云南省昆明市东川区第三中学高一数学文下学期期末试卷含解析

云南省昆明市东川区第三中学高一数学文下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
【分析】
考查k=0,1,2的情形即可确定角所表示的范围.
【详解】当时，即，即选项C中第一象限所示的部分；
当时，即，即选项C中第三象限所示的部分；当时，其所表示的角的范围与表示的范围一致.
综上可得，选项C表示集合中的角所表示的范围.
故选：C.
2. 若集合U={0，1，2，3，4，5，6}，M={0，1，2，3}，N={1，3，5}，则M∪?U N等于( ) A．{0，1，2，3，4，5} B．{0，1，2，4，6} C．{0，1，2，3，4，6} D．{0，1，2，4，5，6}
参考答案：C
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；集合思想；转化法；集合．
【分析】由全集U以及N，求出N的补集，找出M与N补集的并集即可．
【解答】解：∵集合U={0，1，2，3，4，5，6}，M={0，1，2，3}，N={1，3，5}，
∴?U N={0，2，4，6}，
则M∪（?U N）={0，1，2，3，4，6}．
故选：C
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
3. 下图是2019年我校高一级合唱比赛中，七位评委为某班打出的分数的茎叶统计图，去掉最高分和最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）
A. 84，4.84
B. 84，1.6
C. 85，4.84
D. 85，1.6
参考答案：
D
【分析】
由茎叶图写出除最高分和最低分的5个分数，然后计算平均数和方差．
【详解】由茎叶图知除最高分和最低分的分数有：84，84，86，84，87，
平均数为，
方差为，
故选：D．
【点睛】本题考查茎叶图，考查平均数和方差，属于基础题．
4. 下列四组中的函数f（x）与g（x），是同一函数的是（）
A．f（x）=ln（1﹣x）+ln（1+x），g（x）=ln（1﹣x2）B．f（x）=lgx2，g（x）=2lgx
C．f（x）=?，g（x）=D．f（x）=，g（x）=x+1
参考答案：
A
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是否为同一函数即可．
【解答】解：对于A，f（x）=ln（1﹣x）+ln（1+x）=ln（1﹣x2）（﹣1＜x＜1），
与g（x）=ln（1﹣x2）（﹣1＜x＜1）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于B，f（x）=lgx2=2lg|x|（x≠0），
与g（x）=2lgx（x＞0）的定义域不同，不是同一函数；
对于C，f（x）=?=（x≥1），
与g（x）=（x≤﹣1或x≥1）的定义域不同，不是同一函数；
对于D，f（x）==x+1（x≠1），
与g（x）=x+1（x∈R）的定义域不同，不是同一函数．
故选：A．
【点评】本题考查了判断两个是否为同一函数的问题，解题时应判断它们的定义域是否相同，对应关系是否也相同，是基础题．
5. 已知，则（）
A. 1
B. －1
C.2
D. －2
参考答案：
A
6. 已知a＞0，且a≠1，则函数f（x）=a x﹣1+1的图象恒过定点（）
A．（1，1）B．（1，2）C．（2，1）D．（1，0）
参考答案：
B
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【专题】计算题；规律型；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】已知函数f（x）=a x﹣1+1，根据指数函数的性质，求出其过的定点．
【解答】解：∵函数f（x）=a x﹣1+1，其中a＞0，a≠1，
令x﹣1=0，可得x=1，a x﹣1=1，
∴f（x）=1+1=2，∴点A的坐标为（1，2），
故选：B．
【点评】此题主要考查指数函数的性质及其特殊点，是一道基础题．
7. 为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有
点
A．向右平移个单位长度，再将所得图象上的点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再将所得图象上的点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变
C．向右平移个单位长度，再将所得图象上的点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再将所得图象上的点横坐标缩短为原来的2倍，纵坐标不变
参考答案：
A
8. 已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在[1，2]上具有单调性，则k的取值范围是( ) A．（﹣∞，8]∪[16，+∞） B．[8，16] C．（﹣∞，8）∪（16，+∞）D．[8，+∞）参考答案：
A
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】先求出函数的对称轴，根据函数的单调性，得到不等式，解出即可．
【解答】解：∵对称轴x=，
若函数f（x）在[1，2]上单调，
则≥2或≤1，
解得：k≥16或k≤8，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性，是一道基础题．
9. 已知角终边上一点，则（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
10. 某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是（）
A．10 B．90 C．150 D．1500
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若Sin cos，则α角的终边在第_____象限。

参考答案：
四
12. 已知x∈（0，+∞），观察下列各式：
x+≥2，
x+≥3，
x+≥4，
…
类比得：x+，则a= ．
参考答案：
n n
【考点】F3：类比推理；F1：归纳推理．
【分析】观察前几个式子的分子分母可发现规律得出结论．【解答】解：当n=1时，a=1，当n=2时，a=2=22，
当n=3时，a=27=33，
…
∴当分母指数取n时，a=n n．
故答案为n n．
13. 已知幂函数的图象过，则_______ __ .
参考答案：
略
14. 已知关于x的x2﹣2ax+a+2=0的两个实数根是α，β，且有1＜α＜2＜β＜3，则实数a的取值范围是．
参考答案：
【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】构造函数f（x）=x2﹣2ax+a+2，根据根与系数之间的关系建立不等式关系即可得到结论．【解答】解：设f（x）=x2﹣2ax+a+2，
∵1＜α＜2＜β＜3，
∴，即，
即，即2＜a＜，
故答案为：
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据根与系数之间，转化为函数是解决本题的关键．15. 如图，圆锥形容器的高为h圆锥内水面的高为，且，若将圆锥形容器倒置，水面高为
，则等于__________．（用含有h 的代数式表示）
参考答案：
【分析】
根据水的体积不变，列出方程，解出
的值，即可得到答案.
【详解】设圆锥形容器的底面面积为，则未倒置前液面的面积为，
所以水的体积为，
设倒置后液面面积为，则，所以
，
所以水的体积为，所以，解得.
【点睛】本题主要考查了圆锥的结构特征，以及圆锥的体积的计算与应用，其中解答中熟练应用圆锥的结构特征，利用体积公式准确运算是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.
16. （5分）已知f （x ）是奇函数，当x ＜0时，f （x ）=x 3+x 2，则f （2）= ．
参考答案：
4
考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 本题利用函数f （x ）是奇函数，将f （2）转化为求f （﹣2），再用当x ＜0时，f （x ）=x 3+x 2，求出f （﹣2）的值，从而得到本题结论． 解答： ∵函数f （x ）是奇函数， ∴f（﹣x ）=f （x ）． ∴f（2）=﹣f （﹣2）．
∵当x ＜0时，f （x ）=x 3+x 2， ∴f（﹣2）=（﹣2）3+（﹣2）2=﹣4．
∴f（2）=4． 故答案为4．
点评： 本题考查了用函数的奇偶性求函数的值，本题难度不大，属于基础题．
17. 函数
的定义域是
．
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （14分）如图，在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC=60°，OA⊥底面ABCD ，OA=2，M 为OA 的中点，P 为CD 的中点． （1）求证：CD⊥平面MAP ； （2）求证：MP∥平面OBC ； （3）求三棱锥M ﹣PAD 的体积．
参考答案：
考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
专题：综合题；空间位置关系与距离．
分析：（1）利用线面垂直的性质，可得OA⊥CD，再利用线面垂直的判定，可得线面垂直；
（2）设N为线段OB的中点，连接MN、CN，可得四边形MNCP为平行四边形，从而可得MP∥CN，利用线面平行的判定，可得线面平行；
（3）利用三棱锥的体积公式，即可求得结论．
解答：（1）证明：∵OA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴OA⊥CD
∵四边形ABCD这菱形且∠ABC=60°，∴△ACD为正三角形，
∵P为CD的中点，∴AP⊥CD
又OA∩AP=A，∴CD⊥平面MAP；…（5分）
（2）证明：设N为线段OB的中点，连接MN、CN，则
∵M为OA的中点，∴MN∥AB，且，∴MN∥CP且MN=CP，
∴四边形MNCP为平行四边形，∴MP∥CN
∵MP?平面OBC，CN?平面OBC
∴MP∥平面OBC；…（10分）（3）∵OA=CD=2，∴，
∴…（14分）
点评：本题考查线面垂直，考查线面平行，考查三棱锥体积的计算，属于中档题．
19. 已知直线，，是三条不同的直线，其中
.
（1）求证：直线恒过定点，并求出该点的坐标；
（2）若以，的交点为圆心，为半径的圆C与直线相交于A，B两点，求的最小值. 参考答案：
（1）证明见解析；定点坐标；（2）
【分析】
（1）将整理为：，可得方程组，从而求得定点；（2）直线方程联立求得圆心坐标，将问题转化为求圆心到直线距离的最大值的问题，根据圆的性质可知最大值为，从而求得最小值.
【详解】（1）证明：，可化为：
令，解得：，
直线恒过定点
（2）将，联立可得交点坐标
设到直线的距离为，则
则求的最小值，即求的最大值
由（1）知，直线恒过点，则最大时，，即
【点睛】本题考查直线过定点问题的求解、直线被圆截得弦长的最值的求解，关键是能够根据圆的性质确定求解弦长的最小值即为求解圆心到直线距离的最大值，求得最大值从而代入求得弦长最小值.
20. 设f（x）=|lnx|，a，b为实数，且0＜a＜b．
（1）求方程f（x）=1的解；
（2）若a，b满足f（a）=f（b），求证：①a?b=1；②；
（3）在（2）的条件下，求证：由关系式所得到的关于b的方程h（b）=0，存在
b0∈（3，4），使h（b0）=0．
参考答案：
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【分析】（1）由f（x）=1，得lnx=±1，即可求方程f（x）=1的解；
（2）①证明ln（ab）=0即可；②令，（b∈（1，+∞）），证明?（b）在（1，+∞）上为增函数，即可证明结论；
（3）令h（b）=，因为h（3）＜0，h（4）＞0，即可得出结论．
【解答】（1）解：由f（x）=1，得lnx=±1，所以x=e或…．
（2）证明：①因为f（a）=f（b），且0＜a＜b，可判断a∈（0，1），b∈（1，+∞），
所以﹣lna=lnb，即lna+lnb=0，即ln（ab）=0，则ab=1…
②由①得，令，（b∈（1，+∞））
任取b1，b2，且1＜b1＜b2，
因为?（b1）﹣?（b2）====（b2﹣b1）
∵1＜b1＜b2，∴b2﹣b1＞0，1﹣b1b2＜0，b1b2＞0，
∴?（b1）﹣?（b2）＜0，
∴?（b）在（1，+∞）上为增函数，∴?（b）＞?（1）=2，∴…
（3）证明：∵，，∴，
∴，得4b=a2+b2+2ab，
又a?b=1，∴．…
令h（b）=，因为h（3）＜0，h（4）＞0，
根据函数零点的判断条件可知，函数h（b）在（3，4）内一定存在零点，
即存在b0∈（3，4），使h（b0）=0…．
21. （本小题满分12分）
已知函数．
（1）判断的奇偶性；
（2）若，求的值．
参考答案：
（1）是奇函数. （2）a=1，b=1.
22. （12分）已知26辆货车以相同速度v由A地驶向400千米处的B地，每两辆货车间距离为d千米，现已知d与v的平方成正比，且当v=20（千米／时）时，d=1（千米）．
（1）写出d与v的函数关系；
（2）若不计货车的长度，则26辆货车都到达B地最少需要多少小时？此时货车速度是多少？
参考答案：
（1）设d=kv2（其中k为比例系数，k>0），由v=20,d=1得k=∴d=（2）∵每两列货车间距离为d千米，∴最后一列货车与第一列货车间距离为25d，∴最后一列货车达
到B地的时间为t=，代入d=得
t=≥2＝10，当且仅当v=80千米／时等号成立。

∴26辆货车到达B地最少用10小时，此时货车速度为80千米／时。