中考数学 专题23 圆(知识点串讲)(原卷版)

专题23 圆
考点总结【思维导图】
【知识要点】
知识点一与圆有关的概念
圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
确定圆的条件：
⑴圆心；
⑵半径，
⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
补充知识：
1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆．
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．
⏜，读作弧AB．在同圆或等弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB
圆中，能够重合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧．
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 弦心距、半径、弦长的关系：（考点）
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 三角形的外接圆
1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 2）三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
圆内接四边形概念：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。

弓形与扇形
弓形的概念：由弦及其所对的弧组成的图形。

扇形的概念：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

【典型例题】
1．（2018·陆丰市民声学校中考模拟）如图，AB 是⊙O 直径，点C ，D 在⊙O 上，OD ∥AC ，下列结论错误的是（ ）
图3
图2图1
B
C
C
A．∠BOD=∠BAC B．∠BAD=∠CAD
C．∠C=∠D D．∠BOD=∠COD
2．（2018·北京中考模拟）有下列四种说法：
①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中，错误的说法有（）
A．1种B．2种C．3种D．4种
3．（2018·上海中考模拟）下列说法中，正确的个数共有（）
（1）一个三角形只有一个外接圆；
（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等；
（4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等；
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2018·湖北中考模拟）有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2017·广东中考模拟）如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD的度数为（）
A．40o B．45o C．60o D．50o
【考查题型汇总】
考查题型一利用圆的半径相等进行相关计算
1．（2019·浙江省杭州第七中学中考模拟）如图，A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度
数是（）．
A．10°B．20°C．40°D．80°
2．（2018·黑龙江中考模拟）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（）
A．70°B．80°C．110°D．140°
3．（2019·四川省平昌中学中考模拟）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是()
A．AC=AB B．∠C=1
∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠B0D
2
4．（2018·贵州中考模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（）
A．4√3B．6√3C．2√3D．8
5．（2019·云南中考模拟）如图，已知：在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（）
A．70°B．45°C．35°D．30°
6．（2019·广西中考模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD＝136°，则∠C 的度数是（）
A．44°B．22°C．46°D．36°
考查题型二圆心角与圆周角的关系解题
1．（2019·武汉市第四十六中学中考模拟）如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，点D为垂足，连AE、EC．
（1）若∠AEC＝28°，求∠AOB的度数；
（2）若∠BEA＝∠B，EC＝3，求⊙O的半径．
2．（2018·吉林中考模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的点，CD与⊙O相切于点D，连结BD、AD．
（1）求证；∠BDC＝∠A．
（2）若∠C＝45°，⊙O的半径为1，直接写出AC的长．
3．（2019·苏州高新区实验初级中学中考模拟）已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果∠BAD＝30°，且BE＝2，求弦CD的长．
知识点二圆的基本性质
⏹对称性
1.圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线
2.圆是中心对称图形。

⏹垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
常见辅助线做法（考点）：
1）过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
⏹圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等
⏹圆周角定理（考点）
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）
⏹圆内接四边形
性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．
【考查题型汇总】
考查题型三运用垂径定理进行相关计算
1．（2019·苏州高新区第四中学校中考模拟）如图，等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，AB＝AC，tan∠ABC ．求BC的长．
＝1
3
2．（2019·四川省平昌中学中考模拟）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2．
（1）求OD的长．
（2）求EC的长．
3．（2019·广东中考模拟）如图，OD是⊙O的半径，AB是弦，且OD⊥AB于点C连接AO并延长交⊙O 于点E，若AB＝8，CD＝2，求⊙O半径OA的长．
考查题型四利用垂径定理解决实际问题
1．（2018·山东中考模拟）某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
2．（2017·江西南昌二中中考模拟）用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．
3．（2018·山东中考模拟）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
(1)请你用直尺和圆规作出这个输水管道的圆形截面的圆心(保留作图痕迹)；
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝8 cm，水面最深地方的高度为2 cm，求这个圆形截面的半径．
考查题型五圆心角、弧、弦的关系的应用
1．（2019·富顺县赵化中学校中考真题）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD、BC.
求证：⑴AD⏜=BC⏜；
⑵AE=CE.
2．（2018·上海中考模拟）已知：在⊙O中，弦AB=AC，AD是⊙O的直径．
求证：BD=CD．
3．（2019·江西中考模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧CD的中点，连接AM，BM，求证：AM ＝BM．
考查题型六圆周角定理求角的度数
1．（2019·辽宁中考模拟）如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（）
A．20°B．30°C．40°D．70°
2．（2018·江苏中考真题）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_____°．
3．（2019·江苏中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC=120°，则∠CDB=_____°．
4．（2019·黑龙江中考真题）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC=30∘，则∠AOB的度数为_____．
考查题型七圆周角定理推论的应用
1．（2018·北京中考真题）如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB⏜=CD⏜，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则
∠ADB=________．
2．（2018·贵州中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为_____．
3.（2019·湖南中考真题）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB=2，∠ACD=30°，则AD=_______．
考查题型八利用圆内接四边形的性质定理求角的度数
1．（2019·吉林中考模拟）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC⏜=CB⏜．若∠C=110°，则∠ABC的度数等于（）
A．55°B．60°C．65°D．70°
2．（2019·四川中考真题）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE⏜上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD 的度数为（）
A．30°B．36°C．60°D．72°
3．（2019·广东中考模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝40°，点D是劣弧BC⏜上一点，连结CD、BD，则∠D的度数是( )
A．50°B．45°C．140°D．130°
4．（2018·辽宁中考模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=80°，则∠ADC的度数是（）
A．60°B．80°C．90°D．100°
知识点三与圆有关的位置关系
点与圆的位置有三种：
三点定圆的方法：
1）经过点A 的圆：以点A 以外的任意一点O 为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A 的圆，这样的圆有无数个．
2）经过两点A 、B 的圆：以线段AB 中垂线上任意一点O 作为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A 、B 的圆，这样的圆也有无数个． 3）经过三点时：
情况一：过三点的圆：若这三点A 、B 、C 共线时，过三点的圆不存在；
情况二：若A 、B 、C 三点不共线时，圆心是线段AB 与BC 的中垂线的交点，而这个交点O 是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
反证法：首先假设某命题结论不成立（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。

【考查题型汇总】
考查题型九 点与圆的位置关系
1．（2018·北京中考模拟）在平面直角坐标系xOy 中，若点P （4，3）在⊙O 内，则⊙O 的半径r 的取值范围是（ ） A ．0＜r ＜4
B ．3＜r ＜4
C ．4＜r ＜5
D ．r ＞5
2．（2017·辽宁中考模拟）矩形ABCD 中，AB ＝8，BC P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）． A ．点B 、C 均在圆P 外；
B ．点B 在圆P 外、点
C 在圆P 内； C ．点B 在圆P 内、点C 在圆P 外；
D ．点B 、C 均在圆P 内．
3．（2019·上海中考模拟）在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O 外，那么r的值可以取（）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（2016·四川中考模拟）已知矩形ABCD的边AB=15，BC=20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是（）.
A．r＞15 B．15＜r＜20 C．15＜r＜25 D．20＜r＜25
直线和圆的位置关系
位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
切线的性质及判定（重点）
切线的性质：
定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
切线的判定
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三角形内切圆概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
【考查题型汇总】
考查题型十直线与圆的位置关系的应用
1．（2019·吉林中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm
长为半径作圆，试判断⊙C与AB的位置关系．
2．（2014·福建中考模拟）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC 的位置关系，并说明理由．
考查题型十一利用切线的判定定理判定直线为切线的方法
1．（2018·山东中考模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且
∠DEC=∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．
2．（2019·四川中考模拟）已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B＝30°，延长BA到D，使∠BDC ＝30°．
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若AB＝2，求DC的长．
考查题型十二三角形内心的应用
1．（2018·河北中考真题）如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I
重合，则图中阴影部分的周长为（）
A．4.5 B．4 C．3 D．2
2．（2019·台湾中考真题）如图，直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，根据图中标示的长度与角度，求AD的长度为何？（）
A．3
2
B．
5
2
C．
4
3
D．
5
3
3．（2019·安徽中考模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）
A．56°B．62°C．68°D．78°
考查题型十三利用切线长定理进行计算
1．（2019·河南中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线．交BC于点E．
（1）求证：BE=EC
（2）填空：①若∠B=30°，DB=______；
②当∠B=______度时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．
2．（2019·陕西高新一中中考模拟）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 是AB 边上一点，以BD 为直径的⊙O 与边AC 相切于点E ，与边BC 交于点F ，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，连接BE (1)求证：EH ＝EC ； (2)若AB ＝4，sinA ＝
2
3
，求AD 的长．
3．（2019·山东中考模拟）如图，CD 是⊙O 的切线，点C 在直径AB 的延长线上． （1）求证：∠CAD=∠BDC ； （2）若BD=
2
3
AD ，AC=3，求CD 的长．
考查题型十四 直角三角形周长、面积与内切圆半径的应用
1．（2019·四川中考真题）已知关于x 的一元二次方程2
(4)40x k x k -++=.
（1）求证：无论k 为任何实数，此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为1x 、2x ，满足
12113
4
x x +=，求k 的值； （3）若Rt △ABC 的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根1x 、2x ，求Rt ∆ABC 的内切圆半径. 2．（2017·江苏中考模拟）实践操作如图，∠△ABC 是直角三角形，∠ACB=90
，利用直尺和圆规按下列要
求作图，并在图中标明相应的字母.(保留作图痕迹，不写作法)
①作∠BAC的平分线，交BC于点0
②以点0为圆心，OC为半径作圆.综合运用在你所作的图中，
(1)直线AB与⊙0的位置关系是
(2)证明:BA·BD=BC·BO;
(3)若AC=5,BC=12，求⊙0的半径
考查题型十五圆内接四边形综合
1.（2016·浙江中考真题）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．
（1）求证：BD=CD；
（2）若圆O的半径为3，求的长．
2．（2017·江苏中考模拟）如图所示，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，B两点，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内OB上一点，∠BMO＝120°，求⊙C的半径．
圆和圆的位置关系
圆和圆的位置关系的定义、性质及判定：设⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：
【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．
【考查题型汇总】
考查题型十六圆与圆的位置关系
1．（2019·上海中考真题）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（）
A．11 B．10 C．9 D．8
2．（2019·福建中考模拟）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）
A ．5＜O
B ＜9 B ．4＜OB ＜9
C ．3＜OB ＜7
D ．2＜OB ＜7
3．（2019·上海市南塘中学中考模拟） 已知⊙A 的半径AB 长是5，点C 在AB 上，且3AC =，如果⊙C 与⊙A 有公共点，那么⊙C 的半径长r 的取值范围是（ ） A ．2r ≥
B ．8r ≤
C ．28r <<
D ．28r ≤≤
4．（2011·江苏中考真题）在△ABC 中，∠C=90°．AC=3cm ．BC=4cm ，若⊙A ．⊙B 的半径分别为1cm ，4cm ．则⊙A 与⊙B 的位置关系是 ( ) A ．外切
B ．内切
C ．相交
D ．外离
5．（2019·上海中考模拟）已知⊙1O 和⊙2O ，其中⊙1O 为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于（ ） A ．1
B ．4
C ．5
D ．8
考查题型十七 利用圆的相关知识解决动态问题
1．（2019·河南中考模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，点D 、E 位于AB 两侧的半圆上，射线DC 切⊙O 于点D ，已知点E 是半圆弧AB 上的动点，点F 是射线DC 上的动点，连接DE 、AE ，DE 与AB 交于点P ，再连接FP 、FB ，且∠AED ＝45°． （1）求证：CD ∥AB ； （2）填空：
①当∠DAE ＝ 时，四边形ADFP 是菱形； ②当∠DAE ＝ 时，四边形BFDP 是正方形．
知识点四 正多边形和圆 ⏹ 正多边形
正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形． 正多边形的相关概念：
➢ 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． ➢ 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
➢ 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ➢ 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
半径、边心距，边长之间的关系：
画圆内接正多边形方法：
1）量角器
（作法操作复杂，但作图较准确）
2）量角器+圆规
（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）
3）圆规+直尺
（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..） 圆锥
设⊙O的半径为R，n°圆心角所对弧长为l，
弧长公式：l=nπR
180
（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）
扇形面积公式：S
扇形=n
360
πR2=1
2
lR
母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。

圆锥体表面积公式：S=πR2+πRl（l为母线）
备注：圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积
常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：
①公式法；②割补法；③拼凑法；④等积变换法
【考查题型汇总】
考查题型十八正多边形的有关计算
1．（2013·四川中考真题）如图，要拧开一个边长为a＝6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为( )
A．B．12mm C．D．
2．（2015·广东中考模拟）正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是( )
A．10 B．8 C．6 D．5
考查题型十九弧长、扇形面积与圆锥侧面积的计算方法
1．（2019·盘锦市双台子区第四中学中考模拟）.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA=6，圆心角∠ACB=120°，则此圆锥高OC 的长度是_______．
2．（2019·贵州中考真题）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径2r cm =，扇形的圆心角120θ=o ，则该圆锥的母线长l 为___cm ．
3．（2019·内蒙古中考模拟）如图，从直径为4cm 的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB ，且点O 、A 、B 在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是_____cm ．
考查题型二十 应用弧长公式解决运动轨迹或扫过面积问题
1．（2019·四川中考真题）如图，在AOC ∆中，31OA cm OC cm ＝，＝，将△AOC 绕点O 顺时针旋转90o 后得到BOD ∆，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）2cm ．
A ．
2
π
B ．2π
C ．
178
π D ．
198
π
2．（2018·广东中考模拟）如图，将含60°角的直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B 经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．
2
π
B ．
3
π C ．
4
π D ．π
3．（2019·天津中考模拟）如图，已知正方形ABCD 的顶点A 、B 在O e 上，顶点C 、D 在O e 内，将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，使点D 落在O e 上.若正方形ABCD 的边长和O e 的半径均为6cm ，则点
D 运动的路径长为（ ）
A ．2cm π
B ．
3
2
cm π C ．cm π
D ．12
cm π
4．（2019·湖州市第五中学中考模拟）如图，在Rt △ABC 中，已知∠ACB ＝90°，BC ＝3，AB ＝5，扇形CBD 的圆心角为60°，点E 为CD 上一动点，P 为AE 的中点，当点E 从点C 运动至点D ，则点P 的运动路径长是 ( )
A ．
2
π
B ．
6
π C ．π
D ．
32
5．（2019·东港区日照街道三中中考模拟）如图，平行四边形ABCD 的对角线BD ＝6cm ，若将平行四边形ABCD 绕其对称中心O 旋转180°，则点D 在旋转过程中所经过的路径长为（ ）
A ．3πcm
B ．6πcm
C ．πcm
D ．2πcm
考查题型二十一 不规则图形的面积的计算
1．（2019·辽宁中考模拟）如图,在边长为6的菱形ABCD 中,60DAB ∠=︒ ,以点D 为圆心,菱形的高DF 为半径画弧,交AD 于点E ,交CD 于点G ,则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．183π-
B ．9π
C ．92
π
D ．3π
2．（2015·四川中考真题）如图，已知⊙O 的周长为4π，»AB 的长为π，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．2π-
B ．π-
C ．π
D ．2
3．（2017·贵州中考模拟）如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB=8，BC=12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．64π﹣12√7
B ．16π﹣32
C ．16π﹣24√7
D ．16π﹣12√7
4．（2019·河北中考模拟）如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E ，B ，E 是半圆弧的三等分点，弧AB 的长为
43
π
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．43
π B ．83
π C 23π
D ．83
π
考查题型二十二 求圆锥侧面上两点之间的最短距离
1．（2012·浙江中考模拟）如图，已知O 为圆锥的顶点，MN 为圆锥底面的直径，一只蜗牛从M 点出发，绕圆锥侧面爬行到N 点时，所爬过的最短路线的痕迹（虚线）在侧面展开图中的位置是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．（2015·黑龙江中考模拟）一圆锥体形状的圣诞帽，母线长是30cm ，底面圆的直径是15cm ，点A 为圆锥底面圆周上一点，从A 点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A 点，则彩带最少用（ ）厘米（接口处重合部分忽略不计） A ．30πcm
B ．30
cm
C ．15πcm
D ．1 5√2cm
考查题型二十三 运用圆锥侧面积知识解决实际问题
1．（2015·湖北中考模拟）如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，点D 在弧AB 上，CD ∥OB ，则图中休闲区（阴影部分）的面积是【 】
A ．10π⎛ ⎝米2
B ．π⎛
- ⎝米2 C ．6π⎛-
⎝
米2 D ．(6π-米2
2．（2019·安徽中考模拟）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）
A．175πcm2B．350πcm2C．800
3
πcm2D．150πcm2。