有限元基础-弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式

在实际编程计算的过程中并不需要采用上述 的矩阵相乘的过程。在单元刚度矩阵和单元等效 结点载荷矩阵生成以后，只需按照单元结点自由 度编码，“对号入座”地迭加到总刚度矩阵和总 等效结点载荷列阵即可。
2.2.6 结构刚度矩阵的特点
1)对称性 2)奇异性 3)稀疏性 4)非零元素带状分布
2.2.7 引入位移边界条件
于是能量泛函可写作
（2.2.30）
由最小位能原理，有
（2.2.31）
得到有限元求解方程为 Ka = P
（2.2.32）
2.2.3 单元刚度矩阵
对于3结点三角形单元，应变矩阵B是常量阵， 因此有
（2.2.33）
将弹性矩阵
和应变矩阵 代入（2.2.33）式后，它的任一分块矩阵为：
其中
（2.2.34） （2.2.35）
这6个广义坐标可由单元的6个结点位移来表示。 在上式第一式中代入结点 i 的坐标( xi, yi )，应得 到结点 i 在 x 方向的位移 ui
同理可得
( 2.2.2)
解此方程可得到广义坐标由结点位移表示的表达 式
( 2.2.4 )
其中 D 为方程 ( 2.2.2 ) 的系数行列式 ( 2.2.3 )
A 是三角形单元的面积
( 2.2.6 ) 上式中 ( i, j, m ) 表示下标可顺序轮换
同理，利用 3 个结点的 y 方向位移，可求得： ( 2.2.5 )
2. 位移插值函数
将所得的广义坐标 1～6 代回位移模式 (2.2.1) 式
整理得
则以结点位移表示的位移函数为
( 2.2.7 )
其中
有限元求解的第一步 是划分网格，将求解 域离散为有限个三角 形单元的集合
2.2.1单元位移模式及插值函数的构造
有限单元法与里兹法的区别： 里兹法的试探函数定义在整个求解域上 有限元法的试探函数定义在每个单元上，就全 域来说是以每个单元上的结点三角形单元的结点 编码以逆时针方向为正向 每个结点有2个位移分量
第2章 弹性力学问题有限单元法的 一般原理和表达格式
2.1 引言
本章将通过弹性力学变分原理建立弹性力学问 题的有限单元法的表达格式。 以结点位移为基本未知量、并基于最小位能原 理建立的有限单元称为位移元。 位移元是有限单元法中最常用的单元
2.2 弹性力学平面问题的有限元格式
常应变三角形位移有 限元是最简单、最原 始的单元
应力矩阵
单元应力可以由物理方程求得：
通常不单独计算应力矩阵，而是直接用 DB 计算 应力
2.2.2 利用最小位能原理建立 有限元方程
平面问题的总位能泛函为：
其中 t 是二维体厚度；f 是作用在平面内的体积 力；T 是作用在边界上的表面力。
对于离散模型，系统总位能是各单元位能之和， 将 = Bae和u = Nae代入
对称性： 奇异性：
Kij ＝ Kji ｜K｜＝ 0
主元恒正： 物理解释
Kii ＞ 0
2.2.4 单元等效结点载荷列阵
单元等效结点载荷
（2.2.27d ） （2.2.27b） （2.2.27c）
1. 均质等厚单元的自重 设单元的单位体积重量为 ，则有
其中每个结点的等效结点载荷为
即自重的等效结点载荷是
引入单元结点转换矩阵G，将单元结点位移列阵 用结构结点位移列阵表示
其中
ae = Ga
( 2.2.25)
a = [ u1 v1 u2 v2 … ui vi … un vn ]T
令 称为单元刚度矩阵
称为单元等效结点载荷列阵
代入离散形式的能量泛函表达式，得
令
称为结构整体刚度矩阵
称为结构等效结点载荷列阵
为什么要引入边界条件 ？
1. 直接代入法
2. 对角元素改1法
对角元素乘大数法
3. 应变矩阵与应力矩阵
确定了单元位移模式后利用几何方程就可求得单 元的应变
B 称为应变矩阵，L 是微分算子
B 的各分块子矩阵是
因为 所以
( 2.2.16)
于是 3 结点三角形单元的应变矩阵为
式中 bi, bj, bm, ci, cj, cm 是单元形状的参数。当单 元结点坐标确定后它们都是常量，因此 B 是常量 阵。当单元结点位移 ae 求得后，由 B 求得的应 变都是常量。因此 3 结点三角形单元是常应变单 元。
2. 均布侧压
图示，均布侧压q，作用在ij边，q以压为正。 令ij边长为l，与x轴的夹角为，侧压q在x和y方向 的分量qx和qy为
作用在单元边界ij上的面积力
在单元边界上建立局部坐标s，则沿ij边插值函数 可写作
代入单元等效结点载荷计算式
因此均布侧压时单元等效结点载荷列阵为
3. x方向均布力 单元等效结点载荷
每个单元有6个结点位移
vm um
m ( xm, ym )
vi i ( xi, yiu)i
vj uj
j ( xj, yj )
1. 单元的位移模式及和广义坐标
3 结点三角形单元的位移模式选取一次多项式 ( 2.2.1 )
即单元内各点的位移是坐标 x, y 的线性函数。其
中 1～6 是待定参数，称为广义坐标。
在单元中任一点，各插值函数之和应等于 1， 即
( 2.2.12 )
因为若x方向有刚体位移 u0，则单元上各点位移 均为u0，于是有：
u = Ni ui + Nj uj + Nm um = ( Ni+Nj+Nm ) u0 = u0 这必然要求 Ni + Nj + Nm = 1。若插值函数不满足 此要求，就不能反映单元的刚体位移，用于求 解必然得不到正确的结果。
( 2.2.8 )
称为单元的插值函数或形函数，它是坐标 x, y 的 一次函数。ai, bi, ci, …, cm等是常数，决定于单元 的三个结点坐标。
单元面积A可通过系数表示为：
( 2.2.9 )
位移函数的矩阵形式
简化得：
( 2.2.10 ) 其中 N 称为插值函数矩阵或形函数矩阵
插值函数的性质 1
由（2.2.34）式可知： 即单元刚度阵是对称矩阵
单元刚度阵的物理意义
对一个单元应用最小位能原理建立平衡方程：
展开为
Ke ae = Pe + Fe
若令a1 = 1，a2 = a3 = … = a6 = 0 则
因此有：x方向 y方向
K11 + K31 + K51 = 0 K21 + K41 + K61 = 0
4. x方向三角形分布载荷
2.2.5 结构刚度矩阵和结构结点载荷列阵的 集成
结构刚度矩阵是由单元刚度矩阵集成的，集 成是通过单元结点转换矩阵G实现的
结点转换矩阵的作用： 将单元刚度矩阵扩大到与结构刚度矩阵同阶， 以便进行矩阵相加。 将单元刚度矩阵中的各子块按照单元结点的实 际编码安放在扩大的矩阵中，其物理意义是该 单元对结构刚度矩阵的那些刚度系数有贡献。
在结点上插值函数的值满足
( 2.2.11 )
即有 Ni ( xi, yi ) = 1， Ni ( xj, yj ) = 0， Ni ( xm, ym ) = 0。
因为： u(xi, yi) = Ni(xi, yi)ui + Nj(xi, yi)uj + Nm(xi, yi)um = ui
插值函数的性质 2
单元刚度阵元素 Kij 的物理意义
当单元的第j个结点位移为单位位移而其他 结点位移为零时，需在单元第i个结点位移方向上 施加的结点力大小。
对于单元刚度矩阵的每一列（行）元素应有
K1j+K3j+K5j＝Kj1+Kj3+Kj5=0 K2j+K4j+K6j＝Kj2+Kj4+Kj6=0
单元刚度矩阵的特性：