2019届内蒙古鄂尔多斯西部四旗高三上学期期末联考数学(理)试题(解析版)

2019届内蒙古鄂尔多斯西部四旗高三上学期期末联考数学
（理）试题
一、单选题
1．已知集合(){}20A x x x =->，{}
21x
B x =<，则A B ⋂=（ ）
A ．()0,1
B ．(],0-∞
C ．(),0-∞
D ．()1,+∞
【答案】C
【解析】解一元二次不等式可得集合A ，求解指数不等式可得集合B ，再根据集合的交运算，即可求得结果. 【详解】
易知{
0A x x =<或}2x >，{}
0B x x =<， 则{}
0A B x x ⋂=<. 故选：C. 【点睛】
本题考查集合的交运算，涉及一元二次不等式的求解，以及指数不等式的求解，属综合基础题.
2．复数1-z i =，z 为z 的共轭复数，则z
iz i
+=（ ） A ．2 B ．-2
C ．2i
D ．﹣2i
【答案】A
【解析】把已知代入z
iz i
+，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】
解：1z i =-Q ，1z i ∴=+， 则
2
1(1)()(1)1112z i i i iz i i i i i i i i ++-+=+-=++=-++=-． 故选：A ． 【点睛】
本题考查复数的运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的乘除法法则是解题关键． 3．甲、乙两名学生在之前五次物理测试中成绩的茎叶图，如图，（ ）
①甲的平均成绩低，方差较大 ②甲的平均成绩低，方差较小 ③乙的平均成绩高，方差较大 ④乙的平均成绩高，方差较小 A ．①④ B ．②③
C ．①③
D ．③④
【答案】A
【解析】根据茎叶图所给的两组数据,分别算出甲和乙的平均数和方差,即可选出正确选项. 【详解】 解:由茎叶图知,
甲的平均数是6372768396
785
x ++++==甲;
乙的平均数是6972798897
815
x ++++=
=乙 甲的方差为
()()()()()222222
163787278767883789678122.85s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-=⎣
⎦甲
乙的方差为
()()()()()222222
169817281798188819781106.85s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-=⎣
⎦乙
故正确的说法为①④； 故选:A. 【点睛】
本题考查了平均数、方差的求法,考查了茎叶图.本题的易错点有两个,一是不能正确地由茎叶图得到原始数据,二是计算上出现问题.
4．已知双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，过点(2,2)，且渐近线方程为2y x ±＝，则该双曲线的方程为（ ）
A ．2
2
12
y x -=
B ．22
42x y -=
C ．2
2
14
y x -=
D ．22
21x y -=
【答案】C
【解析】首先根据条件中的渐近线方程,可设双曲线方程为22
4x y λ-=,0λ≠,把点的坐标代入即可求出结果. 【详解】
解：Q 渐近线方程为20x y ±＝,设双曲线方程为2
2
4x y λ-=,0λ≠
将(2,2)P 的坐标代入方程得
,224(2)2λ-=,求得4λ＝
则该双曲线的方程为2
2
14
y x -=.
故选:C. 【点睛】
本题考查了双曲线的方程及性质.若已知双曲线渐近线为0Ax By ±= 求双曲线的方程
时,则根据焦点的位置,设出双曲线方程为2222
,0A x B y λλ-=≠,代入已知条件即可求
解.
5．已知,x y 满足不等式组330,60,220,x y x y x y -+⎧⎪
+-≤⎨⎪+->⎩
…
,则32z x
y ＝﹣的最小值为（ ） A ．
94
B ．94
-
C ．2
D ．-2
【答案】D
【解析】由约束条件作出可行域,目标函数变形为322
z
y x =-，通过数形结合可得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案. 【详解】
解:由约束条件330
60220x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪+-≥⎩
作出可行域如图
化目标函数32z x
y ＝﹣为322
z
y x =- 由图可知，当直线322
z
y x =-过()0,1A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最小值为-2. 故选:D. 【点睛】
本题考查线性规划求最值问题.此类题的解答思路为:根据已知约束条件,画出可行域;将目标函数整理成直线的斜截式,结合目标函数的几何意义,通过平移直线,找到最优解,将最优解的坐标代入目标函数中即可求出最值.注意可行域的边界线的虚实问题.
6．若非零向量a r ，b r 满足|||b a =r r ，且()(32)a b a b +⊥-r r r r
，则a r 与b r 的夹角为
（ ） A ．
4
π B ．
2
π C ．
23
π D ．
34
π 【答案】A
【解析】由()(32)a b a b +⊥-r
r
r r
得到这两个向量数量积为0，即
22()(32)320a b a b a a b b +⋅-=+⋅-=r r r
r r r r r ,将|||b a =r r 代入式子中,结合数量积的公
式化简即可得到夹角的大小. 【详解】
解:非零向量a r ,b r 满足|||b a =r
r ,且()(32)a b a b +⊥-r r r r
则
2222()(32)323cos ,20a a b a b a a b a a b b b b =+-+⋅-=+⋅-=r r
r r r r r r r r r r r r ,
|||b a =r r Q .整理得cos ,2
a b =
r
r ,又[0,]θπ∈ 所以a,b 4π
=r r ,即a r 与b r 的夹角为4
π.
故选:A. 【点睛】
本题考查了向量的垂直应用,考查了向量的数量积.在向量类的问题中,若已知两个向量垂直,则一般情况下我们即可得到二者的数量积为0.若题目中已知向量的坐标,则接下来代入向量坐标进行化简求值;若未已知向量坐标,则一般情况下,按向量数量积的定义对
式子进行化简.
7．如图所示的程序框图，若输入10m =，则输出的S 值为（ ）
A ．10
B ．21
C ．33
D ．47
【答案】C
【解析】根据所给流程图，按流程图运算，即可求得答案. 【详解】
执行程序框图，可得10m =，10k =，0S =， 不满足条件2k m >+，10S =，11k =， 不满足条件2k m >+，21S =，12k =， 不满足条件2k m >+，33S =，13k =， 满足条件2k m >+，退出循环，输出S 的值为33. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了根据流程图求输出结果，解题关键是掌握流程图基础知识，考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
163
B ．
203
C ．
169
D ．
209
【答案】B
【解析】分析：由给定的三视图得该几何体表示左侧是一个以边长为2的正方形为底面，高为2的四棱锥，右侧为一个值三棱柱，其底面如俯视图所示，高为2的直三棱柱，即可求解其体积．
详解：由给定的三视图可知，
该几何体表示左侧是一个以边长为2的正方形为底面，高为2的四棱锥， 其体积为118
22233V =
⨯⨯⨯=； 右侧为一个值三棱柱，其底面如俯视图所示，高为2的直三棱柱， 其体积为21
22242
V =
⨯⨯⨯=， 所以该几何体的体积为12820433
V V V =+=
+=，故选B ． 点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解． 9．已知函数()f x 是奇函数，且0x ≥时，()2x f x x a ++＝，2log ,1
()(),1x x g x f x x >⎧=⎨<⎩
，
若函数()2y g x x b +＝-有2个零点，则b 的取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．[)2,4
C ．(,4]-∞
D ．[4,)+∞
【答案】B
【解析】根据定义在R 上的奇函数的性质,(0)0f =,可求出a 的值;函数
()2y g x x b =+-有2个零点等价于函数()2y g x x =+的图象与直线y b ＝有两个交
点,数形结合,由图即可求出b 的取值范围. 【详解】
解:因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数,所以(0)0f =
即0200a ++=,解得1a ＝-.因为函数()2y g x x b =+-有2个零点 所以函数()2y g x x =+的图象与直线y b ＝有两个交点,
令22,1()2231,1
x
log x x x y g x x x x +⎧=+=⎨+-<⎩…
.
2log ,2,2,31x y x y x y y x ====-Q 均在其定义域上单调递增,
2log 2y x x ∴=+ 在[)1,+∞ 单调递增,231x y x =+- 在(),1-∞ 上单调递增.
作出其大致图象,由图可知,24b ≤＜
.
故选:B. 【点睛】
本题考查了奇函数性质,考查了分段函数,考查了函数的零点,考查了函数的单调性.对于考查奇偶性类的题目,若证明函数的奇偶性,一般根据定义来证明;若已知奇偶性求参数的值,一般是代入特殊值进行求解.若函数()()()f x g x h x =+,其中(),()g x h x 均为增函数(减函数),则()f x 也为增函数(减函数);若()()()f x g x h x =-,其中()g x 为增函数,()h x 为减函数,则()f x 为增函数; 若()()()f x g x h x =-,其中()g x 为减函数,()h x 为增函数,则()f x 为减函数.
10．设O 为坐标原点，M 为圆22(3)(1)2x y -+-=的圆心，且圆上有一点()
00,C x y 满足0OC CM ⋅=u u u r u u u u r
，则00
y x =（ ） A ．1或﹣7 B ．﹣1或7
C ．
1
7
或﹣1 D ．1或17
-
【答案】D
【解析】利用0OC CM ⋅=u u u r u u u u r
可知OC CM ⊥，即OC 是圆M 的切线，2
21k
=+由此即可求解． 【详解】
解：0OC CM ⋅=u u u r u u u u r
Q ，OC CM ∴⊥；
∴OC 是圆M 的切线，设直线:OC y kx =，
1k =或17
k =-
． 故选：D ． 【点睛】
本题考查直线与圆相切问题，考查向量的数量积与垂直的关系．由圆心到切线的距离等于圆半径是解决圆切线问题的常用方法． 11．已知函数1
()sin (0)62f x x πωω⎛⎫=+
+> ⎪⎝
⎭，x ∈R ，且1
(2)f α=-，1()2
f β=.若||αβ-的最小值为
4
π
，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A ．2,2()63k k k ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦Z
B ．,()3
6k k k π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
Z
C ．42,2()63k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦ D ．,(Z)63k kx k πππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦ 【答案】B
【解析】由||α
β﹣的最小值为4
π
可求出周期为π,进而可求ω 的值,得到函数解析式后, 令222()2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
++
<+
∈„,即可求出增区间.
【详解】
解:因为函数1
(2)f α=-
,1()2f β=且||α
β﹣的最小值为4
π, 所以2T π
πω
==
,解得2ω＝.所以1
()sin 262
f x x π⎛
⎫=+
+ ⎪⎝
⎭ 令222()2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
++
<+
∈„,解得k x k (Z)3
6
k π
π
ππ-
++
∈剟
所以函数的单调递增区间为:k ,k (Z)3
6k π
πππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
故选:B. 【点睛】
本题考查了三角函数的图像性质,考查了三角函数单调性的求解.对于
()sin()f x A x ωϕ=+ 求单调区间时,若0A ω⋅>,令
22,2
2
k x k k Z π
π
πωϕπ-
+≤+≤
+∈,可求增区间; 令
322,22
k x k k Z π
π
πωϕπ+≤+≤
+∈,可求减区间. 若0A ω⋅<,令22,2
2
k x k k Z π
π
πωϕπ-
+≤+≤
+∈,可求减区间; 令
322,2
2
k x k k Z π
π
πωϕπ+≤+≤
+∈,可求增区间. 12．已知R x ∀∈有(
)()2
()2()23x x
f x f x e e x
--+=+-，若函数()f x 在(,1)m m +上
是增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[1,2]- B ．[2,)+∞
C ．[0,)+∞
D ．(,1][2,)-∞-+∞U
【答案】A
【解析】利用(
)()2
()2()23x x
f x f x e e
x
--+=+-，可以得出
()()2()2()23x x f x f x e e x -+-=+-，联立可以解出()f x 的解析式，再利用导数求出
其单调性即可求解； 【详解】
解：(
)()2
()2()23x x
f x f x e e
x
--+=+-Q ，
()()2()2()23x x f x f x e e x -∴+-=+-； 23
()x
x f x e
∴-=，(3)(1)()x x x f x e --+'∴=； 令()0f x '≥，则13x -≤≤；
()f x ∴的单调递增区间为[1,3]-，
1
13
m m ≥-⎧∴⎨+≤⎩；12m ∴-≤≤. 故选：A ． 【点睛】
本题考查求函数解析式，考查导数与单调性的关系．解题时需要掌握方程组法求解析式
的方法．
二、填空题
13．6
22a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，3x 的系数为192，则a =________． 【答案】1.
【解析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出3x 的系数，再根据3x 的系数为192，求得a 的值． 【详解】
解：6
22a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，通项公式为.66266316(2)()2r r r r
r r r r a C T C a x x x --+-=⋅=⋅，
令633r -=，求得1r =，故3x 的系数为562192a ⨯⋅=，则1a =， 故答案为：1． 【点睛】
本题考查二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题关键． 14．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
sin sin sin sin B A c
B C a b
-=-+则
sin 6A π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭________．
【答案】
12
． 【解析】已知条件用正弦定理化角为边，再由余弦定理可求A ，然后代入即可求解． 【详解】 解：sin sin sin sin B A c B C a b -=-+Q
，由正弦定理可得，b a c
b c a b
-=-+，
整理可得，222b c a bc +-=，由余弦定理可得，1
cos 2
A =， 0A π<<Q ，13A π∴=
，则1sin sin 662A ππ⎛
⎫-== ⎪⎝
⎭．
故答案为：1
2
. 【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理，解题关键是掌握正弦定理进行边角转换．
15．已知三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心O 在AB 上，且二面角P ﹣AB ﹣C 的大小为
120°，若三棱锥P ﹣ABC 的体积为43
3
，PA PB AC BC ===，则球O 的表面积为________． 【答案】16π.
【解析】取AB 中点O 即球心，利用等腰三角形常作辅助线能够证明AB ⊥平面POC 同时得出二面角的平面角，利用棱锥体积公式进行求解求出球半径． 【详解】
解：设球半径为r ，则OA OB OC OP r ====，所以O 是AB 的中点，
因为,PA PB =AC BC =，所以OP AB ⊥，OC AB ⊥，所以AB ⊥平面OPC ，POC ∠为二面角P AB C --的平面角，POC ∠=120°， 所以体积211143sin12023323POC V S AB r r ∆⎛⎫
=
⋅⋅=⋅⋅⋅︒⋅=
⎪⎝⎭
，所以2r =， 所以球的表面积2416S r ππ==． 故答案为：16π． 【点睛】
本题考查求球的表面积，考查棱锥的体积公式和二面角．解题中利用等腰三角形性质证得线面垂直，找到二面角的平面角，使问题得到解决．
16．已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：22y x =的焦点，直线l ：()21y m x =-与抛物线C 交于A ，B 两点，点A 在第一象限，若2AF BF =，则m 的值为______. 2
【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，利用焦半径的公式代入2AF BF =，并与抛物线方程联立，求得点,A B 的坐标，再代入斜率公式求得m 的值. 【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 过抛物线C 的焦点1,02F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
∵2AF BF =，2AF FB ∴=u u u r u u u r
，所以1211222x x ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
，122y y =-， ∴123
22
x x =
-， 由2
112y x =，2222y x =得22222
24342y x y x ⎧=-⎨=⎩，
∴214x =
，2
212y =
，22
y =-，
∴0221124
m +
=
=-
m =.
【点睛】
本题考查抛物线的焦半径、直线与抛物线的位置关系、斜率公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意焦半径公式的运用.
三、解答题
17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24220a a -=，3128S a -=． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）当n 为何值时，数列{}n a 的前n 项和最大？
【答案】（1）203n a n =-；（2）当6n =时，数列{}n a 的前n 项和最大． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由24220,a a -=3128S a -=． 利用通项公式可得()()112320a d a d +-+=，113328a d a +-=，解方程组即得． （2）令0n a ≥，解得n ． 【详解】
解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，24220,a a -=Q 3128S a -=．
()()112320,a d a d ∴+-+=113328a d a +-=，
联立解得：117,a =3d =-．
173(1)203n a n n ∴=--=-．
（2）令2030n a n =-≥，解得203
n ≤
． ∴当6n =时，数列{}n a 的前n 项和最大．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和的最值．解题方法是基本量法，对前n 项和的最大值问题，可通过解不等式0n a ≥确定n 值．
18．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的菱形，且BC BD =，1DD ⊥平面ABCD ，11AA =，BE CD ⊥于点E ，点F 是11A B 的中点.
（1）求证：//AF 平面1BEC ；
（2）求平面ADF 和平面1BEC 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（242
【解析】（1）取AB 中点为G ，求证四边形11B C EG 为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；
（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，通过求解两平面法向量之间夹角的余弦值，从而求得二面角夹角的余弦值. 【详解】
（1）证明：∵BC BD =，BE CD ⊥，∴E 是CD 中点， 取AB 中点G ，连1B G ，GE ，如下图所示：
则在菱形ABCD 中，EG BC =，EG //BC
∵11BC B C =，BC //11B C ，∴11B C GE =，11B C //GE ， ∴四边形11B C EG 为平行四边形，∴1C E //1B G ，
又1B F AG =，1B F //AG ，∴四边形1B GAF 为平行四边形， ∴AF //1B G ，∴AF //1C E ，
又AF ⊄平面1BEC ，1C E ⊂平面1BEC ， ∴AF //平面1BEC .即证.
（2）以D 为原点，以1,,DC DG DD 分别为,,x y z 建立如图所示的空间的直角坐标系
.
因为已知该四棱柱为直四棱柱，BC BD =，BC CD =， 所以BCD ∆为等边三角形.
因为BE CD ⊥，所以点E 是CD 的中点.
故点()0,0,0D ，()
3,0A -，()10,0,1D ，()1,0,0E ，
()13,1A -，()13,1B ，()
3,1F .
设平面ADF 的法向量为a r
(),,x y z =，DA
u u u r ()3,0=-，DF u u u r ()
3,1=. 由00a DA a DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r 得30,
30,
x z ⎧-+=⎪+= 取1y =，得3x =3z =
故a r
(
)
3,1,3=
-.
∵1D E u u u u r ()1,0,1=-，BE u u u r
()
0,3,0=-，1C E FA =u u u u r u u u r ()1,0,1=--，
∴1110D E BE D E C E ⋅=⋅=u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ，∴1D E u u u u r
是平面1BEC 的法向量，
设平面ADF 和平面1BEC 所成锐角为θ，
则112342
72a D E cos D E a
θ⋅===⨯u u u u r r u u u u r r . 即平面ADF 和平面1BEC 所成锐角的余弦值为42
. 【点睛】
本题考查由线线平行推证线面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合性中档题.
19．某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图：
（1）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；
（2）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表： 等级
一等品
二等品
三等品
重量（g ） [165,185] [155,165) [145,155)
【答案】（1）610；（2）分布列见解析，(X) 1.2E =．
【解析】（1）由频率分布直方图先求出每条海鱼平均重量，由此能估计这批海鱼有多少条．
（2）从这批海鱼中随机抽取3条，[155,165)的频率为0.04100.4⨯=，则
~(3,0.4)X B ，由此能求出X 的分布列和数学期望．
【详解】
解：（1）由频率分布直方图得每条海鱼平均重量为：
1500.016101600.040101700.032101800.01210164()x g =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，
Q 经销商购进这批海鱼100千克，
∴估计这批海鱼有：(1001000)164610⨯÷≈（条）．
（2）从这批海鱼中随机抽取3条，[155,165)的频率为0.04100.4⨯=， 则~(3,0,4)X B
，033(0)(0.6)0.216P X C ===，
123(1)(0.4)(0.6)0.432P X C ===，
223(2)(0.4)(0.6)0.288P X C ===，
333(3)(0.4)0.064P X C ===，
∴X 的分布列为：
(X)30.4 1.2E ∴=⨯=．
【点睛】
本题考查频率分布直方图，考查由频率分布直方图计算期望，考查二项分布的分布列和期望．掌握二项分布的分布列与期望公式是解题关键．
20．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，焦距为2c ，直线
0bx y -+=过椭圆的C 左焦点.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线20bx y c -+=与y 轴交于点,,P A B 是椭圆C 上的两个动点,APB ∠的平
分线在y 轴上,PA PB ≠.试判断直线AB 是否过定点，若过定点，求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)22
184
x y +=;(2)过定点(0,1)
【解析】(1)
因为直线0bx y -+=过椭圆的左焦点,故令0y ＝,
得x c b
=-
=-,
又因为离心率为2
,从而求出2b ＝,又因为222a b c =+,求出a 的值,从而求出椭圆C 的标准方程;
(2)先求出点P 的坐标,设直线AB 的方程为y kx m +＝,联立方程组,利用根与系数的关系,设()11,A x y ,()22,B x y ,得到122
8(1)
4
k m k k m -+=
-,又因为APB ∠的平分线在y 轴上,所以120k k +=,从而求出m 的值,得到直线AB 的方程为1y kx ＝+过定点坐标. 【详解】
解:(1)
因为直线0bx y -+=过椭圆的左焦点,故令0y ＝,
得x c ==-，
2
c a b ∴
==
,解得2b ＝.又2222
212a b c b a =+=+Q ,
解得a =∴椭圆C 的标准方程为:22
184
x y +=.
(2)由(1)
得22
c a =
=,∴直线20bx y c -+=的方程为240x y -+= 令0x ＝得,4y ＝
,即(0,4)P .设直线AB 的方程为y kx m =+ 联立方程组22
184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得,()222
214280k x kmx m +++-= 设()11,A x y ,()22,B x y ,∴122
421km x x k +=-+,2122
28
21
m x x k -=+ 则直线PA 、PB 的斜率111144y m k k x x --=
=+, 2222
44y m k k x x --==+
所以()
121222
12
(4)(4)(4)8(1)
22284m x x m km k m k k k k x x m m -+---+=+
=+
=-- APB ∠Q 的平分线在y 轴上,120k k ∴+=,即
2
8(1)
04
k m m -=- 又PA PB ≠,0k ∴≠,1m ∴＝.
即直线AB 的方程为1y kx ＝+,过定点(0,1). 【点睛】
本题考查了椭圆的方程,考查了直线与椭圆的位置关系.求椭圆方程时,经常会用到
222c a b =-,这里易错点就是和双曲线的222c a b =+ 进行混淆.求解直线和圆锥曲线
问题时,一般要设出直线方程,与圆锥曲线方程进行联立,消元后韦达定理得到交点坐标的关系,再根据具体的题目往下做.
21．已知a 是实常数，函数2()ln f x x x ax =+．
（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线过点A （0，﹣2），求实数a 的值； （2）若()f x 有两个极值点12,x x （12x x <）， ①求证：1
02
a -
<<； ②求证：211()()2
f x f x >>-
． 【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.
【解析】试题分析：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．第一问，求出()f x 的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点（0，﹣2），即可解得a ；第二问，①依题意：()0f x '=有两个不等实根12,x x （12x x <），设()ln 21g x x ax =++，求出导数，讨论当a≥0时，当a ＜0时，求得函数g （x ）的单调性，令极大值大于0，解不等式即可得证；②由①知：()f x ，()f x '变化，求得()f x 的增区间，通过导数，判断1(0,1)x ∈，设1
()(ln )2
h x x x x =-（0＜x ＜1），求得h （x ）的单调性，即可得证．
试题解析：（1）由已知可得，()ln 12f x x ax =++'（x ＞0），切点(1,)P a ， ()f x 在x=1处的切线斜率为12k a =+，
切线方程：(21)(1)y a a x -=+-，
把(0,2)-代入得：a=1；
（2）证明：①依题意：()0f x '=有两个不等实根12,x x （12x x <）， 设()ln 21g x x ax =++则：
（x ＞0）
当a≥0时，有()0g x '>，所以()g x 是增函数，不符合题意； 当a ＜0时：由()0g x '=得：1
02x a
=->， 列表如下：
依题意：11()ln()022g a a -
=->，解得：1
02a -<<， 综上可得，1
02
a -<<得证；
②由①知：()f x ，()f x '变化如下：
由表可知：()f x 在[x 1，x 2]上为增函数，所以：21()()f x f x > 又(1)(1)120f g a ==+>'，故1(0,1)x ∈，
由（1）知：111ln 2x ax --=
，2
11111111()ln (ln )2
f x x x ax x x x =+=-（101x <<） 设1()(ln )2h x x x x =-（01x <<），则1
()ln 02
h x x '=<成立，所以()h x 单调递减，
故：1()(1)2h x h >=-，也就是11
()2
f x >-,
综上所证：211
()()2
f x f x >>-成立．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．
22．在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,椭圆C 以极坐标系中的点()0,0为中心、点()1,0为焦点、
)
2,0为一个顶点.直线l 的参数方
程是12x t
y t
=-⎧⎨
=⎩,（t 为参数）. （1）求椭圆C 的极坐标方程；
（2）若直线l 与椭圆C 的交点分别为()11,M x y ，()22,N x y ，求线段MN 的长度. 【答案】(1)2
2
2
1sin ρθ=
+
【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换. (2)联立直线与椭圆,利用韦达定理求出交点坐标的关系,代入弦长公式即可求解. 【详解】
解:(1)椭圆C 以极坐标系中的点()0,0为中心、点()1,0
为焦点、0)为一个顶点. 所以1c ＝
,a =
1b ＝
.所以椭圆的方程为2
212
x y += 代入cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
转换为极坐标方程为2
2
21sin ρθ=+. (2)直线l 的参数方程是12x t
y t
=-⎧⎨
=⎩,(t 为参数).转换为直角坐标方程为220x y
+﹣＝. 设交点()11,M x y ,()22,N x y .所以2
2
22012
x y x y +-=⎧⎪
⎨+=⎪⎩ 整理得291660x x -+=.所以1216
9x x +=
,1269
x x =
所以
12MN x =-==
【点睛】
本题考查了直角坐标方程与极坐标方程的转换,考查了直角坐标方程与参数方程的转换,
考查了弦长问题.已知直角坐标方程求极坐标方程时,代入cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
整理即可,已知极
坐标方程求直角坐标方程时,代入222
tan x y y x ρθ⎧=+⎪
⎨=
⎪⎩
化简即可.已知参数方程求直角坐标方
程时,关键是消参.求直线和圆锥曲线相交的弦长问题时,
常用弦长公式
12AB x =- 进行计算.
第 21 页 共 21 页 23．已知函数()|3|2f x x =+-.
（1）解不等式|()|4f x <；
（2）若x R ∀∈，2
()|1|41f x x t t ≤--+-恒成立，求实数t 的取值范围.
【答案】(1)()9,3-;(2)[1,3]
【解析】(1)由绝对值不等式的解法,化简可得所求解集;
(2)若x R ∀∈,2()|1|41f x x t t ≤--+-恒成立,可得2|3||1|41x x t t +--≤-++恒成立,由绝对值不等式的性质可得不等式左边的最大值,运用二次不等式的解法,可得所求范围.
【详解】
解:(1)函数()|3|2f x x =+-,不等式||()4f x ＜即为()44f x -<< 即4324x -<+-<,即有2|3|6x -<+<.因为|3|0x +>恒成立
所以|3|6x +<,即636x +﹣＜＜,可得93x ﹣＜＜
则原不等式的解集为()9,3-.
(2)若x R ∀∈,2()|1|41f x x t t ≤--+-恒成立,可得2|3||1|41x x t t +--≤-++恒成立
由|3||1||(3)(1)|4x x x x +--≤+--=,可得2414t t -++≥,即2430t t -+≤. 解得13t ≤≤.则实数t 的取值范围是[1,3].
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法,考查了绝对值三角不等式的应用,考查了二次不等式的求解.解含有绝对值的不等式,常用方法有分类讨论法,几何意义解释,函数图像法.对于含参恒成立问题,一般做法是参变分离,求出分离后函数的最值,进而可求参数的取值范围.。