2022年安徽省铜陵市示范性高级中学高二数学文月考试卷含解析

2022年安徽省铜陵市示范性高级中学高二数学文月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知正数a,b满足，则的最小值为（）
A．B． 3 C. 5 D．9
参考答案：
D
2. 圆x2＋(y＋1)2＝3绕直线kx－y－1＝0旋转一周所得的几何体的体积为 ( )
A．36π B．12πC．4π
D．4π
参考答案：
C
略
3. 已知满足，且，那么下列选项中一定成立的是( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
4. 直线+=1和坐标轴所围成的三角形的面积是（）
A．7 B．2 C．5 D．10参考答案：C
5. 已知动点P（x,y）满足 5，则P点的轨迹是
A．两条相交直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆
参考答案：
D
略
6. 在直角坐标系中，方程所表示的曲线为（）
A．一条直线和一个圆B．一条线段和一个圆
C．一条直线和半个圆D．一条线段和半个圆
参考答案：
D
错因：忽视定义取值。

7. 下列命题错误的是( )
A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”
B．若命题，则￢p：?x∈R，x2﹣x+1＞0
C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件
D．若向量，满足?＜0，则与的夹角为钝角
参考答案：
D
考点：命题的真假判断与应用．
专题：综合题．
分析：A．我们知道：命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，同时注意“x=y=0”的否定是“x，y中至少有一个不为0”，据此可以判断出A的真假．
B．依据“命题：?x0∈R，结论p成立”，则￢p为：“?x∈R，结论p的反面成立”，可以判断出B 的真假．
C．由于，因此在△ABC中，sinA＞sinB?＞0?A＞B．由此可以判断出C是否正确．
D．由向量，可得的夹角，可以判断出D
是否正确．
解答：解：A．依据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，可知：命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”．可判断出A正确．
B．依据命题的否定法则：“命题：?x0∈R，﹣x0+1≤0”的否定应是“?x∈R，x2﹣x+1＞0”，故B 是真命题．
C．由于，在△ABC中，∵0＜A+B＜π，∴0，
∴，
又0＜B＜A＜π，∴0＜A﹣B＜π，∴，∴．
据以上可知：在△ABC中，sinA＞sinB?＞0?A＞B．故在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件．
因此C正确．
D．由向量，∴，∴的夹角
，
∴向量与的夹角不一定是钝角，亦可以为平角π，∴可以判断出D是错误的．
故答案是D．
点评：本题综合考查了四种命题之间的关系、命题的否定、三角形中的角大小与其相应的正弦值之间的大小关系、向量的夹角，解决问题的关键是熟练掌握其有关基础知识．
8. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点
，是它们的共同焦距，且它们的离心率互为倒数．是它们在第一象限的交点，当时，下列结论正确的是（）
A. B.C. D.
参考答案：
A
9. 设函数，则的值为（）A． B．2014 C．2013
D．0
参考答案：
A
10. 已知如右程序框图,则输出的值是
A． B． C．
D．
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，．若
，或，则m的取值范围是
___▲___．
参考答案：
略
12. 在等差数列中，若任意两个不等的正整数，都有，
，设数列的前项和为，若，则（结果用表示）。

参考答案：
13. 在数列｛
｝中，若
，则该数列的通项
=_______________
参考答案：
略
14. 下列程序执行后输出的结果是S ＝________. i ＝1 S ＝0
WHILE i<＝50 S ＝S ＋i i ＝i ＋1 WEND PRINT S END 参考答案：
1275
15. 定义在上的偶函数满足：，且在上
是增函数，下面是关于的判断：
（1）是周期函数； （2）在上是增函数； （3）
在
上是减函数； （4）
的图象关于直线
对称.
则正确的命题序号是 参考答案：
（1），（4）
16. 随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图4，这12位同学购书的平均费用是__________元.
参考答案：
17. 数列中，则
通项公式为
．
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共
72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系
中，直线的参数方程为： (为参数)，它与曲线
交于
，
两点．
(1) 求的长；
(2) 在以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点
的极坐标为，求点到
线段中点
的距离．
参考答案：
解：(1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得
设
，
对应的参数分别为
，则
．
所以．
(2)易得点在平面直角坐标系下的坐标为，根据中点坐标的性质可得中点对应的参数为．所以由的几何意义可得点到的距离为
．
略
19. 设p：实数x满足，其中；q：实数x满足.
（1）若，且为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
参考答案：
（1）实数的取值范围是；（2）实数的取值范围是.
试题分析：（1）化简命题p，q中的不等式，若p∨q为真，则p，q至少有1个为真，求出两个命题为真命题的范围，取并集即答案；
（2）记，，根据p是q必要不充分条件，即，从而得到a的不等式组，解之即可．
试题解析：
（1）由，得，又，所以，
当时，，即为真时实数的取值范围是.
为真时等价于，得，
即为真时实数的取值范围是.
若为真，则实数的取值范围是.
（2）是的必要不充分条件，等价于且，
设，，则；
则，所以实数的取值范围是. 20. （本小题共13分）
如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。

EF//AC，AB=,CE=EF=1（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF;
参考答案：
证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G。

因为EF∥AG,且EF=1，AG=AG=1
所以四边形AGEF为平行四边形
所以AF∥EG
因为EG平面BDE,AF平面BDE,
所以AF∥平面BDE
（Ⅱ）连接FG。

因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。

所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面
BDE.
21. 已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离
为。

⑴求椭圆的方程；⑵已知定点，若直线与椭圆交于两点，问：是否存在的值，使以为直径的圆过点？请说明理由。

参考答案：
解：（1）直线AB的方程为：bx-ay-ab=0，
依题意得解得：
∴椭圆方程为：
（2）假若存在这样的k值，
由得，
∴，①
设，则，②
而，
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，
即，
∴，③
将②式代入③整理，解得经验证，，使①成立；
综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E。

略
22. （12分）已知椭圆G的中心在平面直角坐标系的原点，离心率e=，右焦点与圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0的圆心重合．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）设F1、F2是椭圆G的左焦点和右焦点，过F2的直线l：x=my+1与椭圆G相交于A、B两点，请问△ABF1的内切圆M的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由圆的方程求出圆心坐标，可得椭圆半焦距c，结合离心率求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）画出图形，由题意可得，当最大时，△ABF1内切圆的面积也最大，联立直线方程和椭圆方程，求出A，B的坐标，代入三角形面积公式，然后利用换元法结合基本不等式求得最值．
【解答】解：（Ⅰ）圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0的圆心为（1，0）．
设椭圆G的方程，
则，得a=2．∴b2=a2﹣c2=22﹣1=3，
∴椭圆G的方程；
（Ⅱ）如图，设△ABF1内切圆M的半径为r，与直线l的切点为C，
则三角形△ABF1的面积等于△ABM的面积+△AF1M的面积+△BF1M的面积．
即=．当最大时，r也最大，△ABF1内切圆的面积也最大．
设A（x1，y1）、B（x2，y2）（y1＞0，y2＜0），
则．
由，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，
解得，．
∴．
令，则t≥1，且m2=t2﹣1，
有．
令，由f（t）在[1，+∞）上单调递增，得f（t）≥f（1）=4．
∴．即当t=1，m=0时，4r有最大值3，得，这时所求内切圆的面积为．
∴存在直线l：x=1，△ABF1的内切圆M的面积最大值为．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法和基本不等式求最值，是中档题．。