习题课2数列极限2013

n n!
(5).lim n n 1 n

(6).证 明 ： 若lim n
xn
a
0， 则lim n
xn＝ a .
(7).证明：数列{2 (1)n }发散.
(8).写出数列{an }的极限不是a的描述。
6（. 1）设xn
1 ＋ 1 ＋＋ 1 ，
1!＋1 2!＋2
n!＋n
证明数列{ xn }收敛.
(2).设a1
2, a2
2 a1 1 , , 2 a1
an
2
an1 1 2 an1
(n 2, 3,)求
lim
n
an
（3）.设x1 10，xn1 xn 6
(n
1,2,),求
lim
n
xn
（4）.设x1 2，xn1 xn 2
(n
1,2,),求
lim
n
xn
(5).给 定 两 个 正 数a，b(b a)， 作 两 个 数 列xnyn：
习题 课 二
1.下
列
说
法能
否
作
为lim n
an
a的定义?
(1). 对于无穷多个 0, N N , 使得n N时,
有 an a (2). 对 0, N N , 使得n N时,
有无穷多个an，使 an a (3). 对 0, N N , 使得n N时,
有 an a k (其中k 0) (4). 对 0, n N , 使对所有的正整数p,
x1 a, y1 b, xn1
xn yn , yn1
xn 2
yn
证
明
：xn
yn
都
收
敛
，
且lim n
xn
lim
n
yn。
7.(1)设xn
cos1 1 2
cos 2 23
cos n ， n (n 1)
求证{xn }极限存在.
(2).设xn 1
1 2
1， n
求证{ xn }极限不存在.
(3).设对n N有 | x2 x1 | | x3 x2 | | xn1 xn | c(c 0), 证 明{ xn }收 敛.
8.设f
(x)
lim
n
x2n1 x x2n 1
,
求f ( x)的表达式，并作其图形.
9.求证{sin n}极限不存在.
10.设 lim n
un vn
a
0,
又
lim
n
un＝0，
证明
lim
n
vn
0.
n
n3
22 2n
n2 n3 n2
)
n
(5).
lim[
n
(
n
1)2
n (n 2)2
(n
n n)2
]
5.证明下列极限：
2 sin2 n
(1). lim
0
n
n
1
(2).
lim(
n
n2
2 n2
n n2
)
1 2
2n2 3n 8
(3). lim n
n2 9
2
an (4). lim
0(其中a 1)
不等 式 an p a 成立
(2)若 数 列{ xn }在(a , a )邻 域 内 有 无 穷
多 个 数 列 的 点 ， 则 （）. ( A)数 列{ xn }必 有 极 限 ， 但 不 一 定 等于a； (B)数 列{ xn }极 限 存 在 且 一 定 等 于a； (C )数 列{ xn }极 限 不 一 定 存 在 ； (D)数 列{ xn }一 定 不 存 在 极 限.
(3).若 数 列xn与yn发 散,问 数 列xn yn,xn yn,
xn yn
是 否 一 定 发 散?
4.求下列极限
(1).lim(1 n
1 22
)(1
1 32
)(1
1 n2
)
(2).
n
lim[
n k1
2(1
2
1
k
)
]n
1!2! n!
(3).lim
n
n!
(4).
lim(
n
1 n3
(3)极 限 定 义 中与N的 关 系 是( ). ( A)先 给 定后 唯 一 确 定N; (B)先 给 定 ,后 确 定N , 但N的 值 不 唯 一; (C )先 确 定N后 给 定 ;(D)与N无 关.
3.问答题 (1).有界数列是否一定收敛? 无界数列是否发散?
(2). 单调数列是否一定收敛?收敛数列是否 一定 单调?