2021-2022学年湖南省永州市道县九年级(上)期末数学试卷(附详解)

2021-2022学年湖南省永州市道县九年级（上）期末数学
试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.一元二次方程2x2+3x=7的一般形式为()
A. 2x2−7=−3x
B. 2x2+3x+7=0
C. 2x2+3x−7=0
D. 2x2=7−3x
2.对于反比例函数y=2
，下列说法正确的是()
x
A. 图象经过点(1,−2)
B. 图象在二、四象限
C. 当x>0时，y随x的增大而增大
D. 当x<0时，y随x的增大而减小
3.如图，点P在反比例函数y=k
的图象上，PA⊥x轴于点A，
x
若△PAO的面积为4，那么k的值为()
A. 2
B. 4
C. 8
D. −4
4.某药品经过两次降价，每瓶零售价由128元降为108元，已知两次降价的百分率相
同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得()
A. 128(1+x)2=108
B. 128(1−x2)=108
C. 128(1+x2)=108
D. 128(1−x)2=108
5.若关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有实数根，则k的取值范围是()
A. k>−1
B. k≥−1
C. k>−1且k≠0
D. k≥−1且k≠0
6.下列说法正确的是()
A. 相似图形一定是位似图形
B. 一条线段的黄金分割点只有一个
C. 两个边数相同的正多边形是相似图形
D. 相似三角形对应角的平分线的比等于对应边上高的比的平方
7.如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，△BCF
的面积为4，则△DEF的面积为()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8. 如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比是1:√3(坡比是坡面的垂直高度BC 与水平宽度
AC 之比)，坝高
，则坡面AB 的长度是( )
A. 9m
B. 6m
C.
D.
9. 已知A 、B 两点的坐标分别为(−6,3)、(−12,8)，△ABO 与△A′B′O 是以原点O 为位似
中心的位似图形，若点A′的坐标为(2,−1)，则点B′的坐标为( )
A. (−4,8
3)
B. (−6,4)
C. (4,−8
3)
D. (6,−4)
10. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如
图．在Rt △ACB 中，∠C =90°，∠ABC =30°，延长CB 使BD =AB ，连接AD ，得∠D =15°，所以tan15°=AC
CD
=12+√
3
=2−√3(2+√3)(2−√3)
=2−√3.类比这种方法，计算
tan22.5°的值为( )
A. √2+1
B. √2−1
C. √2
D. 1
2
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分） 11. 已知2a =3b ，则a
b 的值为______． 12. 一元二次方程x 2−3x =0的根是______．
13. 已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a =3cm ，b =2cm ，c =6cm ，则d = ______
cm ．
14. 已知关于x 的一元二次方程(m +1)x 2−3x +m 2−1=0有一个根是0，则m 的值为
______．
15.已知一个三角形的两边长为3和4，若第三边长是方程x2−12x+35=0的一个根，
则第三条边是______．
16.如图，在△ABC中，DE//BC，AD=6，DB=3，AE=4，
则EC的长为______ ．
17.已知某实验区甲、乙品种水稻的平均产量相等．且甲、乙品种水稻产量的方差分别
为S甲2=79.6，S乙2=68.5.由此可知：在该地区______种水稻更具有推广价值．18.如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，选择下列条
件：①∠2=∠A；②∠1=∠CBA；③BC
AC =CD
AB
；④BC
AC
=
CD BC =DB
AB
中的一个，不能得出△ABC和△BCD相似的是：
______(填序号)．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）
19.计算：(√3−1)0+(−1)2021−√3tan30°−4sin260°．
20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D点，
若AD=1，BD=4，求CD的长．
21.为了庆祝“建党100周年”，道县某中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该
校德育处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)德育处一共随机抽取了______名学生的竞赛成绩；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)该校共有1400名学生，估计该校大约有多少名学生在这次竞赛中成绩优秀？22.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=m
的图象交于A(−2,1)、B(1,a)两点．
x
(1)分别求出反比例函数与一次函数的关系式；
(2)观察图象，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．
23.某店只销售某种进价为40元/kg的特产．已知该店按60元/kg出售时，平均每天可
售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10kg.若该店销售这种特产计划平均每天获利2240元．
(1)每千克该特产应降价多少元？
(2)为尽可能让利于顾客，则该店应按原售价的几折出售？
24.为缅怀北宋著名哲学家、宋明理学的开山鼻祖周敦颐(1017−1073)，弘扬道州优
秀的传统文化，道州人民在敦颐广场塑了一座周敦颐铜像．小聪为了测量铜像的高度，如图，先在敦颐广场的地面E处用高为1.51米的测角仪AE，测得塔顶C的仰角为30°，再向塔身前进10米到达H处，又测得塔顶C的仰角为60°，请你计算出铜像的高度CF.(√3≈1.732，结果精确到0.01m)
25.如图，将矩形纸片ABCD(AD>DC)的点A沿着过点D的直线折
叠，使点A落在BC边上，落点为E，折痕交AB边于点F．
(1)若BE=1，EC=2，则sin∠EDC=______；
(2)若BE：EC=1：4，CD=9，求BF的长；
(3)若BE：EC=m：n，求AF：FB(用含有m、n的代数式表示)．
26.已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点(不
与B，C点重合)，∠ADE=45°．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；
(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：方程2x2+3x=7，
移项得：2x2+3x−7=0．
故选：C．
方程移项，整理为一般形式即可．
此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0(其中a，b，c为常数且a≠0)．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了反比例函数的性质，根据解析式确定函数的性质是解题关键．根据反比例函数的性质得出函数增减性以及所在象限和经过的点的特点分别分析得出即可．【解答】
解：A、∵反比例函数y=2
x
，∴xy=2，故图象经过点(1,2)，故此选项错误；
B、∵k>0，∴图象在第一、三象限，故此选项错误；
C、∵k>0，∴x>0时，y随x的增大而减小，故此选项错误；
D、∵k>0，∴x<0时，y随x增大而减小，故此选项正确．
故选：D．
3.【答案】C
【解析】解：∵S△PAO=4，
∴1
2|x⋅y|=4，即1
2
|k|=4，则|k|=8，
∵图象经过第一、三象限，∴k>0，
∴k=8，
故选：C．
|k|=4，再结合图象经过的是第一、三象限，从而可以确定k 由△PAO的面积为4可得1
2
值．
本题主要考查了反比例函数y=k
中k的几何意义，解题的关键是要明确过双曲线上任意
x
|k|．
一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为1
2
4.【答案】D
【解析】解：依题意得：128(1−x)2=108．
故选：D．
利用该药品经过两次降价后的价格=原价×(1−每次降价的百分率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵△=b2−4ac=22−4×k×(−1)≥0，
解上式得，k≥−1，
∵二次项系数k≠0，
∴k≥−1且k≠0．
故选：D．
方程有实数根，则根的判别式△≥0，且二次项系数不为零．
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
6.【答案】C
【解析】解：A、位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，本选项说法错误，不符合题意；
B、一条线段的黄金分割点有两个，本选项说法错误，不符合题意；
C、两个边数相同的正多边形是相似图形，本选项说法正确，符合题意；
D、相似三角形对应角的平分线的比等于对应边上高的比，本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
根据位似图形的概念、黄金分割的概念、相似多边形的判定、相似三角形的性质判断即可．
本题考查的是位似图形的概念、黄金分割的概念、相似多边形的判定、相似三角形的性质，掌握相关的概念和性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴△DEF∽△BCF，
∵E为AD的中点，
AD，
∴DE=1
2
∴DE：BC=1：2，
∴S△DEF：S△BCF=1：4，
∵△BCF的面积为4，
∴△DEF的面积为1．
故选：A．
由四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC，AD=BC，即可证得△DEF∽△BCF，又由E为AD的中点，△BCF的面积为4，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△DEF的面积．
此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查坡度坡角问题，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，解直角三角形即可求出斜面
AB 的长．
【解答】
解：在Rt △ABC 中，BC =3m ，tanA =1：√3； ，
∴AB =√32+(3√3)2=6m ．
故选B ．
9.【答案】C
【解析】解：∵△ABO 与△A′B′O 是以原点O 为位似中心的位似图形，点A 的坐标为(−6,3)、
点A′的坐标为(2,−1)，
∴△ABO 与△A′B′O 的相似比为1
3，且两个三角形在不同象限，
∵点B 的坐标为(−12,8)，
∴点B′的坐标为(−12×(−13),8×(−13))，即点B′的坐标为(4,−83)，
故选：C ．
根据题意求出△ABO 与△A′B′O 的相似比，根据位似变换的性质计算即可．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ．
10.【答案】B
【解析】解：在Rt △ACB 中，∠C =90°，∠ABC =45°，延长CB 使BD =AB ，连接AD ，得∠D =22.5°，
设AC =BC =1，则AB =BD =√2，
∴tan22.5°=AC CD =1+
√2=√2−1，
故选：B ．
在Rt △ACB 中，∠C =90°，∠ABC =45°，延长CB 使BD =AB ，连接AD ，得∠D =22.5°，
设AC =BC =1，则AB =BD =√2，根据tan22.5°=AC CD 计算即可．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角，属于中考常考题型．
11.【答案】3
2
【解析】解：∵2a=3b，
∴a
b =3
2
，
故答案为：3
2
．
根据比例的基本性质进行计算即可．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
12.【答案】x1=0，x2=3
【解析】解：x2−3x=0，
x(x−3)=0，
∴x1=0，x2=3．
故答案为：x1=0，x2=3．
首先利用提取公因式法分解因式，由此即可求出方程的解．
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键会进行因式分解．
13.【答案】4
【解析】解；已知a，b，c，d是成比例线段，
根据比例线段的定义得：ad=cb，
代入a=3，b=2，c=6，
解得：d=4，
则d=4cm．
故答案为：4
如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad=cb，将a，b及c的值代入即可求得d．
本题主要考查比例线段的定义．要注意考虑问题要全面．
14.【答案】1
【解析】解：把x=0代入方程(m+1)x2−3x+m2−1=0得m2−1=0，
解得m1=1，m2=−1，
根据一元二次方程的定义得：m+1≠0，
所以m=1．
故答案为1．
先把x=0代入方程得到m2+m=0，然后解关于m的方程，再利用一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15.【答案】5
【解析】解：x2−12x+35=0，
(x−5)(x−7)=0，
x−5=0或x−7=0，
所以x1=5，x2=7，
当三角形第三边为7时，因为3+4=7不符合三角形三边的关系，
所以三角形第三边为5．
故答案为：5．
先利用因式分解法解方程得到x1=5，x2=7，然后根据三角形三边的关系确定第三边的长．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．
16.【答案】2
【解析】解：∵DE//BC ，
∴AD DB
=AE EC ， ∴63=4CE ，
∴CE =2．
故答案为：2．
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键．
17.【答案】乙
【解析】解：根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，
∵68.5<79.6，
∴S 乙2<S 甲2，
即乙种水稻的产量稳定，
∴产量稳定，适合推广的品种为乙种水稻．
故答案为：乙
首先根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，然后比较出它们的方差的大小，再根据方差越小，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，判断出产量稳定，适合推广的品种为哪种即可．
此题主要考查了方差的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
18.【答案】③
【解析】解：①当∠2=∠A ，∠C =∠C 时，△ABC∽△BDC ，故①不符合题意； ②当∠1=∠CBA ，∠C =∠C 时，△ABC∽△BDC ，故②不符合题意；
③当BC AC =CD AB ，∠C =∠C 时，不能推出△ABC∽△BDC ，故③符合题意；
④当BC AC =CD BC =DB AB ，∠C =∠C 时，△ABC∽△BDC ，故④不符合题意；
故答案为：③．
根据相似三角形的判定定理可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
19.【答案】解：(√3−1)0+(−1)2021−√3tan30°−4sin260°
=1+(−1)−√3×√3
3−4×(√3
2
)2
=1−1−1−3
=−4．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴AD
CD =CD
BD
，即1
CD
=CD
4
，
解得：CD=2．
【解析】根据同角的余角相等得到∠ACD=∠B，证明△ACD∽△CBD，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
21.【答案】40
【解析】解：(1)德育处一共随机抽取的学生人数为：16÷40%=40(名)，
故答案为：40；
(2)在条形统计图中，成绩“一般”的学生人数为：40−10−16−2=12(名)， 把条形统计图补充完整如下：
(3)1400×1040=350(名)，
即估计该校大约有350名学生在这次竞赛中成绩优秀．
(1)由成绩“良好”的学生人数除以所占百分比求出德育处一共随机抽取的学生人数，即可解决问题；
(2)把条形统计图补充完整即可；
(3)由该校共有学生人数乘以在这次竞赛中成绩优秀的学生所占的比例即可．
本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体的思想等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)∵反比例函数y =m x 的图象过点A(−2,1)，
∴m =−2×1=−2，
∴反比例函数为y =−2x ，
∵B(1,a)在反比例函数y =−2x 图象上，
∴a =−21=−2，
∴B(1,−2)，
把A 、B 代入y =kx +b 得{−2k +b =1k +b =−2
， 解得{k =−1b =−1
， ∴一次函数的解析式为y =−x −1．
(2)∵A(−2,1)，B(1,−2)，
观察图象可知，当−2<x<0或x>1时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，∴当反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围−2<x<0或x>1．
【解析】(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出m，即可得到反比例函数的解析式，把B(−1,n)代入即可求得n，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式．(2)根据A、B的横坐标结合图象即可得出答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式，函数的图象的应用，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力，用了数形结合思想．
23.【答案】(1)解：设每千克山药应降价x元，
根据题意，得：(60−x−40)(100+10x)=2240，
解得：x1=4，x2=6，
答：每千克山药应降价4元或6元；
(2)由(1)可知每千克山药可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克山药应降价6元．
此时，售价为：60−6=54(元)，
54
×100%=90%．
60
答：该店应按原售价的九折出售．
【解析】(1)设每千克山药应降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；
(2)为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
24.【答案】解：由题意得：∠CAB=30°，∠CBD=60°，AB=10m，DF=AE=1.51m，∵∠CBD=∠CAB+∠ACB，
∴∠ACB=∠CAB=30°，
∴BC=AB=10，
，
在Rt△CBD中，sin∠CBD=CD
BC
=5√3(m)，
∴CD=BC⋅sin60°=10×√3
2
∴CF=CD+DF=5√3+1.51≈5×1.732+1.51≈10.71(m)，
答：铜像的高度CF约10.71m．
【解析】首先证明AB=BC=10，在Rt△BCD中，求出CD即可解决问题．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
25.【答案】2
3
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=BE+CE=3，∠C=90°，
∵将矩形纸片ABCD(AD>DC)的点A沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为E，
∴DE=AD=3，
∴sin∠EDC=CE
DE =2
3
；
故答案为：2
3
；
(2)解：∵BE：EC=1：4，CD=9，设BE=x，则EC=4x，BC=5x，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=5x，
由翻折得DE=AD=5x，
∴DC=√DE2−CE2=3x=9，
解得：x=3，
∴CE=12，BE=3，
∵△FEB∽△EDC，
∴FB
EC =BE
DC
，
∴BF=3
9
×12=4；(3)解：∵△FEB∽△EDC，
∴EF
FB =DE
EC
，
∵BE：EC=m：n，
设BE =mk ，EC =nk ，
则DE =AD =BC =(m +n)k ， ∴EF FB =DE EC =(m+n)k nk =m+n n ， 由翻折得，AF =EF ，
∴AF FB =m+n
n ．
(1)根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论；
(2)根据矩形的性质和相似三角形的性质解答即可；
(3)根据相似三角形的判定和性质解答即可．
此题考查了翻折变换(折叠问题)，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
26.【答案】(1)证明：
∵∠BAC =90°，AB =AC
∴∠B =∠C =∠ADE =45°
∵∠ADC =∠B +∠BAD =∠ADE +∠CDE
∴∠BAD =∠CDE
∴△ABD∽△DCE ；
(2)由(1)得△ABD∽△DCE ，
∴BD
EC =AB
CD ，
∵∠BAC =90°，AB =AC =1，
∴BC =√2，CD =√2−x ，EC =1−y ，
∴x 1−y =1
√2−x ，
∴y =x 2−√2x +1=(x −
√22)2+1
2； (3)当AD =DE 时，△ABD≌△DCE ，
∴BD =CE ，
∴x =1−y ，即√2x −x 2=x ，
∵x ≠0，
∴等式左右两边同时除以x 得：x =√2−1
∴AE=1−x=2−√2，
当AE=DE时，DE⊥AC，此时D是BC中点，E也是AC的中点，
；
所以，AE=1
2
当AD=AE时，∠DAE=90°，D与B重合，不合题意；
综上，在AC上存在点E，使△ADE是等腰三角形，
AE的长为2−√2或1
．
2
【解析】本题考查相似三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
(1)根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证△ABD∽△DCE．
(2)由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式；
(3)当△ADE是等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分AD=DE，AE= DE，AD=AE三种情况讨论求出满足题意的AE的长即可．。