河北省邯郸市2013届高三教学质量检测数学理 含答案

邯郸市2013届高三教学质量检测
数学(理工类）试卷 2012。

12
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷（非选择题）两部分,共三道大题,22道小题，满分150分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项:
1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

参考公式：
样本数据n
x x x ,,2
1
的标准差 锥体体积公式
(n s x x =
++- 13
V Sh = 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高
柱体体积公式 球的表面积，
体积公式
V Sh =
24S R π=
3
43
V R
π=
其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径
第I 卷(60分)
一 、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

复数2
1(1)i
+的虚部是
A ．0
B ．2
C ．2-
D ．2i -
2. 设全集U ＝R,{}2
|lg(2)A x y x x ==-，{}2,x
B y y x R ==∈，则()R
C
A B ⋂=
A ．∞（-,0） B.(0,1] C.(1,2] D.[)2,+∞
3。

设R a ∈，则“1=a "是“直线012:1
=-+y ax l 与直线04)1(:2
=+++y a x l
平行”
的
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．函数2
()log (14)x
f x x =+-，若()f a b =，则()f a -=
A ．2b +
B ．b
C ．2b -
D ．b -
5．在由=0,1,0,y y x x π===四条直线围成的区域内任取一点，这点没有．．落在sin y x =和x 轴所围成区域内的概率是
A ．
2
1π
- B 。

2
π
C.12
D.3π
6．如图,若程序框图输出的S 是126,则判断框中①
应为
A ．?5≤n
B ．?6≤n
a
a
a
a
a
C ．?7≤n
D ．?8≤n （输出应加上S) 7．函数()sin(2)3cos(2)f x x x θθ=+++为奇函数,且在[0,]4
π上为减函数的θ值可
以是
A ．3
π- B ．6
π- C ．56
π D ．23
π
8．在空间给出下面四个命题（其中m 、n 为不同的两条直线，、为
不同的两个平面）
①m ，n //
m n ②m //n ，n //m // ③m //n ，n ，m //
④m n A ，m //，m //,n //，n //// 其中正确的命题个数有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．已知B A ,为抛物线2
2(0)y px p =>上不同两点，且直线AB 倾斜角为锐
角,F 为抛物线焦点，若3,FA FB =- 则直线AB 倾斜角为
A ．12
π B 。

6
π C 。

4
π D 。

3
π
10．已知函数()2
log f x x =，正实数m ,n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在
区间2
,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则m n +=
A ． 52
B 322
C ． 94
D ．174
11．四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上,该四棱锥三视图如右图所示,E 、F 分别是
棱
AB
、CD 的中点,直线EF 被球面所截得的线
段长
为22，则该球表面积为
A ．9π
B ．3π
C ．2
2π
D ．12π
12．已知.22
)(),3)(2()(-=++-=x
x g m x m x m x f 若0)(,<∈∀x f R x 或0)(<x g ，则m 的取
值范围是
A ．(1,5)-
B ．)0,4(-
C ．(5,1)--
D ．(4,1)--
第Ⅱ卷(共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上） 13．设
(n
x 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，
若M+N=16，则展开式中的常数项为 。

14．已知｜错误!｜＝3，｜错误!｜＝错误!,错误!⊥错误!，点R 在∠POQ 内，且∠POR ＝30°，错误!＝m 错误!＋n 错误! （m ,n ∈R ），则错误!等于_____________． 15．已知数列}{n
a 满足2
,121
==a a
，对于任意的正整
数
n
都有
2
1211,1+++++++=≠⋅n n n n n n n n a a a a a a a a ,则
100S =_____________
16．已知F 1，F 2是双曲线C ：
22
22
1x y a b -=(a ＞0,b ＞0）
的左、右焦点,过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 ｜ AB | : | BF 2 ｜ : | AF 2｜＝3: 4:5，则双曲线的离心率为___________
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17。

（本小题满分10分) 已知函数
2
1
)6sin(cos 2)(--⋅=π
x x x f ］。

（I ）求函数()f x 的最小值和最小正周期;
(II ）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
且c = 角C 满足()0f C =,
若sin 2sin B A = ，求,a b 的值．
18．（本小题满分
12分）在数列{}n
a 中，已知
)(1
2
1,1*1
11N n a a a a a a n n n n n ∈-+=
-=≥++且
（I ）令2
)2
1(-=n n a b ，求证{}n b 为等差数列；
（II ）令1
32212111,)12(++++=
-=n n n n n
c c c c c c S a c
，若k
S
n
<恒成立，求k 的取
值范围.
19。

（本小题满分12分)
小型风力发电项目投资较少，开发前景广阔.受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险。

根据测算，IEC （国际电工委员会）风能风区分类标准如下：
某公司计划用不超过100万元的资金投资于A 、B 两个小型风能发电项目。

调研结果是，未来一年内，位于一类风区的A 项目获利40%的可能性为0.6,亏损20%的可能性为0。

4；B 项目位于二类风区,获利35%的可能性为0。

6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚
的可能性是0。

2。

假设投资A 项目的资金为x （0≥x )万元，投资B 项目资金为y （0≥y ）万元,且公司要求对A 项目的投资不得低于B 项目.
(Ⅰ)请根据公司投资限制条件，写出y x ,满足的条件,并将它们表示在平面xOy 内；
（Ⅱ)记投资A,B 项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望ξE ，ηE ；
(Ⅲ)根据（Ⅰ）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和ηξE E z +=的最大值，并据此给出公司分配投资金额建议. 20。

（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中,底面ABCD 为菱形，
AC D 1，
60BAD ∠=,BE CC DD AA //////111,且AB AA =1，⊥E D 1平面
⊥1AA 底面ABCD .
（Ⅰ）求二面角E AC D
--1
的大小;
(Ⅱ)在E D 1
上是否存在一点P ，使得P A 1
//平面EAC ，若存在，求1
D P PE
的值，
若不存在，说明理由.
21．（本小题满分12分）已知两定点E(—2，0），F(2，0），动点P
满足0PE PF =，由点P 向x 轴作垂线段PQ,垂足为Q ，点M 满足
PM MQ
=，点M 的轨迹为C.
（Ⅰ)求曲线C 的方程；
（Ⅱ）过点D （0,－2）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点N
满足ON OA OB =+（O 为原点)，求四边形OANB 面积的最大值，并求此时的直线l 的方程。

A D
C
B
A 1
D 1
C 1
E
22. （本小题满分12分）已知函数2
()(25)5ln ()f x ax
a x x a R =-++∈。

（Ⅰ）若曲线()y f x =在3x =和5x =处的切线互相平行，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间； (Ⅲ)设2
5()-2g x x
x =,若对任意15(0,]2x ∈，均存在25
(0,]2
x ∈,使得12()()f x g x <，
求a 的取值范围。

邯郸市2013届高三教学质量检测
理科数学参考答案及评分标准 2012。

12
一、
选择题
1—5 CDBBA 6-10 BDCDA 11-12 DB
二、填空题 13。

4-；14。

1；15。

199;16。

17．解(Ⅰ）原式可化为:1cos 21()2sin(2)12226
x f x x x π+=--=--,…3分
∴()f x 的最小值是2-，
最小正周期是22T π
π
==; ………………………………5分
(Ⅱ）由()sin(2)106
f C C π=--=，得sin(2)16
C π-=，
11026
6
6
C C π
π
π
π<<∴-<-
<
, 2,6
2
3
C C π
π
π
∴-
=
=
, ………………………………7分
sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =……………………①，
又由余弦定理，得2
222cos
3
c a b ab π
=+-,即2
23a
b ab +-=…………………
②，
联
立①、②解得
1,2a b ==．
………………………………10分
18（Ⅰ)解：因为1
2
11
-+=
-++n n n n a a a a ,所以21221=+--++n n n n a a a a ，
即
221212
21=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+n n a a ，………………………………………………2分 21=-∴+n n b b ,故{}n b 是以
4
1
为首项，2为公差的等差数列.…………4分
（Ⅱ）由（1）得()4
781241-=-+=n n b n ,
因为1≥n
a ，故2
7
81-+=
n a n (6)
分
因为()78122
-=-=n a c n n
,
所以
()()⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=+-=+181781811878111n n n n c c n n ，……………………8分
所以⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--++-+-=+++=
+181781171919118111113221n n c c c c c c S
n n n
8
1
181181<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n ，………………………………10分
因为k
S n
<恒成立，故8
1
≥
k。

…………12分
100,0x y y x x y +≤⎧⎪
≤⎨⎪≥⎩
(3)
19.解
：(1
）
分
（2)A 项目投资利润ξ的分
布列
0.240.080.16E x x x ξ∴=-= (6)
分
B 项目投资利润η的分布列
0.210.020.19E y y y η=-=…………9分
0.160.19y E E x y ξη∴=
+=+
依线性规划的知识可知，x=50，y=50时,估计公司获利最大,最大为17.5万元。

………12分
20.解:（I)设AC 与BD 交于O ，如图所示建立空间直角坐标系O xyz -，设
2
AB =，则
，
1(0,1,0),((0,1,0),(0,1,2),
A B C D D -设
)
,1,0(t E -则，
)2,1,3(),0,0,32(),2,2,0(11--==-=A D CA t ED
……2分
A
D E D CA E D AC D 11111⊥⊥∴⊥，，面E D
1
11D E CA=0D E D A 0,
⎧⎪∴⎨=⎪⎩，
解得3,(0,1,3)t E =∴-,……4分
(1,3)AE ∴=--,设平面EAC 的法向量为
(,,)m x y z =，
则00
m CA m AE ⎧=⎪⎨=⎪
⎩，030x y z =⎧⎪∴⎨-+=⎪⎩令1=z ，3=y
(0,3,1)m =……6分
又平面FAC 的法向量为)1,2,0(1-=
ED 22
,cos =⋅>=
<∴ED m FE m
所以所求二面角的大小为45︒
…………………………………8分
（Ⅱ）设111(),D P PE D E D P λλ==-得1
12(0,,),111D P D E
λ
λλλ
λλ
=
=-
+++
111122((0,,)(,)1111A P A D DP λλλ
λ
λλλλ
=+=-+-
=-++++……10分
11
AP EAC AP m ∴⊥平面，1031011λλλλ-+⨯+⨯=++,解得3
2
λ=， ∴
存在点P 使1
//A P 面,EAC 此时1
:3:2D P PE =…………12分
21．解（Ⅰ）动点P 满足0PE PF =，∴点P 的轨迹是以E F 为直径的圆，
∴动点
P 的轨迹方程为
224x y +=
…………2分
设M （x ，y)是曲线C 上任一点，因为PM ⊥x 轴，PM MQ =，∴点
P
的坐标为（x,2y ） 点P 在圆2
24x
y +=上，∴ 22(2)4x y += ,
∴曲线C 的方程是
2
214
x
y += …………4分
(Ⅱ）因为OB OA ON +=，所以四边形OANB 为平行四边形， 当直线l 的斜率不存在时显然不符合题意；
当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为2y kx =-，l 与椭圆交于
1122(,),(,)A x y B x y 两点，由22
214
y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22
1+4k )16120x kx -+=（ …………6分
由22
21648(14)0k
k ∆=-+>，得234
k >
1
2
12
22
1612
,1414k x x
x x k k ∴+=
=++ ………………8分
12121
||||||,2
OAB S OD x x x x ∆=
-=-
1222||OANB
OAB S
S x x ∆∴==-==
==10分
令2
43k
t -=，则243k t =+（由上可知0t >)，
2OANB
S
=≤当且仅当4,t =即2
74k =时取等号；
∴
当k ,2
=±
平行四边形OANB 面积的最大值为2
此时直线l
的方程为22
y x =±-…………12分
22。

（本小题满分12分) 解：
5
()2(25)(0)f x ax a x x
'=-++>
-——-—---—1分
(Ⅰ)(3)(5)f f ''=,解得16
a =. -———----—3
分
(Ⅱ)(1)(25)()ax x f x x
--'=(0)x >.
①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间5(0,)2
上，()0f x '>；在区间5(,)
2
+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是5(0,)2
,单调递减区间是5(,)2
+∞。

-————-—--5分
②当205
a <<时，152
a
>， 在区间5(0,)2
和1(,)a
+∞上,()0f x '>；在区间51(,)
2a
上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是5(0,)2
和1(,)a
+∞，单调递减区间是
51(,)2a
.
--—----—6分
③当
25
a =
时，
2
54()2()5x f x x
-'=
, 故
()
f x 的单调递增区间是
(0,)
+∞.
④当25
a >时，1502
a
<<, 在区间1(0,)a
和5(,)2+∞上，()0f x '>；在区间15(,)
2a 上()0f x '<，故
()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和5
(,)2
+∞，单调递减区间是
15(,)2
a 。

-----—8分
（Ⅲ）由已知，在5(0,]2
上有max
max ()
()f x g x <。

—-—-————-9
分
由已知，max
()0g x =,由(Ⅱ)可知，
①当2
5a ≤时，()f x 在5(0,]2
上单调递增，
故max 52555255()()(25)5ln 55ln 242242
f x f a a a ==-++=--+，
所以，25555ln 042a --+<，解得45(ln 1)52
a >-，
故452(ln 1)525
a -<≤。

--—--————10分
②当25a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增,在15(,]2
a 上单调递减，
故max 11111()()55ln 5(ln 1)f x f a a a a a
==--+=-+-.
由25a >可知15151ln ln 1ln 1022e a a a
<<∴<<∴-<，
所以25
a >，max ()0f x <, --————---11分
综上所述, a 的取值范围为454(ln ,)525
-+∞。

-—---—-—
—12分。