(易错题)高中数学必修三第三章《概率》检测卷(答案解析)(3)

一、选择题
1．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与另一段GN GN 的比例中项，即满足
51
2
MG NG MN MG -==
，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点.在矩形ABCD 中，E ，F 是线段AB 的两个“黄金分割”点.在
矩形ABCD 内任取一点M ，则该点落在DEF 内的概率为（ ）
A ．
52
- B ．
51
- C ．
52
- D ．
51
- 2．从[]2,3-中任取一个实数a ，则a 的值使函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增的概率为（ ） A ．
45
B ．
35
C ．
25
D ．
15
3．如图，在菱形ABCD 中，3AB =，60BAD ∠=，以4个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在该菱形中任意选取一点，该点落在阴影部分的概率为0p ，则圆周率π的近似值为（ ）
A ．07.74p
B ．07.76p
C ．07.79p
D ．07.81p
4．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ）
A ．
310
B ．
25
C ．
825 D ．35
5．已知边长为2的正方形ABCD ，在正方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到正方形
四个顶点A B C D ，，，的距离都大于1的概率为（ ）
A ．
16
π B ．
4
π C ．
322
4
π- D ．14
π
-
6．某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A ，B 两个贫困县各有15名村代表，最终A 县有5人表现突出，B 县有3人表现突出，现分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是（ ） A ．
13
B ．
47
C ．
23
D ．
56
7．在下列命题中，
①从分别标有1,2,……,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
518
； ②34
1()2x x
+的展开式中的常数项为2；
③设随机变量~(0,1)N ξ，若(1)P p ξ≥=，则1
(10)2
P p ξ-<<=-. 其中所有正确命题的序号是（ ） A ．② B ．①③ C ．②③
D ．①②③
8．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”(又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若5AD =，3BD =，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形(阴影部分)的概率为（ ）
A ．
964
B ．
449
C ．
225
D ．
27
9．设向量()()1,,a x y x y R =-∈，若1a ≤，则y x ≥的概率为（ ） A ．
14
B ．
1142π
- C ．
1
14
π
-
D ．
3142π
+ 10．已知点A 是圆M 的圆周上一定点，若在圆M 的圆周上的其他位置任取一点B ，连接AB ，则“线段AB 的长度大于圆M 的半径”的概率约为（ ）
A ．12
B ．16
C ．13
D ．2
3
11．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被函数2sin
8
y x π
=的图象分割为两个对称的鱼形图案(如
图)，其中阴影部分小圆的周长均为4π，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A ．136
B ．118
C ．
116
D ．
18
12．连续掷两次骰子，先后得到的点数,m n 为点(,)P m n 的坐标，那么点P 在圆
2217x y +=内部的概率是（ ）
A ．
13
B ．
25
C ．
29
D ．
49
二、填空题
13．现有五个分别标有A 、B 、C 、D 、E 的小球，随机取出三个小球放进三个盒子，每个盒子只能放一个小球，则D 、E 至少有一个在盒子中的概率为______．
14．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A =“取出的两球同色”，B =“取出的2球中至少有一个黄球”，C =“取出的2球至少有一个白球”，
D “取出的两球不同色”，
E =“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.
①A 与D 为对立事件；②B 与C 是互斥事件；③C 与E 是对立事件：
④()1P C
E =；⑤()()P B P C =.
15．已知函数2()22f x x =
-M ，(())y f f x =的定义域为P ，在M 上随
机取一个数x ，则x P ∈的概率是____________．
16．如图，C 是以AB 为直径的半圆周上一点，已知在半圆内任取一点，该点恰好在
ABC 内部的概率为
1
π
，则ABC 的较小的内角为________.
17．某部队在训练之余，由同一场地训练的甲､乙､丙三队各出三人，组成33⨯小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为______. 18．两个男生一个女生并列站成一排，其中两男生相邻的概率为_____
19．如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接
MN ，则弦MN 的长度不超过3R 的概率是__________．
20．已知四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形， 2.PA AB ==现在球O 的内部任取一点，则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率为______．
三、解答题
21．某省高考改革实施方案指出：该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语3门统一高考成绩和学生自主选择的学业水平等级性考试科目共同构成．该省教育厅为了解正就读高中的学生家长对高考改革方案所持的赞成态度，随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进行调查，调查结果显示样本中有25人持不赞成意见．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图．
（1）根据已知条件与等高条形图完成下面的2×2列联表，并判断我们能否有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”？
赞成 不赞成 合计
城镇居民 农村居民 合计
（2）利用分层抽样从持“不赞成”意见家长中抽取5名参加学校交流活动，从中选派2名家长发言，求恰好有1名城镇居民的概率．
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，n a b c d
=+++．
22．在最强大脑的舞台上，为了与国际X战队PK，假设某季Dr.魏要从三名擅长速算的选手A1,A2,A3，三名擅长数独的选手B1,B2,B3，两名擅长魔方的选手C1,C2中各选一名组成中国战队.假定两名魔方选手中更擅长盲拧的选手C1已确定入选，而擅长速算与数独的选手入选的可能性相等.
(Ⅰ)求A1被选中的概率；
(Ⅱ)求A1,B1不全被选中的概率.
23．2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取100名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为9:11，抽取的学生中男生有30人对线上教学满意，女生中有10名表示对线上教学不满意.
（1）完成22
⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；
中抽取2名学生，作线上学习的经验介绍，求其中抽取一名男生与一名女生的概率.
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
.
24．党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形
态.为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）若将购买金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；
（2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率；
（3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案，
方案一：每满80元可立减8元；
方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.
若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案更优惠.
25．某市幸福社区在“9.9重阳节”向本社区征召100名义务宣传“敬老爱老”志愿者，现把该100名志愿者的成员按年龄分成5组，如表所示：
（1）若从第1，2，3组中用分层抽样的方法选出6名志愿者参加某社区宣传活动，应从第1，2，3组各选出多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，宣传决定在这6名志愿者中随机选2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有1名志愿者被选中的概率.
26．一工厂对某条生产线加工零件所花费时间进行统计，得到如下表的数据：
零件数x
1020304050
（个）
加工时间y
6268758288
（分钟）
（1）从加工时间的五组数据中随机选择两组数据，求该两组数据中至少有一组数据小于加工时间的均值的概率；
（2）若加工时间y 与零件数x 具有相关关系，求y 关于x 的回归直线方程；若需加工80个零件，根据回归直线预测其需要多长时间.
(1
2
1
()()
()
ˆn
i
i
i n
i i x x y y b
x x ==--=-∑∑，^^
a y
b x =-)
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
分别求出对应的面积，进而求得结论． 【详解】
解：设正方形ABCD 的边长为1
，则AF BE ==
，
∴212EF AF =-=， ∴
所求的概率为21
222
DEF
ABCD
EF AD
S
P S AD ⨯⨯=
==
正方形． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查几何概型，几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量” ()N A ，再求出总的基本事件对应的“几何度量” N ，最后根据()
N A P
N
求解，属于中档题． 2．C
解析：C 【分析】
先利用导数求出函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增时a 的范围，然后再由几何概型的知识解决问题． 【详解】
∵()'1cos f x a x =+，要使函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增，则1cos 0a x +≥对任意实数x 都成立.∵1cos 1x -≤≤，∴①当0a >时，cos a a x a -≤≤，∴1a -≥-，∴01a <≤；②当0a =时适合；③当0a <时，cos a a x a ≤≤-，∴1a ≥-，∴
10a -≤<，综上11a -≤≤，∴函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增的概率为
2
5P =
.选C ． 【点睛】 本题主要考查已知函数的单调性求参数的范围及几何概型问题，属中等难度题．
3．C
解析：C 【解析】
因为菱形的内角和为360°，
所以阴影部分的面积为半径为1的圆的面积，
故由几何概型可知
2
04
p =
，
解得0004.5 1.7327.7912
p p p π=
≈⨯=.选C ． 4．B
解析：B 【分析】
根据部分平均分组分配的方法可求得分法总数和伯爵恰有两人的分法数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】
7人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有221122557532755
5322
322
C C C C C C A A A A A ⋅=种分法；
其中伯爵恰有两人的分法有2211
14224
75322475432
32C C C C C A C C A A A ⋅=种分法， ∴伯爵恰有两人的概率224
75422575522
25C C A p C C A A ==
.
故选：B . 【点睛】
本题考查数学史与古典概型概率问题的求解，关键是能够利用排列组合中不平均分组分配的方法确定分法总数和符合题意的分法数.
5．D
【分析】
根据题意，作出满足题意的图像，利用面积测度的几何概型，即得解. 【详解】
分别以A ，B ，C ，D 四点为圆心，1为半径作圆，由题意满足条件的点在图中的阴影部分
224ABCD S =⨯=，21
4144
ABCD S S ππ=-⨯⨯=-阴影
由几何测度的古典概型，14
ABCD S P S π
==-阴影 故选：D 【点睛】
本题考查了面积测度的几何概型，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.
6．B
解析：B 【分析】
由古典概型及其概率计算公式得：有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是
604
1057=，得解． 【详解】
由已知有分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则共有
111115*********C C C C ⋅-⋅=种不同的选法，
又已知有人表现突出，且B 县选取的人表现不突出，则共有11
51260C C ⋅=种不同的选法，
已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057
=. 故选：B ． 【点睛】
本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力，求解时注意与古典概率模型的联系.
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据二项式定理，古典概型，以及正态分布的概率计算，对选项进行逐一判断，即可判断.
对①：从9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有9872⨯=种可能； 满足2张卡片上的数奇偶性不同，共有54240⨯⨯=种可能； 根据古典概型的概率计算公式可得，其概率为405
729
P =
=，故①错误； 对②：对341()2x x +写出通项公式可得43
4124144122r
r
r r r r
r x T C C x
x ---+⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
， 令1240r -=，解得3r =，即可得常数项为31
422C -⋅=，故②正确；
对③：由正态分布的特点可知11
(10)(1)22
P P p ξξ-<<=-≥=-，故③正确. 综上所述，正确的有②③. 故选：C. 【点睛】
本题考查古典概型的概率计算，二项式定理求常数项，以及正态分布的概率计算，属综合性基础题.
8．B
解析：B 【分析】
求得120ADB ∠=︒，在ABD 中，运用余弦定理，求得AB ，以及DE ，根据三角形的面积与边长之间的关系即可求解． 【详解】 解：
18060120ADB ∠=︒-︒=︒，
在ABD 中，可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠， 即为2
2
2
153253492AB ⎛⎫
=+-⨯⨯⨯-
= ⎪⎝⎭，解得7AB =， 2DE AD BD =-=，224()749
DEF ABC
S
S
∴
==． 故选：B ． 【点睛】
本题考查三角形的余弦定理，同时也考查了利用几何概型的概率公式计算概率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
9．B
解析：B 【分析】
利用复数模的公式可得点(),x y 在以()1,0为圆心，以1为半径的圆上及圆的内部，结合
y x ≥表示的是图中直线上方且在圆内的弓形，求出圆的面积与弓形的面积利用几何概型
可得结果.
【详解】
因为()()1,,a x y x y R =-∈，且1a ≤， 所以()2
211x y -+≤，
∴点(),x y 在以()1,0为圆心，
以1为半径的圆上及圆的内部，
y x ≥表示的是图中直线上方且在圆内的弓形，
而圆的面积为S π=，11=42
S π-
弓， y x ∴≥的概率为111142=42S P S πππ
-==-弓， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查几何概型中的面积类型，基本方法是：分别求得构成事件A 的区域面积和试验的全部结果所构成的区域面积，两者求比值，即为概率．
10．D
解析：D 【分析】
求出B 点位置所有基本事件的弧长，再求出满足条件AB 长度大于圆半径的基本事件对应的弧长，根据几何概型概率的计算公式，即可得到答案. 【详解】
设圆M 的半径为R ，B 为圆上的任意一点， 则B 点位置所有情况对应的弧长为圆的圆周长2R π， 其中满足条件AB 长度大于圆半径长对应的弧长为
2
23
R π⋅， 则“线段AB 的长度大于圆M 的半径”的概率约为2
223
23
R
R ππ⋅=. 故选:D 【点睛】
本题考查几何概型概率的求法，其中根据条件计算出所有基本事件的几何量和满足条件的基本事件对应的几何量是解题的关键，属于中档题.
11．D
解析：D 【分析】
根据几何概型的概率公式，求出大圆的面积和小圆的面积，计算面积比即可． 【详解】
由已知，可得大圆的直径为y ＝3sin 8
πx 的周期，由T 216
8
π
π==，
可知大圆半径为8， 则面积为S ＝64π，
一个小圆的周长242l r r π==∴= 故小圆的面积S ′＝π•22＝4π， 在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为： P 2'81
648S S ππ===， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了几何概型的概率计算问题，关键是明确测度比为面积比，是基础题．
12．C
解析：C 【分析】
所有的点(,)P m n 共有6636⨯=个，用列举法求得其中满足22
17x y +<的点(,)P m n 有8个，由此求得点P 在圆22
17x y +=内部的概率.
【详解】
所有的点(,)P m n 共有6636⨯=个，
点P 在圆2217x y +=内部，即点(,)P m n 满足22
17x y +<，
故满足此条件的点(,)P m n 有：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共8个，
故点P 在圆22
17x y +=内部的概率是
82369
=， 故选C. 【点睛】
该题考查的是有关古典概型概率的求解问题，涉及到的知识点有古典概型概率公式，在解题的过程中，正确找出基本事件的个数以及满足条件的基本事件数是关键.
二、填空题
13．【分析】计算出都不在盒子中的概率利用对立事件的概率公式可求得结果【详解】记事件从五个分别标有的小球随机取出三个小球放进三个盒子则至少
有一个在盒子中则事件从五个分别标有的小球随机取出三个小球放进三个盒
解析：9
10
【分析】
计算出D 、E 都不在盒子中的概率，利用对立事件的概率公式可求得结果. 【详解】
记事件:M 从五个分别标有A 、B 、C 、D 、E 的小球，随机取出三个小球放进三个盒子，则D 、E 至少有一个在盒子中，
则事件:M 从五个分别标有A 、B 、C 、D 、E 的小球，随机取出三个小球放进三个盒子，则D 、E 都不在盒子中，
所有的基本事件有：ABC 、ABD 、ABE 、ACD 、ACE 、ADE 、BCD 、BCE 、
BDE 、CDE ，共10种，
事件M 所包含的基本事件为：ABC ，共1种， 故()()
19111010
P M P M =-=-=. 故答案为：910
. 【点睛】
方法点睛：求解古典概型概率的方法如下： （1）列举法； （2）列表法； （3）数状图法； （4）排列组合数的应用.
14．①④【分析】在①中由对立事件定义得与为对立事件；有②中与有可能同时发生；在③中与有可能同时发生；在④中（C ）（E ）；在⑤中从而（B ）（C ）【详解】口袋里装有1红2白3黄共6个形状相同小球从中取出2球
解析：①④ 【分析】
在①中，由对立事件定义得A 与D 为对立事件；有②中，B 与C 有可能同时发生；在③中，C 与E 有可能同时发生；在④中，()P CUE P =（C ）P +（E ）()1P CE -=；在⑤中C B ≠，从而P （B ）P ≠（C ）．
【详解】
口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球， 事件A = “取出的两球同色”， B = “取出的2球中至少有一个黄球”，
C = “取出的2球至少有一个白球”，
D “取出的两球不同色”，
E = “取出的2球中至多有一个白球”，
①，由对立事件定义得A 与D 为对立事件，故①正确；
②，B 与C 有可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件，故②错误；
③，C 与E 有可能同时发生，不是对立事件，故③错误； ④，P （C ）63
1=155=-，P （E ）1415
=，8()15P CE =，
从而()P C
E P =（C ）P +（E ）()1P CE -=，故④正确；
⑤，C B ≠，从而P （B ）P ≠（C ），故⑤错误． 故答案为：①④． 【点睛】
本题考查命题真假的判断，是基础题，考查对立互斥事件，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件等基本概念的合理运用．
15．【分析】根据函数解析式可求得定义域和的定义域即可由几何概型概率求解【详解】函数的定义域为则的定义域为即解得即根据几何概型的概率计算公式得故答案为：【点睛】本题考查了函数定义域的求法复合函数定义域的求
解析：
22
- 【分析】
根据函数解析式，可求得()f x 定义域M 和(())y f f x =的定义域P ，即可由几何概型概率求解. 【详解】
函数()f x =
M ，则[1,1]M =-，
(())y f f x =的定义域为P
[]1,1-
，解得1,x ⎡⎤
∈-⋃⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，即1,22P ⎡⎤
=--⋃⎢⎢
⎥⎣⎦⎣⎦
．
根据几何概型的概率计算公式得2122⎛⎫
⨯- ⎪⎝⎭=．
故答案为：22
-. 【点睛】
本题考查了函数定义域的求法，复合函数定义域的求法，几何概型概率求法，属于中档题.
16．【分析】由几何概型中的面积型圆的面积公式三角形的面积公式及直角三角形的射影定理可得：设则又不妨设即所以得：所以所以得解【详解】过作设则由在半圆内任取一点该点恰好在内部的概率为则则即又不妨设即所以得： 解析：
12
π
【分析】
由几何概型中的面积型、圆的面积公式，三角形的面积公式及直角三角形的射影定理可得：设2AB a =，则2
2
a S π=
半圆，||2
a
CD =
，又2||||||CD AD BD =⨯， 不妨设||||AD BD <，即CBA CAB ∠<∠，所以得：23
||BD a +=，所以||tan 23||CD CBA BD ∠=
=-，所以12
CBA π∠=，得解． 【详解】 过C 作CD AB ⊥，
设2AB a =， 则2
2
a S π=
半圆，
由在半圆内任取一点，该点恰好在ABC ∆内部的概率为1
π
， 则2
12
ABC S a ∆=
， 则2
11||||22AB CD a =， 即||2
a
CD =
， 又2||||||CD AD BD =⨯，
不妨设||||AD BD <，即CBA CAB ∠<∠， 所以得：23
||BD +=， 所以||
tan 23||
CD CBA BD ∠== 所以12
CBA π
∠=，
故答案为：12
π
．
【点睛】
本题考查了几何概型中的面积型、圆的面积公式，三角形的面积公式及直角三角形的射影定理，属中档题．
17．【分析】分两步进行：首先先排第一行再排第二行最后排第三行；其次对每一行选人；最后利用计算出概率即可【详解】首先第一行队伍的排法有种；
第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后第一行的每个位
解析：1140
【分析】
分两步进行：首先，先排第一行，再排第二行，最后排第三行；其次，对每一行选人；最后，利用计算出概率即可. 【详解】
首先，第一行队伍的排法有3
3A 种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后，第一行的每个位置的人员安排有1
1
1
333C C C 种；第二行的每个位置的人员安排有
111222C C C 种；第三行的每个位置的人员安排有111⨯⨯种.所以来自同一队的战士既不在同一
行，也不在同一列的概率3111111
33332229
921
140
A C C C C C C P A ⋅⋅⋅==. 故答案为：1
140
. 【点睛】
本题考查了分步计数原理，排列与组合知识，考查了转化能力，属于中档题.
18．【分析】基本事件总数n 两名男生相邻包含的基本事件个数m4由此能求出两名男生相邻的概率【详解】两名男生和两名女生随机站成一排照相基本事件总数n 两名男生相邻包含的基本事件个数m4则两名男生相邻的概率为p
解析：2
3
【分析】
基本事件总数n 336A ==，两名男生相邻包含的基本事件个数m 22
22A A ==4，由此能求出
两名男生相邻的概率． 【详解】
两名男生和两名女生随机站成一排照相，
基本事件总数n 3
36A ==，
两名男生相邻包含的基本事件个数m 22
22A A ==4
则两名男生相邻的概率为p 23
m n ==． 故答案为：23
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．【分析】先根据题意先找出弦的长度不超过对应的点其构成的区域是点M
两侧各圆周既而求得概率【详解】根据题意满足条件弦的长度不超过对应的点其构成的区域是点M 两侧各圆周所以弦MN 的长度不超过的概率是故答案为
解析：2
3
【分析】
先根据题意，先找出弦MN 对应的点，其构成的区域是点M 两侧各13
圆周，既而求得概率. 【详解】
根据题意，满足条件“弦MN ”对应的点，其构成的区域是点M 两侧各
1
3圆周，所以弦MN 的概率是23
P = 故答案为2
3
【点睛】
本题主要考查了几何概型的意义，关键是找出满足条件弦MN 的图形测度，再带入公式求解.
20．【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积结合几何概型的概率公式进行求解即可【详解】四棱锥扩展为正方体则正方体的对角线的长是外接球的直径即即则四棱锥的条件球的体积为则该点取自四棱锥的内部的概率故答案
【分析】
根据条件求出四棱锥的条件和球的体积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【详解】
四棱锥P ABCD -扩展为正方体， 则正方体的对角线的长是外接球的直径，
即2R =，即R =
则四棱锥的条件1822233V =
⨯⨯⨯=，球的体积为34
3
π⨯=，
则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率
8
9P π==
，
故答案为9π
【点睛】
本题主要考查几何概型的概率的计算，结合条件求出四棱锥和球的体积是解决本题的关键．本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测
度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．
三、解答题
21．（1）表见解析，没有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”；（2）
3
5
．
【分析】
（1）根据题意填写列联表，计算2
K，对照临界值得出结论；
（2）利用分层抽样法求出抽取的城镇居民和农村居民数.
【详解】
解：（1）根据题意填写22
⨯列联表如下；
由表中数据计算2100(30104515)
3.03 3.841
75254555
K
⨯⨯-⨯
=≈<
⨯⨯⨯
，
所以没有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”；
（2）利用分层抽样从持“不赞成”意见家长中抽取5人，则城镇居民有3人，记为a、b、c；
农村居民有2人，记为D、E；从这5人中选2人，基本事件为：
ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE共10种不同取法，
恰好有1名城镇居民的基本事件为aD、aE、bD、bE、cD、cE共6种，
故所求的概率为
63
105
P==．
【点睛】
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．
22．（Ⅰ）1
3
（Ⅱ）
8
9
【解析】
分析：(Ⅰ)利用古典概型概率公式求出A1被选中的概率；
(Ⅱ)利用对立事件概率公式求出求A1,B1不全被选中的概率.
详解：(Ⅰ)从擅长速算、数独的6名选手中各选出1名与魔方选手C1组成中国战队的一切可能的结果组成集合
Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A2，B3，
C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，(A3，B3，C1)}，
由9个基本事件组成．
由题知每一个基本事件被抽取的机会均等，用M表示“A1被选中”，则
M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C1)}，
因而.
(Ⅱ)用N表示“A1、B1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“A1、B1全被选中”，
由于＝{(A1，B1，C1) }，
∴，
从而
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
23．（1）填表见解析；有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）3 5 .
【分析】
（1）结合男女学生抽样比和满意与否学生人数即可完善二联表，结合2
K公式计算即可判断；
（2）先计算出男女生抽样数，再结合列举法或组合公式，由古典概型公式计算即可
【详解】
（1）22
⨯列联表如下：
满意不满意合计
男生301545
女生451055
合计7525100
又2100(30104515)
3.03 2.706
75254555
K
⨯-⨯
=≈>
⨯⨯⨯
，
这说明有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”.
（2）方法一：由题可知，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生，。