. 15. 16. 17. 18.（3，3）19．20. 1
21.解：由于当时，与为等价无穷小量，因此
22.解：
23.解：因为，所以
又因为，所以，
24. 解：设所围场地正面长为，另一边为，则，从而，设四面围墙高度相同，都是，则四面围墙所使用的材料总费用为
则
令，得驻点，
25.证明：
右边
26.解：由题意可知，直线的方向向量必定平行于所求平面的法向量，因此可取
利用平面的点法式方程可知
即
为所求平面方程。

或写为一般式方程：
27. 解：所给函数的定义域为，
令，得驻点，。

当时，不存在。

在处不存在，当时，
由上表可知，函数的单调递减区间为，
单调递增区间为，
与为其两个极小值点，极小值，
为其极大值点，极大值
曲线在上都是上凹的，没有拐点。

28.解：其对应的齐次方程的特征方程为，特征要为，，相应齐次方程的通解为
设方程的特解为，代入
得，原方程的特解
原方程的通解为（其中，为任意常数）
东北农业大学网络教育2014年专科起点本科入学考试
模拟试题高等数学（三）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。

1.下面命题中正确的有（）
A.若为的极值点，则必有
B.若，则必为的极值点
C.若为的极值点，可能不存在
D.若在内存在极大值，也存在极小值，则极大值必定大于极小值
2.当时，与比较，可得（）
A. 是较高阶的无穷小量
B. 是较低阶的无穷小量
C. 与是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量
D.与是等价无穷小量
3.设在直线，则该直线（）
A.过原点且垂直于轴
B.过原点且垂直于轴
C.过原点且垂直于轴
D.不过原点也不垂直于坐标轴
4.设函数，则不定积分（）
A. B.
C. D.
5.若收敛，则下面命题正确的是（）
A. 可能不存在
B. 必定不存在
C.存在，但
D.
6.设函数在处连续，则的值为（）
A. B. C. D.
7.设在上连续，内可导，则（）
A.至少存在一点，使
B.当时，必有
C.至少存在一点，使得
D. 当时，必有
8.交换二次积分次序：（）
A. B.
C. D.
9.设是在上的一个原函数，则在上的不定积分为（）
A. B.
C. D.
10.极限（）
A.-1
B.0
C.1
D.2
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
11. 。

12.比较积分大小：。

13.设则。

14.设，则。

15.设，则其在区间上的最大值为。

16.微分方程的通解为。

17.设曲线在点处的切线平行于轴，则该切线方程为。

18.过点且与直线垂直的平面方程为。

19.级数的收敛区间为。

（不包括端点）
20.设二元函数，则。

三、解答题（本大题共8小题，满分70分）
21.（本题满分8分）设，求
22.（本题满分8分）计算
23.（本题满分8分）设，求
24.（本题满分8分）试证
25.（本题满分8分）计算，其中为与的公共部分。

26.（本题满分10分）求，则，，其中存在偏导数，求，
27.（本题满分10分）判定级数的收敛性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？
28 .（本题满分10分）求的通解。

模拟试题高等数学（三）参考答案
1.C
2.B
3.B
4.A
5.D
6.A
7.C
8.C
9. D 10. C 11. 12. 13.
14. 15. 16. 17.
18.19. （1，3）20.
21.解：令，则，由于
由题设有，即，从而有
22. 解令，，
当时，；当时，
则有
23. ，
，
24. 证明对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系。

因此可以设，不妨设，则在闭区间上连续，在开区间内可导，进而可知，在
上满足拉格朗日中值定量条件，因此必定存在点，使得，由于
从而有
由于，因此
25.解采用极坐标，则可表示为，
26.解由复合函数的链式法则有
由于所给为抽象函数，而，，，
于是
27.解所给级数是任意项级数，不是交错级数，由于
又由于为的级数，因而收敛，由正项级数的比较判别法可知
收敛，从而绝对收敛。

28.解特征方程为，故为共轭复根，
于是通解为。