1.4可数集.

1874年Cantor开始研究无限集的计数问题; 1873年C.埃尔米特证明了e是超越数; 1882年Lindemann证明了π是超越数; 1934年A.O.盖尔丰得证明了若α不是0和1的代 数数，β是无理代数数,则αβ是超越数
(此问题为Hilbert于1900年提出的23个问题中的第7问题)。
例3 平面上以有理点为圆心，有理数为半径的圆全体A 为可数集. (p30.14)
证明：平面上的圆由其圆心 (x,y) 和半径 r 唯 一决定,从而
A ~ Q Q Q {( x, y, r ) | x, y Q, r Q }
r (x,y)


例4
若 A a0 , B a0 , 则A
Th2. 可数集的子集或为有限集或为可数集
(p20.th2)
证明：设A是一个可数集，则 A中的元素可以排列成 :
a1 , a2 , a3 ,, an ,若A*是A的有限子集，则得证； 若A*是A的无限子集，则 A*中的元素必是上述序列 中的一个无穷子序列：
an1 , an2 , an3 ,, ank ,
对上例另证：
若 A 0 , B 0 , 则 A B A.
由于 B 0 , 故B或为有限集或为可数集；
当B为可数集时，利用可数 集并可数集仍为可数集 ；
当B为有限集时，利用可数 集并有限集仍为可数集 ；
特殊情形：
• [0,1] ~ (0,1) • R ~ R-Q
从而A* {an1 , an2 , an3 , , ank , }是可数集。
可数集的性质（并集.p20-21）
•Th3. 有限集与可数集的并仍为可数集 •Corrollary.有限个可数集的并仍为可数集 •Th4. 可数个可数集的并仍为可数集 A={a1, a2, a3, a4, a5, a6, …} B={b1, b2, b3, … ,bn} C= {c1, c2, c3, c4, c5, c6, …} 假设A，B，C两两不交，则
Exercise1.(思考？)
设A是一个无限集，则存在 A* A, 使得 A* ~ A, 而A A*是可数集。
问:为什么 不直接令 A*=A\M ?
假设这是集合A
A\M
从中可以取出可数子集M
M={a1, a2, a3, a4, a5, a6, …} M1 ={a1, a3, a5, …} 很容易将M一分为二M ,M ，
3 可数集的性质（卡氏积）
TH6(p23). 有限个可数集的卡氏积是可数集
设A，B是可数集，则A×B也是可数集
A B {( x, y) | x A, y B}
{( x, y) | y B}
xA
从而A×B也是可数集（可数个可数集的并） x固定，y在变
利用数学归纳法即得有限个乘积的情形
1 2
使得两个都是可数集
M2={a2, a4, a6, …}
取A*=(A\M)∪M1=A-M2即可
说明：由此我们可得任一无限集一定存在它的一个真子 集与它有相同多的元素个数
(略)思考：
N 1 n 1
An An是否成立？ ( An为可数集)
n 1

N

N 1



是可数集（有限个可数集的卡氏积仍是可数集） An （可数个可数集的并仍是可数集） n 1
A4
说明: •与Hilbert旅馆问题比较; •如何把无限集分解成无 限个无限集合的并?
,
,
,
，
当Ai互不相交时，按箭头所示，我们得到一个无穷序列;
当Ai有公共元时，在排列的过程中除去公共元素；

因此 An是可数集.
n 1
Th5. 全体有理数全体（Q）成一可数集 (p22.th5)
首先[0,1]中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}是可数集，
1, 2, 3, 4, 5, 6,… a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a 6 , …
注：A可数当且仅当 A可以写成无穷序列的形式{a1, a2, a3, …}
例：1）Z = {0，1，-1，2，-2，3，-3， …} 2）[0,1]中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}
N
n 1
An
是不可数集
注：用现有语言不能对任意集合给出一描述 (集合有描述法与列举法两种)
n n n1 0 i n
P0 ~ Z Pn ~ ( Z {0}) Z Z Z (n个Z 相乘)为可数集(n 1)
由代数基本定理知
（有限个可数集作卡氏积）
P

Pn为可数集（可数个可数集的并）
n 0
任意整系数多项式
至多有有限个实根，
从而结论成立.
有关超越数的说明
我们证明了代数数全体是可数集合， 通过后面可知道超越数全体是不可 数集，故超越数比代数数多得多
B A.
•有限集与可数集的并仍为可数集 •可数集并可数集仍为可数集
A
由于 A a0
故从A中可以取出子集M , 使得M a0
由B a0 , 知B或有限或可数
B A\M
从而A B ( A \ M ) M
B
( A \ M ) (M
M
B)
~ (A \ M ) M A
所以A B A
２ 可数集的性质（子集）
Th1.任何无限集合均含有可数子集(p20.th1) （即可数集是无限集中具有最小势的的集合)
假设这是一个无限集M 我们可以取出其中一个点a1 显然M\{a1}还是无限集 在M\{a1}中可以取出一点a2 显然M\{a1，a2}还是无限集 我们可以取出一个可数子集{a1,a2,a3,...}
An 思路：令每个An={0,1,2,3, … ,}，对 n 1 中每个点(a1, a2, a3, a4, a5, a6, …) 对应一个小数0. a1a2a3a4a5a6 …，则 An n 1 的势比[0,1]的势大（？），又[0,1]为不可 数集，故 A 不可数
n 1 n
有限个有限个可数集的可数集的卡氏积是可数集是可数集设ab是可数集则ab也是可数集从而ab也是可数集可数个可数集的并利用数学归纳法即得有限个乘积的情形平面上以有理点为圆心有理数为半径的圆全体a为可数集
第一章 集合
第三节 可数集
１可数集的定义
与自然数集N对等的集合称为可数 集或可列集，其基数记为
0
[ -2 ][ -1 ][ 0 ][ 1 ][ 2 ][ 3 ] 4
Q (Q [0,1]) (Q [1,0]) (Q [1,2]) (Q [2,1])
所以Q是可数集（可数个可数集的并）
说明:有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布在直线上 的整数集有相同多的点(对等意义下).
{ 1/2 , 1/3 , ¼ , 1/5 ,…} { 0 , 1 , ½ , 1/3 , 1/4 ,…}
x x 其他
例5 代数数全体是可数集（ p24.th7）
整系数多项式方程的实根称为代数数；
不是代数数的实数成为超越数。 设 P 是整系数多项式全体所成之集,P(n)是n次整系数多项 式全体 P {a xn a xn1 a | a Z , i 1,2, , n, a 0}
当集合有公共元素时， 不重复排。
A∪B={ b1, b2, b3 , … , bn ，a1, a2, a3, …} A∪C={ c1, a1, c2, a2, c3, a3, …}
A1
A2 A3
a11 , a12 , a13 , a14，
可数个可数集的并 仍为可数集的证明
a21 , a22 , a23 , a24， a31 , a32 , a33 , a34， a41 , a42 , a43 , a44，