高中数学概率与统计测试题

1. 如果一个整数为偶数的概率为0.6，且a,b,c均为整数，求
(1) a+b为偶数的概率；
⑵a+b+c为偶数的概率。

2. 从10位同学(其中6 女, 4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为 -,每位
5
男同学能通过测验的概率均为3 4 5
，求
5
(1) 选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；
(2) 10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率。

3. 袋中有6个白球，4个红球，甲首先从中取出3个球，乙再从余下的7个球中取出4个球，凡取得红球多者
获胜。

试求
(1) 甲获胜的概率；
(2) 甲，乙成平局的概率。

4. 箱子中放着3个1元硬币，3个5角硬币，4个1角硬币，从中任取3个，求总钱数超过1元8角的概率。

5. 有10张卡片，其号码分别位1，2，3…，10,从中任取3张。

(1) 求恰有1张的号码为3的倍数的概率；
⑵记号码为3的倍数的卡片张数为E,求E的数学期望。

3 2
绿球，则下次出现红球、绿球的概率分别为-,-，记第n(n € N,n > 1)次按下后，出现红球的概率为P n
5 5
(1)求P2的值；
⑵当n€ N,n>2时，求用P n 1表示P n的表达式；
(3) 求P n关于n的表达式。

7. 有甲、乙两个盒子，甲盒子中有8张卡片,其中两张写有数字0,三张写有数字1,三张写有数字2;乙盒子中
有8张卡片，其中三张写有数字0,两张写有数字1,三张写有数字2,
(1)如果从甲盒子中取两张卡片，从乙盒子中取一张卡片，那么取出的3张卡片都写有1的概率是多
少？
⑵如果从甲、乙盒子中各取一张卡片，设取出的两张卡片数字之和为E,求E的分布列和期望。

8. 甲、乙两位同学做摸球游戏，游戏规则规定：两人轮流从一个放有1个白球，3个黑球，2个红球且
6. 某种电子玩具按下按钮后，会出现白球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是
1 1 2
丄，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下次出现红球、绿球的概率分别为；若前次出现
2 3 3
只有颜色不同的6个小球的暗箱中取球，每次每人只取一球，每取出一个后立即放回，另一个人接着取，取出后也立即放回，谁先取到红球，谁为胜者，现甲先取
(1)求甲摸球次数不超过三次就获胜的概率；
⑵求甲获胜的概率。

9. 设有均由A,B,C三个部件构成的两种型号产品甲和乙，当A或B是合格品并且C是合格品时，甲是正品；当A，B都是合格品或者C是合格品时，乙是正品。

若A B C合格的概率均是P，这里A，B, C 合格性是互相独立的。

(1) 产品甲为正品的概率只是多少？
(2) 产品乙为正品的概率P2是多少？
(3) 试比较只与P2的大小。

10. 一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了
一箱，为了找出该箱的二等品，我们对该箱中的产品逐一取出进行测试。

(1) 求前二次取出的都是二等品的概率；
(2) 求第二次取出的是二等品的概率；
(3) 用随机变量E表示第二个二等品被取出时共取的件数，求E的分布列及数学期望。

11. 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为丄。

现有甲，乙两人从袋中轮流摸
7
取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中一人取到白球时即终止，每个球在第1次被取出的机会是等可能的，
(1)求袋中原有白球的个数；
⑵求甲取到白球的概率。

12. 箱内有大小相同的20个红球，80个黑球，从中任意取出1个，记录它的颜色后再放回箱内，进行搅
拌后再任意取出1个，记录它的颜色后又放回箱内搅拌，假设三次都是这样抽取，试回答下列问题
(1) 求事件：“第一次取出黑球，第二次取出红球，第三次取出黑球”的概率；
(2) 求事件：“三次中恰有一次取出红球”的概率；
(3) 如果有50人进行这样的抽取，试推测约有多少人取出2个黑球，1个红球。

13. 甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛中，规定先赢三局的队获胜并且比赛就此结束，现已
知甲，乙两队每比赛一局，甲队获胜的概率是0.6，乙队获胜的概率是0.4，且每局比赛的胜负是相互独立的，问
(1) 甲队以3: 2获胜的概率是多少？
(2) 乙队获胜的概率是多少？
14. 某射手进行射击练习，每次射出一发子弹，每射击5发算一组，一旦命中就停止，并进入下一组练习，否则一直打
完5发子弹才能进入下一组练习，已知他每射击一次的命中率为0.8，且每次射击命中与否互不影响。

(1) 求在完成连续两组练习后，恰好共耗用了4发子弹的概率；
(2) 求一组练习中所耗用子弹数E的分布列，并求E的期望。

15. 袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取出4个球。

(1) 求取出的红球数E的概率分布列和数学期望；
(2) 若取出每个红球得2分，取出黑球得1分，求得分不超过5分的概率。

16. 下表为某班英语及数学成绩的分布，学生共有50人，成绩分1至5五个档次。

例如表中所示英语成绩为4分，数
学成绩为2分的学生为5人，将全班学生的姓名卡片混合在一起，任取一张，该卡片同学的英语成绩为X,数学成绩为y,设x,y
(1) 分别求出x=1的概率及x > 3且y = 3的概率;
(2) 求a+b的值；
133
⑶若y的期望值为一一，试确定a, b的值。

50
1解：整数为奇数的概率为
⑵ P(a+b+c) = 0.52
C3 3解:(1 ,概率为―4-
C；0
1 —0.6 = 0.4(1P(a+b) = 0.6 X 0.6 + 0.4 X 0.4 = 0.52
5(2)
6
丄
70
X 0.6 + 0.48 X 0.4 = 0.5042
(2)甲、乙成平局包括两类事件①
CwC：c：c1c；c5
3 4
C10C7
3
•••这两个事件彼此排斥.••成平局的概率为
35
—②
35
6
c3
解:(1 1 6
C；
0 空③C1CC!
14 CwC；
2 113
C4 C6C3C4
3 4
C10C7
9
35 35
4解：记“总钱数超过1元8角”为事件A,它包括以下4种情况：①“个5角硬币”记为A2；③“ 2个1元硬
币,1
P(A1)丄,P(A2)
120 C30
P(A) P(A1)
6
35
C1
C
8
C3
C
10
3个1元硬
币”
记为事件A i；②“ 2个1元硬币,1
个1角硬币”记为事件A3；④“ 1个1元硬币,2个5角硬币”记为事件A 2,P(A3)CC
120 C30
P(A2)P(A3)P(A4)1 9 12 9
120
31
120
5解:(1)恰有一张号码为3的倍数的概率是P c3c；
"CT
2
1 40
12 1
饭而WE
c3c f
"CT
9
120
—且A1,
40
(2P( 0) C7
C
10 24-( 1)赞21
40, P(2)
c3c；
C；0
4?P(
3)
C3
C；
1
120
6解:(1)若按钮第一次、第二次按下后均出现红球，则其概率为-；若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿
6
1 3 3 1 球，红球，则其概率为。

故所求概率为P?
2 5 10 6
3
10
7
15
(2)第n-1次按下按钮后出现红球的概率为P n-1(n € N,n > 2),则出现绿球的概率为 1 —
P n-1
若第n-1次、第n次按下后均出现红球，则其概率为P
n
若第n-1次、第n次按下后依次出现绿球，红球, 3
则其概率为(1 P n 1 )-
5 所以P n
1 3
3
P
n15(1P n 1)
4
P
15 n 1 其中n
5
N ,n 2
(3)由⑵得P n
9
19
1> N ,n 2)
，故｛P n
9 1
—｝构成首项为—，公比为
19 38
4
的等比
15
1
数列。

所以P n 11
乩
19
1)
7解:(1)从甲盒子中取2张卡片是写1的概率3
，从乙盒子中取
28
1张卡片是写1的概率g
C8 -。

所以取
4
3 出3张卡片都是写1的概率一1
38 4
3
112(2) E 可取0, 1, 2, 3, , 4
P( 0)
32
,P(
八
2 2
3 3 13…
c 、 2 3 3 2 3 3 21
1)- —
,P (
2)
—
8 8 8 8 64
8 8 8 8 8 8 64
3 3 9
P( 3) 15
64,P(
4) 64 8解:(1)甲第一次取得红球的概率为 1 丄
，甲第二次取得红球的概率
为
3 1
(-)1，甲第三次取得红球的概率为 3 9
2 •••甲摸球次数不超过三次就获胜的概率 P 1 1(9) 13
3 243 9 解:(1 P 1 P(A B) P(C) [P(A) P(B) P(A B)] P(C) 2P 2
P 3
⑵ P 2
P[( A B) C] P(A B) P(C) P(A B C) P ⑶
P 2 P 1 (P P 2 P 3) (2P 2 P 3) P(1 P) ••• P 2> P 1,当P = 0或P = 1时等号成立。

10解：(1)四件产品逐一取出排成一列共有 A ：种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有 2 2
A 2 A 2种方法。

•前两次取出的产品都是二等品的概率为 A 2 4A 2 A
：
1
-(2)四件产品逐一取出排成一列共有 6 A ：种方法，第二次取
出
的产品是二等品的共有 C 2 A ；
种方法。

.••第二次取出的产品是二等品的概率为
c 2 A A ：
设袋中原有n 个白球，由题意得: 10 3
11 解:(1) Cn C
；
n(n 1) 7 6
n(n 1) 6得n=3或n=— 2(舍去)，即袋中原有
3个白球。

⑵
因为甲先取，所以甲只有可能在第 次、第 3次和第 5次取到白球。

记“甲取到白
球”
的事件为
A 。

则 P(A) c ； c ：c 3c 3 c ； c 7c ：c 5 111 1 1
C 4C 3C 2 C 1 C
3 11111
C 7C 6C 5C 4C 3
6
35 丄
35
丝12 解:⑴ P(A) -80
35 100 20 100 80 100
16 125
P(红球)
20 100
1
P(黑球)
5
80 100
P(B) c 3(*)q )
5 5
48 125
48 50 - 125 96
19
人
13解:(1)设甲队3: 2获胜的事件为A 则第五局甲必胜，前四局各胜两局。

P(A) 0.62 0.42 0.6 0.20736
(2) 设乙队获胜的事件为 B,贝U B 包括三种情况:
①3: 0 乙胜；② 3: 1 乙胜；③ 3: 2 乙胜 P(B) 0.43 C ； 0.42 0.6 0.4 C ： 0.42 0.62 0.4 0.31744
14 解:⑴ P P( 1) P( 3) P( 2) P( 2) P( 3) P( 1)
=0.8 X 0.032 + 0.16 X 0.16 + 0.032 X 0.8 = 0.0768
(2) E的所有可能取值为1, 2, 3, , 4, 5
2
P( 1) 0.8, P( 2) (1 0.8) 0.8 0.16,P( 3) (1 0.8) 0.8 0.032
3 4
P( 4) (1 0.8) 0.8 0.0064,P( 5) (1 0.8) 1 0.0016
••• E E= 1.2496
15解:⑴ P( 0) d 35® 。

管35，P(
2) C2
C
18
35
P( 3) C i C 4
35
C47
(2)当且仅当取出4个得分不超过5分。

11218412 0 1 -2 3 -—
353535357
c：C3C313 CT C；35
16解:⑴P(x 1)
1
亦,P(x 3,y 3)
4
25
⑵ P(x 2) 1 P(x 1) P(x 3)
5 35
1
50 50
a b 7
50
(3)由⑵知a+b=3 ①
50 50 c 15 c 15“ 8 a
3 - 2 - 1 -
505050
4 —133
50
a 4
b 9 ②由①②得a=1,b=2
黑球，或3个黑球，1个红球时。