一元二次不等式题型总结

一元二次不等式
题型归纳总结：
题型一 解含参一元二次不等式问题
1、若二次项有参数，讨论等于0、大于0、小于0
2、判断相应方程是否有根，即求∆，讨论000<∆>∆=∆、、，（若可以因式分解，则不需求∆）
3、方程若无实根或有一根，则直接写出解集；若有两根需讨论根的大小。

例1．解关于x 的不等式2ax －(a ＋1)x ＋1＜0.
解：①当a ＝0时，不等式即－x ＋1＜0，解集为{x|x ＞1}．
②当a ＞0时，不等式化为0)1)(1(<--ax x 即0)1
)(1(<--a
x x ，
当a 1
1=，即1=a 时，不等式的解集为φ；
当a 11>，即a ＞1时，不等式的解集为{x|a 1
＜x ＜1}；
当a 11<，即0＜a ＜1时，不等式的解集为{x|1＜x ＜a
1
}；
③当a ＜0时，不等式化为0)1)(1(<--ax x 即0)1
)(1(>--a
x x ，
∵a＜0，∴a 1＜1， ∴不等式的解集为{x|x ＜a
1
或x ＞1}．
综上所述：
当a ＝0时，解集为{x|x ＞1}；
当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x|1＜x ＜a
1
}．
当a ＞1时，不等式的解集为{x|a
1
＜x ＜1}；
当a ＜0时，不等式的解集为{x|x ＜a 1
或x ＞1}．
例2.解关于x 的不等式：2ax －2x ＋1＞0.
解：①当a ＝0时，不等式即－2x ＋1＞0，∴解集为{x|x ＜2
1
}； ②当a ＞0时，a 44-=∆
当0>∆即0＜a ＜1时 ，由于方程2ax －2x ＋1=0的两根分别为
a a -+11、a a --11且a
a
a a -->-+1111
∴不等式解集为⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+>--<a a x a a x x 1111或 当0<∆即1>a 时，不等式解集为R.
当0=∆即1=a 时，不等式解集为{x|x≠1}； ③当a ＜0时，044>-=∆a ，此时
a
a
a a --<-+1111 ∴不等式的解集⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+>>--a a x a a x 1111 综上所述
当a ＝0时，不等式的解集为解集为{x|x ＜
2
1
} 当0＜a ＜1时 不等式解集为⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+>--<a a x a a x x 1111或 当1=a 时，不等式解集为{x|x≠1}
当1>a 时，不等式解集为R.
当a ＜0时，不等式的解集⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+>>--a a x a a x 1111 练习
（1）解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0. （2）解关于x 的不等式3x 2－mx －m ＞0.
题型二 逆向求值问题
例3已知关于x 的不等式2x ＋ax ＋b ＜0的解集为{x|1＜x ＜2}， 求关于x 的不等式2bx ＋ax ＋1＞0的解集． 解:∵2x ＋ax ＋b ＜0的解集为{x|1＜x ＜2}， ∴1,2是2x ＋ax ＋b ＝0的两根．
由根与系数的关系得 －a ＝1＋2，b ＝1×2，得 a ＝－3，b ＝2， 代入所求不等式，得22x －3x ＋1＞0. 由22x －3x ＋1＞0⇔(2x －1)(x －1)＞0⇔x ＜
2
1
或x ＞1. ∴2bx ＋ax ＋1＞0的解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧1＞x 或21＜x
（把根代入对应方程或利用韦达定理求系数的值）
练习：已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是{x |x <－2
或x >－1
2
}，求不等式ax 2－bx ＋c >0的解集．
题型三 分式不等式的解法
0)()(>x g x f 与⎩⎨⎧>>0)(0)(x f x g 或⎩⎨⎧<<0
)(0)(x f x g 同解；与0)()(>x g x f 同解； 0)()(<x g x f 与⎩⎨⎧><0)(0)(x f x g 或⎩⎨⎧<>0
)(0)(x f x g 同解；与0)()(<x g x f 同解； 0)()(≥x g x f 与⎩⎨⎧≥>0)(0)(x f x g 或⎩⎨⎧≤<0)(0)(x f x g 同解；与⎩
⎨⎧≥≠0)()(0)(x g x f x g 同解 ；
0)()(≤x g x f 与⎩⎨⎧≥<0)(0)(x f x g 或⎩⎨⎧≤>0
)(0)(x f x g 同解；与⎩
⎨⎧≤≠0)()(0)(x g x f x g 同解 例4 (1)
x ＋21－x <0；(2)x ＋1
x －2≤2. 解:(1)由x ＋21－x <0得x ＋2
x －1
>0，等价于(x ＋2)(x －1)>0，
∴原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．
(2)法一：移项得x ＋1
x －2－2≤0，
左边通分并化简有－x ＋5x －2≤0，即x －5
x －2≥0，
它的同解不等式为⎩
⎨⎧≥--≠-0
)2)(5(0
2x x x ∴x <2或x ≥5. ∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．
法二：原不等式可化为x －5
x －2
≥0，
此不等式等价于⎩⎨
⎧
x －5≥0，
x －2>0，
① 或 ⎩⎨
⎧
x －5≤0，
x －2<0，
②
解①得x ≥5，解②得x <2，
∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．
注：1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
练习：解下列不等式： (1)x ＋23－x ≥0；(2)2x －13－4x >1.
题型四 不等式恒成立求参数问题
（一）利用二次函数的判别式
对于二次函数()0)(2≠++=a c bx ax x f ，有
0)(>x f 对R x ∈恒成立⇔⎩⎨⎧><∆00a ； 0)(<x f 对R x ∈恒成立⇔⎩⎨⎧
<<∆00a
；
0)(≥x f 对R x ∈恒成立⇔⎩⎨⎧>≤∆00a ； 0)(≤x f 对R x ∈恒成立⇔⎩⎨⎧<≤∆00a
；
（注：讨论二次项的系数是否为0）
（二）转化为求函数的最值
1、直接利用二次函数单调性求最值
2、先分离参数（把不等式中的参数t 与未知数x 分离出来, 得到)(x f t >或)(x f t <），再利用单调性求最值。

)(x f t >恒成立[]max )(x f t >⇔； )(x f t <恒成立[]min
)(x f t <⇔
例5 设函数f(x)＝2mx －mx －1.
(1)若对于一切实数x ，f(x)<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解:(1)（利用二次函数判别式） 要使2mx －mx －1<0恒成立，
若m ＝0，显然－1<0，满足题意；
若m≠0，则 ⎩⎨⎧
<<+=∆0042m m m ⇒－4<m<0.
∴－4<m≤0.
(2) 方法一 （利用单调性求最值）
解：要使f(x)<－m ＋5在x∈[1,3]上恒成立． 就要使062<-+-m mx mx 在x∈[1,3]上恒成立． 令g(x)＝62-+-m mx mx ，x∈[1,3]．
①当m ＝0时，－6<0恒成立；
②当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
∴max )(x g ＝g(3)＝7m －6<0，∴0<m<
7
6
； ③当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
∴max )(x g ＝g(1)＝m －6<0，得m<6，∴m<0.
综上所述，m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∞-76,
方法二（分离参数）:
解：当x∈[1,3]时，f(x)<－m ＋5恒成立， 即当x∈[1,3]时，062<-+-m mx mx 恒成立．
∵2x －x ＋1＝43212
+⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-x >0， ∴162+-<x x m
∵函数1
6
2
+-=
x x y 在[1,3]上为减函数， 1=∴x 时，函数1
62
+-=
x x y 取得最小值76，∴76
<m ∴m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∞-76,
练习（1）若关于x 的不等式04222>-++a ax ax 在R 上恒成
立，求a 的取值范围.
（2）若[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围
(三)交换主元法
对于函数()n m x b kx x f ,,)(∈+=有
0)(>x f 恒成立⎩⎨⎧>>⇔0
)(0)(m f n f ；
0)(<x f 恒成立⎩
⎨⎧<<⇔0
)(0)(m f n f ；
例6已知不等式122->-+x t tx x 对于满足22≤≤-t 的一切t 值恒成立，求x 的取值范围
解：设12)1()(2+-+-=x x t x t f ，由已知得)(t f 在[]2,2-上恒为正值，
1x 3,03420
12,0)2(0)2(-<>∴⎪⎩⎪⎨⎧>+->-∴⎩⎨⎧>->∴或x x x x f f
练习：已知不等式024)4(2>-+-+t x t x 对满足()1,1-∈t 的所有t 都成立，求x 取值范围。

题型五 不等式有解问题 （一）利用二次函数判别式
)0(02≠>++a c bx ax 在R 上有解{
00
<>∆⇔a 或0>a
)0(02
≠<++a c bx ax 在R 上有解{00
>>∆⇔a 或0<a
（二）转化为求函数的最值
)(x f t >有解[]min )(x f t >⇔； )(x f t <有解[]max )(x f t <⇔；
练习：若不等式2x +ax-2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围
练习答案
一、解关于的不等式
解：当时，原不等式化为；
当时，原不等式化为-①，
解得：，，
当，即时，不等式①的解为，
当时，即时，不等式①的解为或；当时，即时，不等式①的解为或；
当时，不等式①的解为；
综上可得：当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为,
当时，解集为或；
二、解关于x的不等式：3x-m x-m>0．
解：Δ=m+12m=m(m+12)．
（1）当Δ>0，即m>0或m<-12时，方程3x-m x-m=0的两根为，此时原不等式的解集是
（2）当Δ=0时，即m=0，或m=-12时，方程3x-m x-m=0的
根为。

所以m=0时，不等式的解集为{}0≠x x
m=-12时此时原不等式的解集是{}2-≠x x
（3）当Δ<0，即-12<m<0时，不等式的解集为R
综上所述：m>0或m<-12时，不等式的解集是
m=0时，不等式的解集为{}0≠x x
m=-12时此时原不等式的解集是{}2-≠x x 12<m<0时，不等式的解集为R
三、已知关于x的不等式的解集为{，或}，其中a，b为实数，求
的解集
解:关于x的不等式的解集为
,
,且方程的两根为,
由根与系数的关系得:,
,即,;
不等式可化为,
即,计算得出,
所求不等式的解集为;
四、解不等式.
（1）; (2)
解:(1)不等式等价于,计算得出,
不等式的解集为;
(2)原不等式等价于0
4
3
4
6
>
-
-
x
x
，即0
)
4
3
)(
4
6(>
-
-x
x
解得，不等式的解集为
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
<
<
4
3
3
2
x
x
五、(1)若关于x的不等式0
4
2
2
2>
-
+
+a
ax
ax在R上恒成立，求a的取值范围
解：当a>0时，不等式可化为-4>0不符合题意。

当0
≠
a时，由
⎩
⎨
⎧>
<
-
-
)4
2(
4
42
a
a
a
a
得a>4
(2)若x∈【－2,2】，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，求a的取值范围.
设f(x)＝x2＋ax＋3－a，则问题转化为当x∈【－2，2】时，【f(x)】min≥0即可．
4
3
3
2
<
<x
①当－<－2，即a >4时，f (x )在【－2,2】上单调递增，
f (x )min ＝f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤，又a >4，所以a 不存在．
②当－2≤－≤2，即－4≤a ≤4时，
f (x )min ＝f (－)＝
≥0，解得－6≤a ≤2.
又－4≤a ≤4，所以－4≤a ≤2.
③当－>2，即a <－4时，f (x )在【－2,2】上单调递减，
f (x )min ＝f (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，
又a <－4，所以－7≤a <－4.
综上所述，a 的取值范围是{a |－7≤a ≤2}．
六、若不等式
对满足
的所
有a 都成立,则实数x 的取值范围是 解:
化为
,
令
,
,
,
即
,得,
或,
故x 的取值范围为
,
七、若不等式022>-+ax x 在区间[]5,1上有解，求a 的取值范围
解：不等式022>-+ax x 在区间[]5,1上有解，
等价于不等式x x a 2
2->在区间[]5,1上有解，
只需[]5,1∈x 时，a 大于x x 2
2-的最小值
另f(x)=x x
x x -=-2
22, 当[]5,1∈x 时f （x ）为减函数， 所以f(x)的最小值为f(5)=5
23- 所以a>5
23-。