2016-2017年福建省泉州市南安市柳城中学高一(下)第一次月考数学试卷(解析版)

2016-2017学年福建省泉州市南安市柳城中学高一（下）第一次
月考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若直线3x+y+a＝0过圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心，则a的值为（）A．﹣1B．1C．3D．﹣3
2．（5分）已知空间直角坐标系中，A（1，﹣2，﹣1），B（3，0，1），则|AB|＝（）A．12B．C．D．
3．（5分）若α是第二象限角，则π+α是（）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．（5分）已知点P（4，﹣3）是角α终边上一点，则下列三角函数值中正确的是（）A．tanα＝﹣B．tanα＝﹣C．sinα＝﹣D．cosα＝
5．（5分）若sinθ＜cosθ，且sinθ•cosθ＜0，则角θ的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（5分）圆心为A（1，﹣2）且与直线x﹣3y+3＝0相切的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y+2）2＝B．（x﹣1）2+（y+2）2＝10
C．（x+1）2+（y﹣2）2＝D．（x+1）2+（y﹣2）2＝10
7．（5分）若直线ax+by﹣1＝0与圆x2+y2＝1相切，则点P（a，b）的位置是（）A．在圆上B．在圆外
C．在圆内D．以上皆有可能
8．（5分）两圆x2+y2＝9和x2+y2﹣8x+6y+9＝0的位置关系是（）
A．相离B．相交C．内切D．外切
9．（5分）一辆卡车宽1.6米，要经过半径为3.6米的半圆形隧道，则这两卡车的车篷顶距地面高度不得超过（）
A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2.0米
10．（5分）已知圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝9，P（2，2）是该圆内一点，过点P 的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则AC•BD＝（）
A．B．C．D．2
11．（5分）直线y＝﹣x+b与曲线有且只有两个公共点，则b的取值范围是（）A．2＜b＜2B．2≤b＜2C．2≤b≤2D．2＜b≤2
12．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（）
A．7B．6C．5D．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上
13．（5分）若方程x2+y2﹣2x+4y+m＝0表示一个圆，则此圆的圆心坐标为，m的取值范围是．
14．（5分）已知集合M＝{锐角}，N＝{小于90°的角}，P＝{第一象限的角}，下列说法：①P⊆N，②N∩P＝M，③M⊆P，④（M∪N）⊆P
其中正确的是．
15．（5分）点P在圆C1：x2+y2﹣8x﹣4y+11＝0上，点Q在圆C2：x2+y2+4x+2y+1＝0上，则|PQ|的最小值是．
16．（5分）已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），如果动点P满足条件|P A|＝2|PB|，则动点P的轨迹所包围的图形的面积为．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤．
17．（10分）求下列满足条件的圆的方程
（1）圆心为C（2，﹣2）且过点P（6，3）的圆的方程
（2）已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），求以线段AB为直径的圆的方程．
18．（12分）已知两圆的方程分别为x2+y2+6x﹣4＝0和x2+y2+6y﹣28＝0且交于A，B两点（1）求AB所在的直线方程
（2）求两圆公共弦AB的长．
19．（12分）已知角α的终边经过点P（﹣4a，3a）（a≠0），求sinα+cosα﹣tanα的值．20．（12分）已知扇形AOB的周长为8．
（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小；
（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小．
21．（12分）为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地（如图），它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7km
到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8km到达公路的另一点C．现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，则DE的最短距离为．
22．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0，
（1）求直线2x﹣y+1＝0截圆C所得的弦长．
（2）是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．
2016-2017学年福建省泉州市南安市柳城中学高一（下）
第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若直线3x+y+a＝0过圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心，则a的值为（）A．﹣1B．1C．3D．﹣3
【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心为（﹣1，2），
代入直线3x+y+a＝0得：﹣3+2+a＝0，
∴a＝1，
故选：B．
2．（5分）已知空间直角坐标系中，A（1，﹣2，﹣1），B（3，0，1），则|AB|＝（）A．12B．C．D．
【解答】解：∵A（1，﹣2，﹣1），B（3，0，1），
∴|AB|＝＝＝2，
故选：C．
3．（5分）若α是第二象限角，则π+α是（）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【解答】解：∵α是第二象限角，
∴+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z，
∴+2kπ＜α+π＜2π+2kπ，k∈Z，
∴π+α是第四象限角；
故选：D．
4．（5分）已知点P（4，﹣3）是角α终边上一点，则下列三角函数值中正确的是（）A．tanα＝﹣B．tanα＝﹣C．sinα＝﹣D．cosα＝
【解答】解：∵点P（4，﹣3）是角α终边上一点，
∴sinα＝，cosα＝，tanα＝﹣，
故选：B．
5．（5分）若sinθ＜cosθ，且sinθ•cosθ＜0，则角θ的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵sinθ•cosθ＜0，
∴或，
则θ在第二或四象限，
又∵sinθ＜cosθ，
∴θ在第四象限．
故选：D．
6．（5分）圆心为A（1，﹣2）且与直线x﹣3y+3＝0相切的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y+2）2＝B．（x﹣1）2+（y+2）2＝10
C．（x+1）2+（y﹣2）2＝D．（x+1）2+（y﹣2）2＝10
【解答】解：圆心（1，﹣2）到直线x﹣3y+3＝0的距离为d＝＝＝r．∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝10．
故选：B．
7．（5分）若直线ax+by﹣1＝0与圆x2+y2＝1相切，则点P（a，b）的位置是（）A．在圆上B．在圆外
C．在圆内D．以上皆有可能
【解答】解：∵直线ax+by﹣1＝0与圆x2+y2＝1相切，
∴圆心（0，0）到直线ax+by﹣1＝0的距离：
d＝＝＝r＝1，
∴a2+b2＝1，
∵P（a，b）与圆心（0，0）的距离d＝＝1＝r，
∴点P在圆上．
故选：A．
8．（5分）两圆x2+y2＝9和x2+y2﹣8x+6y+9＝0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切
【解答】解：把x2+y2﹣8x+6y+9＝0化为（x﹣4）2+（y+3）2＝16，又x2+y2＝9，
所以两圆心的坐标分别为：（4，﹣3）和（0，0），两半径分别为R＝4和r＝3，
则两圆心之间的距离d＝＝5，
因为4﹣3＜5＜4+3即R﹣r＜d＜R+r，所以两圆的位置关系是相交．
故选：B．
9．（5分）一辆卡车宽1.6米，要经过半径为3.6米的半圆形隧道，则这两卡车的车篷顶距地面高度不得超过（）
A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2.0米
【解答】解：画出图形，如图所示，OB＝0.8米，OA＝3.6米，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB＝≈3.5（米），
则这辆卡车的车篷顶距地面高度不得超过3.5米．
故选：B．
10．（5分）已知圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝9，P（2，2）是该圆内一点，过点P 的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则AC•BD＝（）
A．B．C．D．2
【解答】解：∵圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝9，
∴圆心坐标为M（1，1），半径r＝3．
∵P（2，2）是该圆内一点，
∴经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．
结合题意，得AC是经过P点的直径，BD是与AC垂直的弦．
∵|PM|＝＝，
∴由垂径定理，得|BD|＝2．
因此，|AC|•|BD|＝6×2＝12．
故选：D．
11．（5分）直线y＝﹣x+b与曲线有且只有两个公共点，则b的取值范围是（）
A．2＜b＜2B．2≤b＜2C．2≤b≤2D．2＜b≤2
【解答】解：由曲线变形为x2+y2＝4（y≥0）
画出y＝﹣x+b，x2+y2＝4（y≥0）图象，
①当直线经过点（2，0），（0，2）时，直线与曲线有两个公共点，此时b＝2．
②当直线与曲线相切时，联立直线y＝﹣x+b与曲线，
化为2x2+2bx+b2﹣4＝0，令△＝4b2﹣8（b2﹣4）＝0，解得b＝2．
因此，当2≤b＜2时，直线与曲线有两个公共点．
∴b的取值范围是2≤b＜2．
故选：B．
12．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（）
A．7B．6C．5D．4
【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径为1，
∵圆心C到O（0，0）的距离为5，
∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．
再由∠APB＝90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，
可得PO＝AB＝m，故有m≤6，
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上
13．（5分）若方程x2+y2﹣2x+4y+m＝0表示一个圆，则此圆的圆心坐标为（﹣1，2），m的取值范围是（﹣∞，5）．
【解答】解：方程x2+y2﹣2x+4y+m＝0表示一个圆，此圆即（x﹣1）2+（y+2）2 ＝5﹣m，则此圆的圆心坐标为（1，﹣2）．
由5﹣m＞0，可得m＜5，
故答案为：（1，﹣2）；（﹣∞，5）．
14．（5分）已知集合M＝{锐角}，N＝{小于90°的角}，P＝{第一象限的角}，下列说法：①P⊆N，②N∩P＝M，③M⊆P，④（M∪N）⊆P
其中正确的是③．
【解答】解：锐角的范围为0°＜θ＜90°，
小于90°角为θ＜90°包含负角．
第一象限角为k360°＜θ＜k360°+90°，
∴M∪N＝{小于90°的角}＝N，不一定包含于P，
即N∩P＝N，M⊆P，
∴其中正确的是：③
故答案为：③．
15．（5分）点P在圆C1：x2+y2﹣8x﹣4y+11＝0上，点Q在圆C2：x2+y2+4x+2y+1＝0上，则|PQ|的最小值是3﹣5．
【解答】解：圆x2+y2﹣8x﹣4y+11＝0化为标准方程为（x﹣4）2+（y﹣2）2＝9，圆心为（4，2），半径为3；
圆x2+y2+4x+2y+1＝0化为标准方程为（x+2）2+（y+1）2＝4，圆心为（﹣2，﹣1），半径为2，
∴两圆的圆心距为3＞5
∴两圆外离
∴|PQ|的最小值是两圆的圆心距减去半径的和，即3﹣5，
故答案为：3﹣5．
16．（5分）已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），如果动点P满足条件|P A|＝2|PB|，则动点P的轨迹所包围的图形的面积为4π．
【解答】解：设P点的坐标为（x，y），
∵A（﹣2，0）、B（1，0），动点P满足|P A|＝2|PB|，
∴＝2，平方得（x+2）2+y2＝4[（x﹣1）2+y2]，
化简得（x﹣2）2+y2＝4，
∴点的轨迹是以（2，0）为圆心、2为半径的圆，
因此，点P的轨迹所包围的图形的面积S＝π•22＝4π．
故答案为：4π
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤．
17．（10分）求下列满足条件的圆的方程
（1）圆心为C（2，﹣2）且过点P（6，3）的圆的方程
（2）已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），求以线段AB为直径的圆的方程．
【解答】解：（1）半径等于＝，故圆的方程为（x﹣2）2+（y+2）2＝41；
（2）由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，﹣3），
即圆心的坐标，r＝＝，
故圆的方程为（x﹣1）2+（y+3）2＝29．
18．（12分）已知两圆的方程分别为x2+y2+6x﹣4＝0和x2+y2+6y﹣28＝0且交于A，B两点（1）求AB所在的直线方程
（2）求两圆公共弦AB的长．
【解答】解：（1）把两圆x2+y2+6x﹣4＝0和x2+y2+6y﹣28＝0方程相减，可得6x﹣6y﹣24
＝0，即x﹣y+4＝0．
由于此直线方程既满足第一个圆的方程，又满足第二个圆的方程，故是两个圆的公共弦所在的直线方程，即x﹣y+4＝0；
（2）x2+y2+6x﹣4＝0的圆心坐标为（﹣3，0），半径为，∴圆心到直线x﹣y+4＝0的距离d＝，
∴两圆公共弦AB的长＝2＝5．
19．（12分）已知角α的终边经过点P（﹣4a，3a）（a≠0），求sinα+cosα﹣tanα的值．【解答】解：由题意，x＝﹣4a，y＝3a，r＝|5a|．
当a＞0时，sinα+cosα﹣tanα＝﹣+＝，
当a＜0时，sinα+cosα﹣tanα＝﹣++＝．
20．（12分）已知扇形AOB的周长为8．
（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小；
（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小．
【解答】解：（1）设扇形半径为R，扇形弧长为l，周长为C，
所以，解得或，圆心角，或是．
（2）根据，2R+l＝8，得到l＝8﹣2R，0＜R＜4．
，当R＝2时，S max＝4，
此时l＝4，那么圆心角α＝2，
21．（12分）为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地（如图），它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7km 到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8km到达公路的另一点C．现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，则DE的最短距离为4
﹣1（km）．
【解答】解：（1）以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由题意可得O（0，0），A（1，0），B（8，0），C（0，8），
圆O：x2+y2＝1，
直线BC：x+y﹣8＝0；
（2）点O到直线BC距离d＝＝4，
由题意可得当中心到直线BC的距离减去半径得到DE的最小值
即|DE|＝4﹣1（km）．
故答案为：4﹣1（km）．
22．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0，
（1）求直线2x﹣y+1＝0截圆C所得的弦长．
（2）是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0的圆心C（1，﹣2），半径r＝＝3，
圆心C（1，﹣2）到直线2x﹣y+1＝0的距离d＝＝，
∴弦长为：2＝2＝4．
（2）假设存在斜率为1的直线l，使以l被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点，
设直线l的方程为：y＝x+b，
由，得2x2+（2b+2）x+b2+4b﹣4，①
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝﹣b﹣1，，
∴y1y2＝（x1+b）（x2+b）＝
＝＝＝，
又∵OA⊥OB，
∴x1x2+y1y2＝0，
∴＝0，
解得b＝1或b＝﹣4，
把b＝1和b＝﹣4分别代入①式，验证判别式均大于0，故存在b＝1或b＝﹣4，∴存在满足条件的直线方程是：y＝x﹣4或y＝x+1。