安平县第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

安平县第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．设f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（）
A．B．C．
D．
2．高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标（甲、乙两人互不影响），现各射击一次，目标被击中的概率为（）
A．B．C．D．
3．已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}的元素个数为（）
A．4 B．5 C．6 D．9
4．设偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式＞0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，2）
5．如图是某几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为（）
A．4 B．5 C．D．
6． 设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ） A ．50x -<<或5x > B ．5x <-或5x > C ．55x -<< D ．5x <-或05x <<
7． 双曲线的焦点与椭圆
的焦点重合，则m 的值等于（ ）
A ．12
B ．20
C ．
D ．
8． 函数y=f ′（x ）是函数y=f （x ）的导函数，且函数y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线为l ：y=g （x ）=f ′（x 0）（x ﹣x 0）+f （x 0），F （x ）=f （x ）﹣g （x ），如果函数y=f （x ）在区间[a ，b]上的图象如图所示，且a ＜x 0＜b ，那么（ ）
A ．F ′（x 0）=0，x=x 0是F （x ）的极大值点
B ．F ′（x 0）=0，x=x 0是F （x ）的极小值点
C ．F ′（x 0）≠0，x=x 0不是F （x ）极值点
D ．F ′（x 0）≠0，x=x 0是F （x ）极值点
9． 给出下列两个结论：
①若命题p ：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2+x+1≥0；
②命题“若m ＞0，则方程x 2+x ﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2+x ﹣m=0没有实数根，则m ≤0”；
则判断正确的是（ ） A ．①对②错
B ．①错②对
C ．①②都对
D ．①②都错
10．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是，，，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ）
A ．
725
B ．725- C. 725± D ．2425
11．若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为( )
A5 B4 C3 D2
12．在复平面内，复数Z=+i 2015对应的点位于（ ）
A ．第四象限
B ．第三象限
C ．第二象限
D ．第一象限
二、填空题
13．在ABC ∆中，90C ∠=，2BC =，M 为BC 的中点，1
sin 3
BAM ∠=
，则AC 的长为_________. 14．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AC 所成的角是 °．
15．“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式．它需要参与游戏的人（三人或三人以上）同时出示手势，以手心（白）、手背（黑）来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其它人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负．现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏．设甲乙丙三人每次都随机出“手心（白）、手背（黑）”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是 ．
16．对任意实数x ，不等式ax 2﹣2ax ﹣4＜0恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 17．函数y=sin 2x ﹣2sinx 的值域是y ∈ ．
18．已知一个算法，其流程图如图，则输出结果是 ．
三、解答题
19．(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程．
在直角坐标系中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos α
y ＝2＋3sin α
（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，C 2的极坐标方程为ρ＝
2
sin （θ＋π
4
）
.
（1）求C 1，C 2的普通方程；
（2）若直线C 3的极坐标方程为θ＝3π
4（ρ∈R ），设C 3与C 1交于点M ，N ，P 是C 2上一点，求△PMN 的面
积．
20．若{a n }的前n 项和为S n ，点（n ，S n ）均在函数y=的图象上．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设，T n 是数列{b n }的前n 项和，求：使得
对所有n ∈N *
都成立的最大正整数m ．
21．己知函数f （x ）=lnx ﹣ax+1（a ＞0）． （1）试探究函数f （x ）的零点个数；
（2）若f （x ）的图象与x 轴交于A （x 1，0）B （x 2，0）（x 1＜x 2）两点，AB 中点为C （x 0，0），设函数f （x ）的导函数为f ′（x ），求证：f ′（x 0）＜0．
22．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的值．（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986）
23．已知函数f（x）=x3+ax+2．
（Ⅰ）求证：曲线=f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为定值；
（Ⅱ）若x≥0时，不等式xe x+m[f′（x）﹣a]≥m2x恒成立，求实数m的取值范围．
24．设A（x0，y0）（x0，y0≠0）是椭圆T：+y2=1（m＞0）上一点，它关于y轴、原点、x轴的对称点依次为B，C，D．E是椭圆T上不同于A的另外一点，且AE⊥AC，如图所示．
（Ⅰ）若点A横坐标为，且BD∥AE，求m的值；
（Ⅱ）求证：直线BD与CE的交点Q总在椭圆+y2=（）2上．
安平县第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：根据函数与导数的关系：可知，当f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减
结合函数y=f（x）的图象可知，当x＜0时，函数f（x）单调递减，则f′（x）＜0，排除选项A，C
当x＞0时，函数f（x）先单调递增，则f′（x）≥0，排除选项B
故选D
【点评】本题主要考查了利用函数与函数的导数的关系判断函数的图象，属于基础试题
2．【答案】
D
【解析】【解答】解：由题意可得，甲射中的概率为，乙射中的概率为，
故两人都击不中的概率为（1﹣）（1﹣）=，
故目标被击中的概率为1﹣=，
故选：D．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．
3．【答案】B
【解析】解：①x=0时，y=0，1，2，∴x﹣y=0，﹣1，﹣2；
②x=1时，y=0，1，2，∴x﹣y=1，0，﹣1；
③x=2时，y=0，1，2，∴x﹣y=2，1，0；
∴B={0，﹣1，﹣2，1，2}，共5个元素．
故选：B．
4．【答案】B
【解析】解：∵f（x）是偶函数
∴f（﹣x）=f（x）
不等式，即
也就是xf （x ）＞0
①当x ＞0时，有f （x ）＞0
∵f （x ）在（0，+∞）上为减函数，且f （2）=0 ∴f （x ）＞0即f （x ）＞f （2），得0＜x ＜2； ②当x ＜0时，有f （x ）＜0
∵﹣x ＞0，f （x ）=f （﹣x ）＜f （2）， ∴﹣x ＞2⇒x ＜﹣2
综上所述，原不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2） 故选B
5． 【答案】D 【解析】
试题分析：因为根据几何体的三视图可得，几何体为下图,,AD AB AG 相互垂直，面AEFG ⊥面
,//,3,1ABCDE BC AE AB AD AG DE ====,根据几何体的性质得：AC GC ==
GE ===4,BG AD EF CE ====所以最长为GC =
考点：几何体的三视图及几何体的结构特征． 6． 【答案】B
考
点：函数的奇偶性与单调性．
【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y 轴对称，单调性在y 轴两侧相反，即在0x >时单调递增，当0x <时，函数单调递减.结合(5)0f =和对称性，可知(5)0f ±=，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.1 7． 【答案】A
【解析】解：椭圆的焦点为（±4，0），
由双曲线的焦点与椭圆的重合，可得=4，解得m=12．
故选：A．
8．【答案】B
【解析】解：∵F（x）=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0），
∴F'（x）=f'（x）﹣f′（x0）
∴F'（x0）=0，
又由a＜x0＜b，得出
当a＜x＜x0时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＜0，
当x0＜x＜b时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＞0，
∴x=x0是F（x）的极小值点
故选B．
【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，即当函数取到极值时导函数一定等于0，反之当导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定是否有极值．
9．【答案】C
【解析】解：①命题p是一个特称命题，它的否定是全称命题，￢p是全称命题，所以①正确．
②根据逆否命题的定义可知②正确．
故选C．
【点评】考查特称命题，全称命题，和逆否命题的概念．
10．【答案】A
【解析】
考点：正弦定理及二倍角公式.
【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如θθθθθ2222sin cos 2cos ,1cos sin -==+,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定理
R C
c
B b A 2sin sin sin a ===，余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， 实现边与角的互相转化. 11．【答案】C
【解析】由已知，得{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}＝{－1,1,3}，所以集合{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为3. 12．【答案】A
【解析】解：复数Z=+i 2015=
﹣i=
﹣i=﹣
．
复数对应点的坐标（），在第四象限．
故选：A ．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，基本知识的考查．
二、填空题
13．【解析】
考点：1、正弦定理及勾股定理；2诱导公式及直角三角形的性质.
【方法点睛】本题主要考查正弦定理及勾股定理、诱导公式及直角三角形的性质，属于难题，高考三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正弦定理、余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可，对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小，有时也要考虑特殊三角形的特殊性质（如正三角形，直角三角形等）.
14．【答案】60°°．
【解析】解：连结BC1、A1C1，
∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A平行且等于C1C，
∴四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1∥AC，
因此∠BA1C1（或其补角）是异面直线A1B与AC所成的角，
设正方体的棱长为a，则△A
B1C中A1B=BC1=C1A1=a，
1
∴△A1B1C是等边三角形，可得∠BA1C1=60°，
即异面直线A1B与AC所成的角等于60°．
故答案为：60°．
【点评】本题在正方体中求异面直线所成角和直线与平面所成角的大小，着重考查了正方体的性质、空间角的定义及其求法等知识，属于中档题．
15．【答案】．
【解析】解：一次游戏中，甲、乙、丙出的方法种数都有2种，所以总共有23=8种方案，而甲胜出的情况有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，共2种，
所以甲胜出的概率为
故答案为．
【点评】本题考查等可能事件的概率，关键是分清甲在游戏中胜出的情况数目．16．【答案】（﹣4，0]．
【解析】解：当a=0时，不等式等价为﹣4＜0，满足条件；
当a≠0时，要使不等式ax2﹣2ax﹣4＜0恒成立，
则满足，
即，
∴
解得﹣4＜a＜0，
综上：a的取值范围是（﹣4，0]．
故答案为：（﹣4，0]．
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，注意要对二次项系数进行讨论．
17．【答案】[﹣1，3]．
【解析】解：∵函数y=sin2x﹣2sinx=（sinx﹣1）2﹣1，﹣1≤sinx≤1，
∴0≤（sinx﹣1）2≤4，∴﹣1≤（sinx﹣1）2﹣1≤3．
∴函数y=sin2x﹣2sinx的值域是y∈[﹣1，3]．
故答案为[﹣1，3]．
【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键．
18．【答案】5．
【解析】解：模拟执行程序框图，可得 a=1，a=2
不满足条件a 2
＞4a+1，a=3
不满足条件a 2
＞4a+1，a=4
不满足条件a 2
＞4a+1，a=5
满足条件a 2
＞4a+1，退出循环，输出a 的值为5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的a 的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos α
y ＝2＋3sin α（α为参数）
得（x －1）2＋（y －2）2＝9（cos 2α＋sin 2α）＝9. 即C 1的普通方程为（x －1）2＋（y －2）2＝9， 由C 2：ρ＝
2sin （θ＋π
4
）
得
ρ（sin θ＋cos θ）＝2， 即x ＋y －2＝0，
即C 2的普通方程为x ＋y －2＝0.
（2）由C 1：（x －1）2＋（y －2）2＝9得 x 2＋y 2－2x －4y －4＝0，
其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ－4＝0， 将θ＝3π
4代入上式得
ρ2－2ρ－4＝0， ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－4，
∴|MN |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝3 2.
C 3：θ＝3
4
π（ρ∈R ）的直角坐标方程为x ＋y ＝0，
∴C 2与C 3是两平行直线，其距离d ＝2
2
＝ 2.
∴△PMN 的面积为S ＝12|MN |×d ＝1
2
×32×2＝3.
即△PMN的面积为3.
20．【答案】
【解析】解：（1）由题意知：S n=n2﹣n，
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣2，
当n=1时，a1=1，适合上式，
则a n=3n﹣2；
（2）根据题意得：b n===﹣，T n=b1+b2+…+b n=1﹣+﹣+…+
﹣=1﹣，
∴{T n}在n∈N*上是增函数，∴（T n）min=T1=，
要使T n＞对所有n∈N*都成立，只需＜，即m＜15，
则最大的正整数m为14．
21．【答案】
【解析】解：（1），
令f'（x）＞0，则；令f'（x）＜0，则．
∴f（x）在x=a时取得最大值，即
①当，即0＜a＜1时，考虑到当x无限趋近于0（从0的右边）时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f （x）→﹣∞
∴f（x）的图象与x轴有2个交点，分别位于（0，）及（）
即f（x）有2个零点；
②当，即a=1时，f（x）有1个零点；
③当，即a＞1时f（x）没有零点；
（2）由得（0＜x1＜x2），
=，令
，设，t∈（0，1）且h（1）=0
则，又t∈（0，1），∴h′（t）＜0，∴h（t）＞h（1）=0
即，又，
∴f'（x0）=＜0．
【点评】本题在导数的综合应用中属于难题，题目中的两个小问都有需要注意之处，如（1）中，在对0＜a＜1进行研究时，一定要注意到f（x）的取值范围，才能确定零点的个数，否则不能确定．（2）中，代数运算
比较复杂，特别是计算过程中，令的化简和换元，使得原本比较复杂的式子变得简单化而可解，这对学
生的综合能力有比较高的要求．
22．【答案】
【解析】解：（I）a=﹣2时，f（x）=xlnx﹣2x，则f′（x）=lnx﹣1．
令f′（x）=0得x=e，
当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递减区间是（0，e），单调递增区间为（e，+∞）．
（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，
则xlnx+ax＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+ax﹣ax+x恒成立，
又x﹣1＞0，则k＜对任意x∈（1，+∞）恒成立，
设h（x）=，则h′（x）=．
设m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣，
∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）在（1，+∞）上是增函数．
∵m（1）=﹣1＜0，m（2）=﹣ln2＜0，m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，
∴存在x0∈（3，4），使得m（x0）=0，
当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，即h′（x）＜0，
当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，
∴h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
∴h（x）的最小值h min（x）=h（x0）=．
∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴lnx0=x0﹣2．∴h（x0）==x0．
∴k＜h min（x）=x0．
∵3＜x0＜4，
∴k≤3．
∴k的值为1，2，3．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的最值，函数恒成立问题，构造函数求出h（x）的最小值是解题关键，属于难题．
23．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）=x2+a，
即有f（1）=a+，f′（1）=1+a，
则切线方程为y﹣（a+）=（1+a）（x﹣1），
令x=0，得y=为定值；
（Ⅱ）解：由xe x+m[f′（x）﹣a]≥m2x对x≥0时恒成立，
得xe x+mx2﹣m2x≥0对x≥0时恒成立，
即e x+mx﹣m2≥0对x≥0时恒成立，
则（e x+mx﹣m2）min≥0，
记g（x）=e x+mx﹣m2，
g′（x）=e x+m，由x≥0，e x≥1，
若m≥﹣1，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴，
则有﹣1≤m≤1，
若m＜﹣1，则当x∈（0，ln（﹣m））时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
则当x∈（ln（﹣m），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
∴，
∴1﹣ln（﹣m）+m≥0，
令﹣m=t，则t+lnt﹣1≤0（t＞1），
φ（t）=t+lnt﹣1，显然是增函数，
由t＞1，φ（t）＞φ（1）=0，则t＞1即m＜﹣1，不合题意．
综上，实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．
【点评】本题为导数与不等式的综合，主要考查导数的应用，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．
24．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：∵BD∥AE，AE⊥AC，
∴BD⊥AC，可知A（），
故，m=2；
（Ⅱ）证明：由对称性可知B（﹣x0，y0），C（﹣x0，﹣y0），D（x0，﹣y0），四边形ABCD为矩形，
设E（x1，y1），由于A，E均在椭圆T上，则
，
由②﹣①得：（x1+x0）（x1﹣x0）+（m+1）（y1+y0）（y1﹣y0）=0，
显然x1≠x0，从而=，
∵AE⊥AC，∴k AE•k AC=﹣1，
∴，
解得，
代入椭圆方程，知．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，关键是利用椭圆的对称性寻求点的坐标间的关系，体现了整体运算思想方法，是中档题．。