四川省成都市第七中学高三数学二诊模拟试卷 文(扫描版)

四川省成都市第七中学2015届高三数学二诊模拟试卷文（扫描版）
成都七中2015届二诊模拟考试 数学（参考答案）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．
55
2； 12．4； 13．12d =±； 14．13
；15．①⑤. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16. （本小题满分12分）
解：(Ⅰ)由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋B ＝a ，
由正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋B ＝sin A ，
sin B ⎝
⎛⎭
⎪⎫
22sin C ＋22cos C －sin C （22sin B ＋22cos B ）＝22，
整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1即sin(B －C )＝1………6分 (Ⅱ)B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π
8
.
由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π
8
，
所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝1
2.………12分
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设公比为q ，由题意：q>1, 11=a ，则2a q =，2
3a q =，
∵
1
223
+=s s
，∴
1
)(221321++=++a a a a a
则1)1(212
++=++q q q 解得： 2=q 或1-=q （舍去），∴12n n a -= ………6分
（Ⅱ）1
21212n n n b n a n -=-+=-+
()()1
13.....2112......2n n T n -=+++-+++⎡⎤⎣⎦
又∵2
21n
n T n =+- 在[)1,+∞ 上是单调递增的
∴12n T T ≥=∴2n T ≥，316T =
∴满足17n T <的1,2,3n = ………12分 18．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）∵四边形MNEF ，EFDC 都是矩形， ∴MN ∥EF ∥CD ，MN
EF CD ==，
∴四边形MNCD 是平行四边形，∴NC ∥MD ， 又∵NC
⊄平面MFD ，MD ⊂平面MFD ，∴NC ∥平面MFD ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）易证NE ⊥平面FEC ，
设NE
x =，则4EC x =-，其中04x <<．
∴四面体CDFN 的体积为11
(4)32
CDFN NCDF NFEC EFC V V V S NE x x ∆===
⋅=- 2
1(4)[]222
x x +-≤
⋅=，当且仅当4x x =-， 即2x =时取“=”，故四面体CDFN 体积最大值为2． ……12分 19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）第3组的人数为0.06510030⨯⨯=，第4组的人数为0.04510020⨯⨯=， 第5组的人数为0.02510010⨯⨯=．所以第3,4,5组共60名志愿者． 利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数为： 第3组：
306360⨯=；第4组：206260⨯=；第5组：106
160
⨯=． 所以应从第3,4,5组中分别抽取的人数为3人，2人，1人． ……6分
（Ⅱ）记第3组的3名志愿者为1A ，2A ，3A ，第4组的2名志愿者为1B ，2B ，第5组的1名志愿者为1C ．从6名志愿者中取2名志愿者有：12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，
11(,)A C ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，21(,)A C ，31(,)A B ，32(,)A B ，31(,)A C ，12(,)B B ，11(,)B C ，21(,)B C ．共有15种方法． ………9分
其中第4组的2名志愿者1B ，
2B 至少有一名志愿者被抽中的有：11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ，11(,)B C ，21(,)B C ．共9种．
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为93
155
=． ……………12分20.（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)曲线W 的标准方程为22
143
x y +=． ……6分
（Ⅱ）略
（Ⅲ）设Q(11,x y ），22(,)R x y ，则11'(,)Q x y -
联立224
143x my x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩
消x 得22
(34)24360m y my +++=
222(24)436(34)144(4)0m m m ∆=-⨯+=->，即24m >
由韦达定理有12212224,(1)34
36,(2)34m y y m y y m ⎧
+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
……７分
直线RQ 的方程为21
1121
()y y y x x y x x +=
---
令0=y ，得122112121212121212
(4)(4)24()
x y x y my y y my my y y y x y y y y y y ++++++=
==
+++ 将（1），（2）代人上式得1=x ，
又121||||2TRQ S ST y y ∆=
-=
=18
≤
，当3282
=m 时取得． ………11分
此时TRQ S =
V ，直线l
：3120x +-=
或3120x --=．……13分 21．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为(1)0f -=，所以10a b -+=，
因为()f x 的值域为[0,)+∞，所以2
0,40
a b a >⎧⎨
∆=-=⎩， ……2分
所以24(1)02,1b b b a --=⇒==，所以2
()(1)f x x =+，
所以2
2
(1),0
()(1),0
x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩； ……4分
（Ⅱ）因为()f x 是偶函数，所以2
0,()1b f x ax ==+即，
又0a >，所以2
2
1,0
()1,0
ax x F x ax x ⎧+>⎪=⎨--<⎪⎩， ……6分
因为0mn <，不妨设0m >，则0n <，又0m n +>，所以0m n >->， 此时2
2
2
2
()()11()0F m F n am an a m n +=+--=->，
所以()()0F m F n +>； ……8分 （Ⅲ）因为0x >，所以2
()()1F x f x ax bx ==++，又1a b ==，则2
()1F x x x -=+，
因为ln 1()x
x g x e
+=，所以'
1
ln 1
()x x x g x e --= 则原不等式证明等价于证明“对任意实数0x >，221
ln 1
()1x
x x x x e e
---+⋅<+ ” ， 即 21(1ln )1x x
x x x e e
-+⋅--<+． ……10分
先研究 1ln x x x --，再研究1x x
e
+．
① 记()1ln ,0i x x x x x =-->，'()ln 2i x x =--，令'()0i x =，得2x e -=， 当(0x ∈，2)e -时'()0i x >，()i x 单增；当2(x e -∈，)+∞时'()0i x <，()i x 单减 ． 所以，22max ()()1i x i e e --==+，即21ln 1x x x e ---≤+．
② 记1(),0x x j x x e +=>，'()0x x j x e
=-<，所以()j x 在(0,)+∞单减，
所以，()(0)1j x j <=，即11x x e
+<．
综上①、②知，2211()(1ln )(1)1x x x x g x x x x e e e e
--++=--≤+<+．
即原不等式得证，对任意实数0x >，2
[()1]'()1F x g x e --<+ ……14分。