高三数学下学期第一次线上月考试题理试题

会昌中学2021届高三数学下学期第一次线上月考试题理
制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……
日期：2022年二月八日。

本套试卷满分是150分。

考试时间是是150分钟。

考前须知：
1．在答题之前，所有考生必须将本人的姓名、考号、考试科目，用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡上。

2．考生答题时,请将答案答在答题卡上。

选择题每一小题在选出答案以后,需要用2B铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内答题,超出答题区域书写之答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。

3．在考试完毕之后时，请将答题卡交回。

一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕
会昌中学2021届高三第一次线上考试
数学〔理科〕答案
一、选择题：
二、填空题
13．1- 14. 4π 15．9
16
16． 三、解答题：
17．〔1〕设等差数列的公差为 ，那么
解得 或者〔舍去〕， . 〔2〕, .
18．〔1〕证明：∵1PA AB AD ===，PB PD ==∴222PA AB PB +=，222PA AD PD +=，
∴PA AB ⊥，PA AD ⊥，AB AD A ⋂=，,AB AD ⊂平面ABCD ∴PA ⊥平面ABCD ，而BD ⊂平面ABCD ∴PA BD ⊥． 又∵ABCD 为正方形，
∴AC BD ⊥，PA AC A ⋂=，,PA AC ⊂平面.PAC
∴BD ⊥平面PAC ．
〔2〕解：如图，连接ED ，取ED 的中点M ，
设AC BD O ⋂=，连接OM ，那么BE OM ，
从而BE 平面ACM ，平面ACM 与PD 的交点即为F ．
以OB 、OC 、OE 为,,x y z 轴建立如下图的空间直角坐标系O xyz -，
2OC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，10,0,2OE ⎛
⎫= ⎪⎝⎭，2OD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 21244OE OD OM ⎛⎫+=
=- ⎪ ⎪⎝⎭
， 平面ACF 即平面ACM ，设其法向量为(),,n x y z =，
那么0,0,n OC n OM ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,20,y x z =⎧⎪
⎨-+=⎪
⎩ 令1x =，得(1,0,2n =，
易知平面ACD 的一个法向量为()0,0,1m =， ∴26
cos ,3
m n m n m n
⋅=
=
=. 因为二面角F AC D --6
． 19． 〔Ⅰ〕由题意可知222,5.
c a b =⎧⎨=⎩所以22
5,1a b ==.所以椭圆C 的方程为
2215x y +=. 〔Ⅱ〕①当直线l 的斜率不存在时，此时MN x ⊥()1,0D ，直线5x =与x 轴相交于点G ，易得点
()3,0E 是点()1,0D 和点()5,0G 的中点，又因为MD DN =，
所以FG DN =，所以直线//FN x 轴.
②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠ ()()1122,,,M x y N x y . 因为点()3,0E ，所以直线ME 的方程为()1
133
y y x x =
--. 令5x =，所以()11
1125333
F y y y x x =
-=--. 由()22
1,55
y k x x y ⎧=-⎨+=⎩消去y 得()()22221510510k x k x k +-+-=.显然0∆>恒成立. 所以()
22121222
5110,.5151
k k x x x x k k -+==++ 因为()()()()2112111
221113213212333
F y x y k x x k x y y y y x x x -------=-
==--- ()()
22
2
212121151103551513533
k k k k k k x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥-⨯+++⎢⎥⎡⎤-++⎣⎦⎣⎦==
-- 2222151651
0513
k k k k k x --++=⋅=+-， 所以2F y y =.所以直线//FN x 轴.综上所述，所以直线//FN x 轴.
20．〔1〕当5n =或者6n =时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为
5
16
； 〔2〕见解 〔1〕将有3个坑需要补种表示成n 的函数，考察函数随n 的变化情况，即可得到n 为何值时有3个坑要补播种的概率最大．〔2〕n ＝4时，X 的所有可能的取值为0，1，2，3，4．分别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可．
〔1〕对一个坑而言，要补播种的概率33
0133111222P C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， 有3个坑要补播种的概率为312n
n
C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
欲使312n
n C ⎛⎫ ⎪⎝⎭最大，只需1
33
11
33111221122n n n n n n n n C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭⎩， 解得56n ≤≤，因为*n N ∈，所以5,6,n =
当5n =时，53515216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当6n =时，6
3615216C ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
； 所以当5n =或者6n =时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为5
16
. 〔2〕由，X 的可能取值为0，1，2，3，4.14,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭
， 所以X 的分布列为
X 的数学期望422
EX =⨯
=. 21〔1〕证明：当2m =时，1()sin ln 12f x x x x =-
-+，11()1cos 2f x x x
'=--. 当(0,)x π∈时，()f x '
为增函数，且133310344f πππ⎛⎫'=--=-<
⎪
⎝⎭
，31()02f ππ'=->，∴()f x '
在(0,)π上有唯一零点； 当[,)x π∈+∞时，11()1cos 2f x x x '=-
-11
11
1022x π
--->， ∴()f x '
在[,)π+∞上没有零点. 综上知，()f x '
在(0,)+∞上有唯一零点.
〔2〕证明：不妨设120x x <<，由()()12f x f x =得
1111sin ln 122m x x x --+2221sin ln 122m
x x x =--+，
∴()()2121211
ln ln sin sin 22
m x x x x x x -=---. 设()sin g x x x =-，那么()1cos 0g x x '=-，故()g x 在(0,)+∞为增函数，
∴2211sin sin x x x x ->-，从而2121sin sin x x x x ->-， ∴
()21ln ln 2m x x -()()21212111sin sin 22x x x x x x =--->-，∴2121
ln ln x x m x x ->-，
下面证明：
21
21
ln ln x x x x ->- 令21x t x =
，那么1t >
，即证明1
ln t t
->
ln 0t <.〔*〕
设()ln h t t =
，那么
2
1
()0h t '=<，∴()h t 在(1,)+∞单调递减.
当1t >时，()(1)0h t h <=
，从而〔*〕得证，即21
21
ln ln x x x x ->-
∴m >
212x x m <.
22.〔1〕曲线C: 2
6cos ρρθ=，将cos ,sin x y ρθρϑ==.代入得x 2
+y 2
-6x ＝0 即曲线C 的直角坐标方程为(x -3)2
+y 2
＝9.
直线l : 2
1x y t =⎧⎨
=-+⎩
，(t 为参数)，所以x ＝2，故直线l 的极坐标方程为cos 2ρθ=……5分
〔2〕联立直线l 与曲线C 的方程得2
2
(cos sin )(sin 1)9t t ααα++-= 即2
2(cos sin )70t t αα-+-=
设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，那么12122(cos sin ),7t t t t αα+=+=-
因为2
2
2
2
2
2
121212()24(cos sin )144sin 21814PA PB t t t t t t ααα+=+=+-=++=+≥ 当sin 21α=-时取等号，所以2
2
PA PB + 22．解：〔1〕 依题意，直线
1l 的直角坐标方程为3
y x =
，
2l 的直角坐标方程为y =．
……………………………………………………………2分
由2sin ρθ
θ+得2cos 2sin ρθρθ+，
日期：2022年二月八日。

日期：2022年二月八日。

因为222
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，……………………………………………3分
所以22((1)4x y -+-=， ……………………………………………………………4分
所以曲线C
的参数方程为2cos 12sin x y αα
⎧=⎪⎨=+⎪⎩〔α为参数〕…………………………5分 〔2
〕联立62sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪+⎩得14OA ρ==，…………………………6分
同理，2OB ρ=
=分 又6
AOB π
∠=，………………………………………………………………8分
所以111sin 4222
AOB S OA OB AOB ∆=∠=⨯⨯=，………………9分 即AOB ∆
的面积为 ………………………………………………………10分
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅……
日期：2022年二月八日。