[推荐学习]2019高考数学一轮复习第9章平面解析几何第7讲抛物线分层演练文

第7讲 抛物线
一、选择题
1．抛物线y ＝ax 2
(a <0)的准线方程是( ) A ．y ＝－1
2a
B ．y ＝－1
4a
C ．y ＝1
2a
D ．y ＝1
4a
解析：选B ．抛物线y ＝ax 2(a <0)可化为x 2
＝1a y ，准线方程为y ＝－14a ．故选B ．
2．直线l 过抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是( )
A ．y 2
＝12x B ．y 2
＝8x C ．y 2＝6x
D ．y 2
＝4x
解析：选B ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线定义，
x 1＋x 2＋p ＝8，
因为AB 的中点到y 轴的距离是2， 所以
x 1＋x 2
2
＝2，所以p ＝4；
所以抛物线方程为y 2
＝8x ．故选B ．
3．顶点在原点，经过圆C ：x 2
＋y 2
－2x ＋22y ＝0的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为( )
A ．y 2
＝－2x B ．y 2
＝2x C ．y ＝2x 2
D ．y ＝－2x 2
解析：选B ．因为圆C ：x 2
＋y 2
－2x ＋22y ＝0的圆心是(1，－2)，抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，且经过点(1，－2)，设标准方程为y 2
＝2px ，因为点(1，－2)在抛物线上，所以(－2)2
＝2p ，
所以p ＝1，所以所求抛物线方程为y 2
＝2x ，故选B ．
4．设抛物线 y 2
＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )
A ．4 3
B ．8
C ．8 3
D ．16
解析：选B ．如图
，由k AF ＝－3知∠AFM ＝60°． 又AP ∥MF ，所以∠PAF ＝60°．
又|PA |＝|PF |，所以△APF 为等边三角形． 故|PF |＝|AF |＝2|MF |＝2p ＝8．
5．已知点A (2，1)，抛物线y 2
＝4x 的焦点是F ，若抛物线上存在一点P ，使得|PA |＋|PF |最小，则P 点的坐标为( )
A ．(2，1)
B ．(1，1)
C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，1
解析：选D ．如图，设抛物线准线为l ，作AA ′⊥l 于A ′，PP ′⊥l 于P ′， 则|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PP ′|≥|AA ′|， 即当P 点为AA ′与抛物线交点时，
|PA |＋|PF |最小，此时P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，1． 故选D ．
6．抛物线y 2
＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解析：选B ．因为△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切，所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆面积为9π，所以圆的半径为3，又因为圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p
2
，
所以p 2＋p
4＝3，所以p ＝4．
二、填空题
7．若抛物线y 2
＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为
________．
解析：设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2
＝2x ，得y P ＝±22，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14
，±22．
答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1
4
，±22
8．抛物线x 2
＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 2
3＝1相交于A ，B 两点，若△ABF
为等边三角形，则p ＝________．
解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，
AB
2
＝
33p ，所以B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫±33
p ，－p 2． 又因为点B 在双曲线上，
故p 233－p 2
4
3＝1，解得p ＝6． 答案：6
9．过点P (－2，0)的直线与抛物线C ：y 2
＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12
|AB |，则点
A 到抛物线C 的焦点的距离为________．
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线
x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，
因为|PA |＝1
2
|AB |，
所以⎩⎪⎨⎪⎧3（x 1＋2）＝x 2＋2， 3y 1＝y 2，又⎩
⎪⎨⎪⎧y 2
1＝4x 1， y 22＝4x 2， 得x 1＝2
3，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为
1＋23＝53． 答案：53
10．设抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若∠FAC ＝120°，则圆的方程为__________________．
解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C (－1，a )(a >0)，则A (0，a )，又F (1，0)，所以AC →
＝(－1，0)，
AF →
＝(1，－a )，由题意得AC →与AF →
的夹角为120°，
得cos 120°＝－11×1＋a 2
＝－1
2，解得a ＝3， 所以圆的方程为(x ＋1)2
＋(y －3)2
＝1． 答案：(x ＋1)2
＋(y －3)2＝1 三、解答题
11．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方
的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ．
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2
＝2px 的准线为x ＝－p
2，
于是4＋p
2＝5，所以p ＝2．
所以抛物线方程为y 2＝4x ． (2)因为点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又因为F (1，0)，所以k FA ＝4
3，
因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－3
4．
所以FA 的方程为y ＝4
3
(x －1)，①
MN 的方程为y －2＝－34
x ，②
联立①②，解得x ＝85，y ＝4
5
，
所以N 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫85，45． 12．已知过抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9．
(1)求该抛物线的方程；
(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →
，求λ的值．
解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x
2
－5px ＋p 2
＝0，所以x 1＋x 2＝
5p 4
． 由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p
4＋p ＝9，
所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2
＝8x ． (2)由(1)得4x 2
－5px ＋p 2
＝0， 即x 2
－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，
于是y 1＝－22，y 2＝42，
从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)， 则OC →
＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)．
又y 2
3＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2
＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2
＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2．
1．
如图，抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF →＝2FB →
，求直线AB 的斜率；
(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．
解：(1)依题意知F (1，0)，设直线AB 的方程为
x ＝my ＋1．将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，
消去x 得y 2
－4my －4＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4．① 因为AF →＝2FB →
，所以y 1＝－2y 2．② 联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±
24
．
所以直线AB 的斜率是±22．
(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB ．因为2S △AOB ＝2×1
2·|OF |·|y 1－y 2|＝
（y 1＋y 2）2
－4y 1y 2＝41＋m 2
，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4． 2．
如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．
(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2
＝2px (p >0)． 因为点P (1，2)在抛物线上， 所以22
＝2p ×1， 解得p ＝2．
故所求抛物线的方程是y 2
＝4x ，准线方程是x ＝－1． (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ． 则k PA ＝
y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2
x 2－1
(x 2≠1)，因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k PA ＝－k PB ．
由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，
得⎩
⎪⎨⎪⎧y 2
1＝4x 1，①
y 22＝4x 2，② 所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214
y 22－1，
所以y 1＋2＝－(y 2＋2)． 所以y 1＋y 2＝－4．
由 ①－②得，y 2
1－y 2
2＝4(x 1－x 2)， 所以k AB ＝
y 1－y 2x 1－x 2＝4
y 1＋y 2
＝－1．。