北师大版高一数学必修试卷及答案

高一数学必修2考试卷
十二厂中学 屈丽萍
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长
为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（ ）
（A ）48 （B ）64 （C ）96 （D ）192
2、已知A （x 1,y 1）、B （x 2，y 2）两点的连线平行y 轴，
则|AB |=（ ）
A 、|x 1-x 2|
B 、|y 1-y 2|
C 、 x 2-x 1
D 、 y 2-y 1
3．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A. 3 B. 23 C. 33 D. 43
4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）
A ．25π
B ．50π
C ．125π
D ．都不对
5、已知正方体外接球的体积是
323π，那么正方体的棱长等于 （ D ） （A ）22 （B ）233 （C ）423
（D ）433 6、若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命
题的是（ ）
A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l n
B ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥
C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则
//l m
7、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，，分别为
1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的
角等于（ ）
Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120°
8、方程（x-2）2+(y+1)2=1表示的曲线关于点T （-3，2）的对称曲线方程是： （ ）
A 、 (x+8)2+(y-5)2=1
B 、(x-7)2+(y+4)2=2
C 、 (x+3)2+(y-2)2=1
D 、(x+4)2+(y+3)2=2
9、已知三点A （－2,－1）、B （x ，2）、C （1，0）共线，则x 为： （ ）
A 、7
B 、-5
C 、3
D 、-1
10、方程x 2+y 2-x+y+m=0表示圆则m 的取值范围是 ( )
A 、 m ≤2
B 、 m<2
C 、 m<21
D 、 m ≤2
1 11、过直线x+y-2=0和直线x-2y+1=0的交点，且垂直于第二直线的直线方程为 （ ）
A 、+2y-3=0
B 、2x+y-3=0
C 、x+y-2=0
D 、2x+y+2=0
12、圆心在直线x=y 上且与x 轴相切于点（1,0）的圆的方程为： （ ）
A 、(x-1)2+y 2=1
B 、(x-1)2+(y-1)2=1
C 、(x+1)2+(y-1)2=1
D 、(x+1)2+(y+1)2=1
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13、直线x=2y-6到直线x=8-3y 的角是 。

14、圆：x 2+y 2-2x-2y=0的圆心到直线xcos θ +ysin θ=2的最大距离是 。

15．正方体的内切球和外接球的半径之比为＿＿＿＿＿
16如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=︒90，PA ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角
形。

三 解答题:(共70分)
17．（10分）如图，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面
PBC
求证：AB ⊥BC
18．在长方体1111D C B A ABCD -中，已知
3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与C B 1所成角的余弦值 。

（10分）
P
A B C
19、求过原点且与直线x=1及圆（x-1）2+（y-2）2=1相切的圆的方程。

（12分）
20、在△ABC 中，BC 边上的高所在直线方程为x-2y+1=0,∠A 的平分线所在直线方程为y=0若点B 坐标为（1，2），求点A 和C 的坐标。

（12分）
21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD AC CD ⊥⊥，， 60ABC ∠=°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（14分）
（Ⅰ）求PB 和平面PAD 所成的角的大小；
（Ⅱ）证明AE ⊥平面PCD ；
（Ⅲ）求二面角A PD C --的正弦值．
22、设圆：（1）截y 轴所得弦长为2；（2）被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1。

则在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程。

（12分）
答案：一选择题：1B 长方体对角线是球直径，
5、C
6、B
因为四个面是全等的正三角形，则444
S S ==⨯
=表面积底面积 ； 9A ； ； ；
二 填空题 13.43π ； 14 2＋2； 15、正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是a
16、4
三解答题 ：
17、证明：过A 作AD ⊥PB 于D ，由平面PAB ⊥平面PBC ，得AD ⊥平PBC ，故AD ⊥BC ，
又BC ⊥PA ，故BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AB
18、连接D A 1， D BA C B D A 111,//∠∴Θ为异面直线B A 1与C B 1所成的角.
连接BD ，在△DB A 1中，24,
511===BD D A B A ， 则D A B A BD D A B A D BA 112212112cos ⋅⋅-+=∠25
9552322525=⋅⋅-+= 19. (x －8
3)2＋(y －21)＝2425 . 20.（1）k ≠-9且k ≠1； （2）k ＝
2
131± ； (3)k ＝－9； (4)k ＝1. 20. A (－1,0) ， C (5, －6) . 21、（Ⅰ）解：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故PA AB ⊥．
又AB AD ⊥，PA AD A =I ，从而AB ⊥平面PAD ．故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从
而APB ∠为PB 和平面PAD 所成的角．
在Rt PAB △中，AB PA =，故45APB =o ∠．
所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45o ．
（Ⅱ）证明：在四棱锥P ABCD -中，
因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故CD PA ⊥．
由条件CD AC ⊥
，PA AC A =I ，CD ∴⊥面PAC ．又AE ⊂面PAC ，AE CD ∴⊥． 由PA AB BC ==，60ABC =o ∠，可得AC PA =．E Q 是PC 的中点，AE PC ∴⊥， PC CD C ∴=I ．综上得AE ⊥平面PCD ．
（Ⅲ）解：过点E 作EM PD ⊥，垂足为M ，连结AM ．由（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则AM PD ⊥．
因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角．由已知，得30CAD =o
∠．设AC a =，得 PA a =
，AD =
，3PD a =
，2
AE a =．
在Rt ADP △中，AM PD ⊥Q ，AM PD PA AD ∴=g g ，则
a PA AD AM PD ==g ．在Rt AEM △
中，sin 4AE AME AM ==． 22. 设所求圆的圆心为P （a,b ），半径为r ，则P 到x 轴、y 轴的距离分别为|b|、|a|.
由题设得：⎪⎩⎪⎨⎧+==1
22222a r b r ∴ 2b 2－a 2＝1 又点P （a,b ）到直线 x －2y ＝0距离为 d ＝5|
2|b a - .
∴5d 2=|a －2b|2= a 2＋4b 2－4ab ≥a 2+4b 2－2(a 2+b 2)＝2b 2－a 2＝1 .
当且仅当a=b 时，上式等号成立，d 取得最小值. ∴ ⎪⎩
⎪⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 故所求圆的方程为(x ±1)2+(y ±1)2＝2 .。