2025届广东省中山一中丰山学部高三下学期一模考试数学试题含解析

2025届广东省中山一中丰山学部高三下学期一模考试数学试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )
A ．15π2cm
B ．21π2cm
C ．24π2cm
D ．33π2cm
2．设i 是虚数单位，复数1i i +=（ ） A ．1i -+ B ．-1i - C ．1i + D ．1i -
3．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则222
2267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ）
A ．625-
B ．627-
C ．63-
D ．962-
4．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（
）
A ．83
B ．163
C ．4
3 D ．8
5．若复数()(1)2z i i =++（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6．若实数,x y 满足不等式组121210x y x y x y +≥-⎧⎪-≤-⎨⎪--≤⎩
，则234x y -+的最大值为（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．3
D ．2
7．等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ）
A ．±6
B ．6
C ．-6
D ．132 8．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9．已知集合U =R ，{}0A y y =≥
，{}1B y y ==
，则U A B =( ) A ．[)0,1 B ．()0,∞+ C ．()1,+∞ D ．[
)1,+∞ 10
．已知3log a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．b c a >>
B ．a b c >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
11．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间(
,)43ππ上单调，则ω的最大值是（ ） A ．12 B ．11 C ．10 D ．9
12．已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ） A ．(625,)+∞ B ．(4,64) C ．(9,625) D ．(9,64)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数()y f x =为R 上的奇函数，满足()2f x '>-.则不等式()()()2132ln 312f x x
x x -<-+-的解集为
________.
14．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有____人．
15．在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠>，点D 在线段BC 上，且13CD CB =
，若1tan 2DAB ∠=，则BAC ∠的正切值为_____. 16．如图，四面体ABCD 的一条棱长为x ，其余棱长均为1，记四面体ABCD 的体积为()F x ，则函数()F x 的单调增区间是____；最大值为____.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知直线l ：33x t y t
=⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （1）设l 与1C 相交于A ，B 两点，求AB ；
（2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的
12倍，纵坐标压缩为原来的32倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 距离的最小值．
18．（12分）如图，在直角AOB ∆中，2OA OB ==，AOC ∆通过AOB ∆以直线OA 为轴顺时针旋转120︒得到（120BOC ∠=︒）.点D 为斜边AB 上一点.点M 为线段BC 上一点，且43MB =.
（1）证明：MO ⊥平面AOB ；
（2）当直线MD 与平面AOB 所成的角取最大值时，求二面角B CD O --的正弦值.
19．（12分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >，关于直线:20l x y --=的对称点为M ，且||32FM =.
若点P 为C 的准线上的任意一点，过点P 作C 的两条切线PA PB ，，其中A B ，为切点.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）求证：直线AB 恒过定点，并求PAB △面积的最小值.
20．（12分）已知函数()()2
2ln 1f x x x m x =+-+，其中m R ∈. （Ⅰ）若0m >，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设()()1x g x f x e
=+.若()11g x x >+在()0,∞+上恒成立，求实数m 的最大值. 21．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形，且垂直于底面ABCD ，
19045AB BC BAD ABC ADC ==∠=∠=∠=，， ，,M N 分别是AD PD ，的中点.
（1）证明：平面//CMN 平面PAB ；
（2）已知点E 在棱PC 上且23
CE CP =，求直线NE 与平面PAB 所成角的余弦值. 22．（10分）已知椭圆：2222:1x y C a b +=（0a b >>），四点()111P ，，()201P ，，321P ⎛- ⎝⎭
，，421P ⎛ ⎝⎭，中恰有三点在椭圆C 上.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设椭圆C 的左右顶点分别为A B ，.P 是椭圆C 上异于A B ，的动点，求APB ∠的正切的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C
【解析】
由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ，据此可计算出答案.
【详解】
由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ，
∴该几何体的表面积233524S πππ=⨯+⨯⨯=.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了三视图的知识，几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键.
2、D
【解析】 利用复数的除法运算，化简复数
1i 1i i +=-，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，复数
()1i (i)1i 1i i i (i)+⋅-+==-⨯-，故选D ． 【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
3、D
【解析】
设x θ=，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．
【详解】
因为实数x ，y 满足2212
x y +，
设2cos x θ=，sin y θ=，
222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 62cos 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+
2|cos 62cos 8|θθ-+，
22cos 62cos 8(cos 32)100θθθ-+=-->恒成立，
222222|2||67|sin cos 62cos 8962cos 962x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--，
故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于962-.
故选：D ．
【点睛】
本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
4、A
【解析】
由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．
【详解】
由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，
直观图如图所示，1822233
V =
⨯⨯⨯=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键．
5、A
【解析】
将z 整理成a bi +的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限.
【详解】
解：2
21()()2313z i i i i i =++=++=+，所以z 所对应的点为()1,3在第一象限.
故选:A.
【点睛】
本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把2i 当成1进行计算.
6、C
【解析】
作出可行域，直线目标函数对应的直线l ，平移该直线可得最优解．
【详解】
作出可行域，如图由射线AB ，线段AC ，射线CD 围成的阴影部分（含边界），作直线:2340l x y -+=，平移直线l ，当l 过点(1,1)C 时，234z x y =-+取得最大值1．
故选：C ．
【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形．
7、B
【解析】
根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可.
【详解】
由等比数列中等比中项性质可知，2315
9a a a ⋅=， 所以9315366a a a =⋅=±=±，
而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以96a =，
故选：B.
【点睛】
本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题.
8、D
【解析】
试题分析：抛物线2
4x y =焦点在y 轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-，因为点A 的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为415+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.
考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力. 点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.
9、A
【解析】
求得集合B 中函数的值域，由此求得
U B ，进而求得U A B ⋂. 【详解】
由11y =≥，得[)1,B =+∞，所以()U ,1B =-∞，所以[)U 0,1A B =.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.
10、A
【解析】
根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小.
【详解】
因为3
31log log 2<=， 所以12
a <. 因为3＞e ，
所以ln3ln 1b e =>=，
因为00.991>->-，2x y =为增函数， 所以0.99122
1c -=<< 所以b c a ＞＞，
故选：A .
【点睛】
本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.
11、B
【解析】 由题意可得()4k πωϕπ-+=，且42k ππωϕπ+='+，故有2()1k k ω='-+①，再根据12234πππω
-，求得12ω②，由①②可得ω的最大值，检验ω的这个值满足条件．
【详解】
解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2π
ϕ，
4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴， ()4k πωϕπ∴-+=，且42k ππ
ωϕπ+='+，k 、k Z '∈，2()1k k ω∴='-+，即ω为奇数①． ()f x 在(4π，)3π单调，∴12234πππω-，12ω∴②．
由①②可得ω的最大值为1．
当11ω=时，由4x π=
为()y f x =图象的对称轴，可得1142k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈， 故有4πϕ=-，()4k πωϕπ-+=，满足4π
x =-为()f x 的零点， 同时也满足满足()f x 在,43ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭上单调， 故11ω=为ω的最大值，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题．
12、C
【解析】
先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.
【详解】
先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象，
如图所示，当01a <<时，对称后的图象不可能与()f x 在(,0]-∞的图象有3个交点；
当1a >时，要使函数()f x 关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，
则11log 321log 54a a a ⎧⎪>⎪⎪->-⎨⎪⎪-<-⎪⎩
，解得9625a <<. 故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、()0,1
【解析】
构造函数()()()()2132ln 312g x f x x x x =-----，利用导数判断出函数()y g x =的单调性，再将所求不等式变形为()()1g x g <，利用函数()y g x =的单调性即可得解.
【详解】
设()()()()2132ln 312g x f x x x x =-----，则()()14ln 46g x f x x x x ''=-+-+，
设()4ln 46h x x x x =-+，则()4ln h x x '=.
当01x <<时，()0h x '<，此时函数()y h x =单调递减；当1x >时，()0h x '>，此时函数()y h x =单调递增. 所以，函数()y h x =在1x =处取得极小值，也是最小值，即()()min 12h x h ==，
()12f x '->-，()2h x ≥，()()10f x h x '∴-+>，即()0g x '>，
所以，函数()y g x =在()0,∞+上为增函数，
函数()y f x =为R 上的奇函数，则()00f =，
()()10330g f =-+=，则不等式()()()2132ln 312f x x x x -<-+-等价于()()1g x g <，
又0x ，解得01x <<.
因此，不等式()()()2132ln 312f x x
x x -<-+-的解集为()0,1.
故答案为：()0,1.
【点睛】 本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．
14、750 【解析】因为，得， 所以。

15、3
【解析】
在直角三角形中设3BC =，3AC x =<，1tan tan()2DAB BAC DAC ∠=∠-∠=
，利用两角差的正切公式求解. 【详解】
设3BC =，3AC x =<， 则31tan ,tan BAC DAC x x
∠=∠= 22221tan tan()13
32
1x x
DAB BAC DAC x x x ∠=∠-∠===⇒=++， 故tan 3BAC ∠=.
故答案为：3
【点睛】
此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质是利用两角差的正切公式求解.
16、6(或写成6)18
【解析】
试题分析：设AB x =，取AB 中点M ，则,CM AB DM AB ⊥⊥,因此AB CDM ⊥面,所以
111()1332CDM F x x S x x ∆=⋅⋅=⋅⋅⋅=∈，因为23,(0,3)y t t t =-∈在3(0,)2单调递增，最大值为9,4所以()F x
单调增区间是，最大值为18 考点：函数最值，函数单调区间
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）1AB =；（2
）
4
． 【解析】
(1)将直线l 和曲线1C 化为普通方程，联立直线l 和曲线1C ，可得交点坐标，可得AB 的值；
（2）可得曲线2C 的参数方程，利用点到直线的距离公式结合三角形的最值可得答案.
【详解】
解：（1）直线l
的普通方程为)1y x =-，1C 的普通方程221x y +=．
联立方程组)2211y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得l 与1C 的交点为()1,0A
，1,22B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则1AB =． （2）曲线2C
的参数方程为122
x cos y sin θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数），故点P
的坐标为1cos 2θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 从而点P 到直线l
的距离是π24d θ⎤⎛⎫==-+ ⎪⎥⎝⎭⎦， 由此当πsin 14θ⎛⎫-
=- ⎪⎝⎭时，d
． 【点睛】 本题主要考查参数方程与普通方程的转化及参数方程的基本性质、点到直线的距离公式等，属于中档题.
18、（1）见解析；（2
）
35
【解析】
（1）先算出OM 的长度，利用勾股定理证明OM OB ⊥，再由已知可得OA OM ⊥，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）由（1）可得MDO ∠为直线MD 与平面AOB 所成的角，要使其最大，则OD 应最小，可得D 为AB 中点，然后建系分别求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，进一步得到正弦值.
【详解】
（1）在MOB ∆中，30OBC ∠=，由余弦定理得 22232cos303OM OB BM OB BM =+-⋅⋅=
， ∴222OM OB MB +=，
∴OM OB ⊥，
由题意可知：∴OA OB ⊥，OA OC ⊥，OB
OC O =，
∴OA ⊥平面COB ， OM ⊂平面COB ，∴OA OM ⊥，
又OA OB O =， ∴OM ⊥平面AOB .
（2）以O 为坐标原点，以OM ，OB ，OA 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系. ∵OM ⊥平面AOB ，∴MD 在平面AOB 上的射影是OD ，
∴MD 与平面AOB 所成的角是MDO ∠，∴MDO ∠最大时，即⊥OD AB ，点D 为AB 中点.
(0,2,0)B ，3,1,0)C -，(0,0,2)A ，(0,1,1)D ，(3,2,1)CD =-，
(0,1,1)DB =-，(0,1,1)OD =，设平面CDB 的法向量(,,)n x y z =， 由0
0n CD n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得3200x y z y z ⎧++=⎪⎨-=⎪⎩
，令1z =，得1,3y x == 所以平面CDB 的法向量(3,1,1)n =，
同理，设平面CDO 的法向量(),,m x y z =，由00m CD m OD ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，得3200x y z y z ⎧-++=⎪⎨+=⎪⎩，
令1y =，得1,z x =-=，所以平面CDO 的法向量31m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
∴105cos ,35m n <>=，sin ,1m n <>=-=35
，
故二面角B CD O --的正弦值为
35
. 【点睛】 本题考查线面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
19、（1）2
4x y =（2）见解析，最小值为4
【解析】
（1）根据焦点F 到直线l 的距离列方程，求得c 的值，由此求得抛物线的方程.
（2）设出,,A B P 的坐标，利用导数求得切线,PA PB 的方程，由此判断出直线AB 恒过抛物线焦点F .求得三角形PAB 面积的表达式，进而求得面积的最小值.
【详解】
（1）依题意
d =，解得1c = （负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =
（2）设点()()1122,,,,(,1)A x y B x y P t -，由24x y =，
即214y x =，得12
y x '= ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为()1112x y y x x -=
-， 即2111122
x y x y x =+- ∵21114
y x =，∴112x y x y =-∵点(,1)P t -在切线PA 上， 1112x t y -=-①，同理，2212
x t y -=-② 综合①、②得，点()()1122,,,A x y B x y 的坐标都满足方程12
x t y -=-. 即直线:12
t AB y x =+恒过抛物线焦点()0,1F 当0t =时，此时()0,1P -，可知：PF AB ⊥
当0t ≠，此时直线PF 直线的斜率为2PF k t
=-，得PF AB ⊥
于是1||||2
PAB S PF AB =⋅△，而||PF 把直线12t y x =+代入24x y =中消去x 得()
22210y t y -++= 2
1224AB y y t
=++=+，即：(()3222114422S t t =+=+ 当0t =时，PAB S
最小，且最小值为4
【点睛】 本小题主要考查点到直线的距离公式，考查抛物线方程的求法，考查抛物线的切线方程的求法，考查直线过定点问题，考查抛物线中三角形面积的最值的求法，考查运算求解能力，属于难题.
20、（Ⅰ）单调递减区间为1,12⎛⎫ ⎪ -⎝⎭-⎪，单调递增区间为1,2⎛⎫ ⎪ ⎝-+⎭
∞⎪；（Ⅱ）2. 【解析】
（Ⅰ）求出函数()y f x =的定义域以及导数()f x '，利用导数可求出该函数的单调递增区间和单调递减区间； （Ⅱ）由题意可知()2 112ln 11x x x m x x e
+-+>-+在()0,∞+上恒成立，分0m ≤和0m >两种情况讨论，在0m ≤时，构造函数()21121x G x x x x e
=+-++，利用导数证明出()0G x >在()0,∞+上恒成立；在0m >时，经过分析得出02m <≤，然后构造函数()()21122ln 11
x P x x x x e x =+-++-+，利用导数证明出()0P x >在()0,∞+上恒成立，由此得出()()0f x P x >>，进而可得出实数m 的最大值.
【详解】
（Ⅰ）函数()()2
2ln 1f x x x m x =+-+的定义域为()1,-+∞. 当0m >时，()()2212211
x m m f x x x x +-'=+-=++.
令()0f x '=，解得111x =-<-（舍去），211x =->-.
当1,12x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝-⎭∈-时，()0f x '<，所以，函数()y f x =在1,12⎛⎫ ⎪ -⎝⎭
-⎪上单调递减；
当1,2x ∈-+∞⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以，函数()y f x =在1,2⎛⎫ ⎪ ⎝-+⎭
∞⎪上单调递增.
因此，函数()y f x =的单调递减区间为1,12⎛⎫ ⎪ -⎝⎭-⎪，单调递增区间为1,2⎛⎫ ⎪ ⎝-+⎭
∞⎪； （Ⅱ）由题意，可知()2 112ln 11x x x m x x e
+-+>-+在()0,∞+上恒成立. （i ）若0m ≤，()ln 10x +>，()ln 10m x -+≥∴，
()2211112ln 1211x x x x m x x x x e x e ∴+-+-
+≥+-+++， 构造函数()2
1121x G x x x x e =+-++，0x >，则()()211221x G x x e x '=++-+， 0x ，101x e
∴<
<，110x e ∴-<-<. 又()21222221x x x ++>+>+，()'0G x ∴>在()0,∞+上恒成立.
所以，函数()y G x =在()0,∞+上单调递增，()()
00.G x G =∴> ∴当0m ≤时，()2112ln 101x x x m x x e ∴+-+-
+>+在()0,∞+上恒成立. （ii ）若0m >，构造函数()1x H x e x =--，0x >.
()10x H x e '=->，所以，函数()y H x =在()0,∞+上单调递增.
()()00H x H ∴>=恒成立，即10x e x >+>，111x x e ∴
>+，即1101x x e ->+. 由题意，知()111x f x x e
>-+在()0,∞+上恒成立. ()()2210f x x x mln x ∴=+-+>在()0,∞+上恒成立.
由（Ⅰ）可知()()min 12f x f x f ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭
极小值，
又()00f =，当120->，即2m >时，函数()y f x =在10,2⎛-⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递减，
()100f f ⎫⎪⎪<⎭
-=⎝，不合题意，10-≤，即02m <≤. 此时()()()22111112ln 122ln 1111
x x g x x x m x x x x x e x e x -=+-++-≥+-++-+++ 构造函数()()21122ln 11
x P x x x x e x =+-++-+，0x >. ()()2
2112211x P x x x e x '∴=+--+++， 111
x e x ->-+，11x +>， ()()()22
2113122221111x P x x x x e x x x '∴=+--+>+-+++++ ()()()()()()()()3
222221311
21311210111x x x x x x x x x +-+++-+++=>=>+++，
()'0P x ∴>恒成立，所以，函数()y P x =在(0,)+∞上单调递增，()()00P x P ∴>=恒成立.
综上，实数m 的最大值为2.
【点睛】
本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，本题的难点在于不断构造新函数来求解，考查推理能力与运算求解能力，属于难题.
21、（1）证明见解析；（2）
12. 【解析】
（1）由平面几何知识可得出四边形ABCM 是平行四边形，可得//CM AB //CM ⇒面PAB ，再由面面平行的判定可证得面面平行；
（2）由（1）可知，,,MC MD MP 两两垂直，故建立空间直角坐标系，可求得面PAB 的法向量，再运用线面角的向量求法，可求得直线NE 与平面PAB 所成角的余弦值.
【详解】 （1）90BAD ABC ∠=∠=，//AD BC ∴,又45ADC ∠=，1AB BC ==，2AD ∴=,
而M 、N 分别是AD 、PD 的中点，//MN PA ∴， 故//MN 面PAB ,
又//AM BC 且AM BC =，故四边形ABCM 是平行四边形,//CM AB ∴//CM ⇒面PAB ,
又MN ，CM 是面CMN 内的两条相交直线, 故面//CMN 面PAB .
（2）由（1）可知，,,MC MD MP 两两垂直，故建系如图所示,则 13(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,3),(0,,)22A B C D P N --， (100),(013)AB PA ∴==--，，，，，2123,0,333CE CP E ⎛⎫=∴ ⎪ ⎪⎝⎭
，，113(,)326NE ∴=-，, 设()=,,n x y z 是平面PAB 的法向量,030
x y z =⎧⎪∴⎨--=⎪⎩， 令1z =，则(0,3,1)n =-,3326
3cos ,21112+9412
NE n +∴==⋅+, ∴直线NE 与平面PAB 所成角的余弦值为231122⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查空间的面面平行的判定，以及线面角的空间向量的求解方法，属于中档题.
22、（1）2
212
x y +=；（2）22- 【解析】
（1）分析可得34P P ，必在椭圆C 上，()11，不在椭圆C 上，代入即得解；
（2）设直线PA ，PB 的倾斜角分别为αβ，，斜率为12k k ，，可得1212
k k =-
.则AFB βα∠=-，2112tan 1k k APB k k -∠=+，利用均值不等式，即得解.
【详解】
（1）因为34P P ，关于轴对称，
所以34P P ，必在椭圆C 上，
2222
111112a b a b +=<+ ∴()11，不在椭圆C 上
∴1b =，22a =， 即2
212
x y +=. （2）设椭圆上的点00（，）P x y
（0x ≠，
设直线PA ，PB 的倾斜角分别为αβ，，斜率为12k k ，
又220022x y +=
∴1212k k ==-. AFB βα⇒∠=-，
1tan k α=，2tan k β=（不妨设
）.
故120,0k k >< tan tan APB βα∠=-
2112
1k k k k -=+ 22122k k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2212[()()]2k k =--+-
≤- 当且仅当2212k k -=-
，即22k =- 【点睛】
本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.。