(必考题)初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》检测(含答案解析)

一、选择题
1．已知一个直角三角形三边的平方和为800，则这个直角三角形的斜边长为（ ） A ．20
B ．40
C ．80
D ．100 2．在周长为24的直角三角形中，斜边长为11，则该三角形的面积为（ ） A ．6
B ．12
C ．24
D ．48 3．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A ．1，2，3 B ．3，4，5 C ．5，12，13 D ．5,7,32 4．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，已知3AC =，4BC =，则BD =（ ）
A ．125
B ．95
C ．235
D ．165
5．如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若6,5AC BC ==，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A ．24
B ．52
C ．61
D ．76 6．下列各组数是勾股数的是（ ） A ．0.3，0.4，0.5 B ．7，8，9 C ．6，8，10 D 3457．如图，在长方形ACD 中，3AB cm =，9AD cm =，将此长方形折叠，便点D 与点B 重合，折痕为EF ，则AB
E △的面积为（ ）2cm ．
A ．12
B ．10
C ．6
D ．15 8．已知Rt ABC 中，A ∠，B ，C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若90B ∠=︒，则（ ）．
A ．222b a c =+
B ．222c a b =+
C ．222a b c =+
D ．a b c +=
9．一个长方体盒子长24cm ，宽10cm ，在这个盒子中水平放置一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（ ）
A ．10cm
B ．24cm
C ．26cm
D ．28cm 10．如图，在Rt ABC △中，6AB =，8BC =，AD 为BAC ∠的平分线，将ADC 沿直线AD 翻折得AD
E ，则DE 的长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
11．小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB ＝1；再以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，那么点P 表示的数是（ ）
A ．2.2
B 5
C ．1+2
D 6
12．若实数m 、n 满足340m n -+-=，且m 、n 恰好是Rt ABC △的两条边长，则
第三条边长为（ ）．
A ．5
B ．7
C ．5或7
D ．以上都不对
二、填空题
13．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边18cm AC =，24cm BC =，点D 在边BC 上，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则BD 的长是______cm ．
14．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABCD 的方法证明了勾股定理（如图），若Rt ABC △的斜边10AB =，=6BC ，则图中线段CE 的长为______．
15．如图，在等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为BC 的中点，8AB =，点P 为AB 上一动点，则PC PD +的最小值为__________．
16．如图所示的正方形网格中，A ，B ，C ，D ，P 是网格线交点．若∠APB ＝α，则∠BPC 的度数为 ____（用含α的式子表示）．
17．如图，在三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AB ＝10，如果在AC 边上取一点
E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，那么CE 的长为________．
18．如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，则正方形B 的面积为____．
19．如图，将两个大小、形状完全相同的ABC 和A B C '''拼在一起，其中点A '与点A 重合，点C '落在边AB 上，连接B C '，若90ACB AC B ''∠=∠=︒，2AC BC ==，则B C '=________．
20．如图，矩形ABCD 中，AB=8,AD=5，点E 为DC 边上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，点D 的对应点D ’落在矩形ABCD 的对称轴上时，DE 的长为____________.
三、解答题
21．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
(1)10PQ ，其中P 、Q 都在格点上；
(2)面积为13的正方形ABCD ，其中A 、B 、C 、D 都在格点上．
22．中国机器人创意大赛于2014年7月15日在哈尔滨开幕．如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A 处先往东走4m ，又往北走1.5m ，遇到障碍后又往西走2m ，再转向北走4.5m 处往东一拐，仅走0.5m 就到达了B ．问机器人从点A 到点B 之间的距离是多少？
23．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，AD ＝16，求AB 的长．
24．（1）如图1，О是等边ABC 内一点，连接OA OB OC 、、，且
3,4,5,OA OB OC ===BAO BCD ≅△△，连接OD ．
①OBD ∠= __度；（答案直接填写在横线上）
②OD =_ __﹔（答案直接填写在横线上）
③求BDC ∠的度数．
（2）如图2所示，О是等腰直角()90ABC ABC ∠=︒△内一点，连接OA OB OC 、、，BAO BCD ≅△△，连接OD ．当OA OB OC 、、满足什么条件时，90ODC ∠=．请给
出证明．
25．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC 与AE 的长度一样，滑梯的高度4,1BC m BE m ==．求滑道AC 的长度．
26．如图所示，在一棵树的1?0?米高的 B?处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20?米的 A?处．另一只猴子爬到树顶 D?处后顺绳子滑到 A?
处，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，已知三边的平方和可以求出斜边的平方，根据斜边的平方可以求出斜边长．
【详解】
解：∵在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，
又∵已知三边的平方和为800，则斜边的平方为三边平方和的一半，
即斜边的平方为，800÷2=400，
∴斜边长400，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活应用，考查了勾股定理的定义，本题中正确计算斜边长的平方是解题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
画出直角三角形，由11,24,c a b c =++=可得：22
2169,a ab b ++=再由勾股定理可得：222121,a b c +==从而求解24,ab =再利用三角形的面积公式可得答案．
【详解】
解：如图，
由题意知：
11,24,c a b c =++=
13,a b ∴+=
222169,a ab b ∴++=
222121,a b c +==
121+2169,ab ∴=
248,ab =
24,ab ∴=
112.2
S ab ∴== 故选：.B
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，完全平方公式的应用，掌握以上知识是解题的关键． 3．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理的逆定理分别进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A 、∵22213)42+==，
∴1，23能作为直角三角形的三边长．故此选项不符合题意；
B 、∵22234255+==，
∴3，4，5能作为直角三角形的三边长．故此选项不符合题意；
C 、∵22251216913+==，
∴5，12，13能作为直角三角形的三边长．故此选项不符合题意；
D 、∵225)7)12+=，23218=()，1218≠， ∴5,7,32
故选：D ．
本题考查了勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理逆定理用法是解题的关键． 4．D
解析：D
【分析】
勾股定理求出AB ＝5，设BD=x ，AD=5-x ，根据勾股定理列方程即可．
【详解】
解：∵90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =， ∴2222AB AC BC 345=+=+=，
设BD=x ，AD=5-x ，∵CD AB ⊥
∴∠CDA=∠CDB=90°，
2222AC AD BC BD -=-，
22223(5)4x x --=-，
解得，x=
165
， 故选：D ．
【点睛】 本题考查了勾股定理求线段长，解题关键是设未知数，根据勾股定理列方程．
5．D
解析：D
【分析】
由题意∠ACB 为直角，AD=6，利用勾股定理求得BD 的长，进一步求得风车的外围周长．
【详解】
解：依题意∠ACB 为直角，AD=6，
∴CD=6+6=12，
由勾股定理得，BD 2=BC 2+CD 2，
∴BD 2=122+52=169，
所以BD=13，
所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．
故选：D ．
本题是勾股定理在实际情况中应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．
6．C
解析：C
【分析】
三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．
【详解】
解：A、不是勾股数，因为0.3，0.4，0.5不是正整数，此选项不符合题意；
B、不是勾股数，因为72+82≠92，此选项不符合题意；
C、是勾股数，因为62+82=102，此选项符合题意；
D
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股数的概念，勾股数是指：①三个数均为正整数；②其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方．
7．C
解析：C
【分析】
设AE=x，由折叠BE=ED=9-x，再在Rt△ABE中使用勾股定理即可求出x，进而求出△ABE的面积．
【详解】
解：设AE=x，由折叠可知：BE=ED=9-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理有：AB²+AE²=BE²，代入数据：
3²+x²=(9-x)²，解得x=4，
故AE=4，此时
11
=436
22
∆
⨯=⨯⨯= ABE
S AE AB，
故选：C．
【点睛】
本题考查了折叠问题中的勾股定理，利用折叠后对应边相等，设要求的边为x，在一个直角三角形中，其余边用x的代数式表示，利用勾股定理建立方程求解x．
8．A
解析：A
【分析】
先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得．
【详解】
由题意，画出图形如下：
由勾股定理得：222b a c =+，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键．
9．C
解析：C
【分析】
根据题意可知木棒最长是底面长方形的对角线的长，利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：长方体的底面是长方形，水平放置木棒，当木棒为该正方形的对角线时木棒最长， 22241026+=，
则最长木棒长为26cm ，
故选：C ．
【点睛】
本题考查立体图形、勾股定理，由题意得出木棒最长是底面长方形的对角线的长是解答的关键．
10．B
解析：B
【分析】
由勾股定理求出AC ＝10，求出BE ＝4，设DE ＝x ，则BD ＝8−x ，得出（8−x ）2＋42＝x 2，解方程求出x 即可得解．
【详解】
∵AB ＝6，BC ＝8，∠ABC ＝90°，
∴22226810AB BC +=＋，
∵将△ADC 沿直线AD 翻折得△ADE ，
∴AC ＝AE ＝10，DC ＝DE ，
∴BE ＝AE−AB ＝10−6＝4，
在Rt △BDE 中，设DE ＝x ，则BD ＝8−x ，
∵BD 2＋BE 2＝DE 2，
∴（8−x ）2＋42＝x 2，
解得：x ＝5，
∴DE ＝5．
故选B ．
【点睛】
本题考主要查了勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11．B
解析：B
【分析】
根据题意可知AOB 为直角三角形，再利用勾股定理即可求出OB 的长度，从而得出OP 长度，即可选择．
【详解】
∵AB OA ⊥
∴AOB 为直角三角形．
∴
在Rt AOB 中，OB
根据题意可知2=1OA AB =，， ∴
OB
又∵OB OP =，
∴P
故选：B ．
【点睛】
本题考查数轴和勾股定理，利用勾股定理求出OB 的长是解答本题的关键．
12．C
解析：C
【分析】
根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4，再分两种情况利用勾股定理求出第三边．
【详解】
∵30m -=，30m -≥≥，
∴m-3=0，n-4=0，
解得m=3，n=4，
当3、4都是直角三角形的直角边长时，第三边长；
当3是直角边长，4是斜边长时，第三边长=
故选：C ．
【点睛】
此题考查绝对值的非负性及算术平方根的非负性，勾股定理，根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4是解题的关键．注意：没有明确给出的是直角三角形直角
边长还是斜边长时，应分情况求解第三边长．
二、填空题
13．15【分析】根据勾股定理计算得AB ；再根据折叠的性质分析得cm 从而得到BE ；设cm 则cm 根据勾股定理列方程并求解即可得到答案【详解】∵∴cm ∵点在边上现将直角边沿直线折叠使它落在斜边上且与重合∴cm 解析：15
【分析】
根据勾股定理计算得AB ；再根据折叠的性质分析，得18AE AC ==cm ，DE DC =，DEA C 90∠=∠=，从而得到BE ；设BD x =cm ，则()24DE DC x ==-cm ，根据勾股定理列方程并求解，即可得到答案．
【详解】
∵18cm AC =，24cm BC =， ∴
30AB ==cm ， ∵点D 在边BC 上，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，
∴18AE AC ==cm ，DE DC =，DEA C 90∠=∠= ，
∴12BE AB AE =-=cm ，
∴设BD x =cm ，则()24DE DC x ==-cm ， ∴
12BE ==cm ，
∴212x x +22(24-)=
∴15x = ，
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理、折叠问题、一元一次方程，从而完成求解．
14．【分析】根据勾股定理求出AC 根据全等三角形的性质得到AF ＝BC ＝6EF ＝AC ＝8求出FC 根据勾股定理计算得到答案【详解】解：在Rt △ABC 中AC ＝∵Rt △ACB ≌Rt △EFA ∴AF ＝BC ＝6EF ＝A
解析：【分析】
根据勾股定理求出AC ，根据全等三角形的性质得到AF ＝BC ＝6，EF ＝AC ＝8，求出FC ，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】
解：在Rt △ABC 中，AC 8==，
∵Rt △ACB ≌Rt △EFA ，
∴AF ＝BC ＝6，EF ＝AC ＝8，
∴FC ＝AC ﹣AF ＝2，
∴CE ＝222282217EF FC +=+=，
故答案为：217．
【点睛】
本题考查的是勾股定理、全等三角形的性质，掌握勾股定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．
15．【分析】根据勾股定理得到BC 由中点的定义求出BD 作点C 关于AB 对称点C′则PC′=PC 连接DC′交AB 于P 连接BC′此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45
解析：210
【分析】
根据勾股定理得到BC ，由中点的定义求出BD ，作点C 关于AB 对称点C′，则PC′=PC ，连接DC′，交AB 于P ，连接BC′，此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．由对称性可知
∠C′BA=∠CBA=45°，于是得到∠CBC′=90°，然后根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：在等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =， 8AB =，
∵AC 2+BC 2=AB 2，
∴AC=BC=2422
AB =． ∵D 为BC 的中点，
∴BD=22．
作点C 关于AB 对称点C′，交AB 于点O ，则PC′=PC ，连接DC′，交AB 于P ，连接BC′．此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．
∵点C关于AB对称点C′，
∴∠C′BA=∠CBA=45°，
==
BC BC
'
∴∠'90
CBC=，
∴
DC===，
'
故答案为：
【点睛】
此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，确定动点P何位置时，使PC+PD的值最小是解题的关键．
16．【分析】由图可知AC的长根据勾股定理可以求得PAPC的长再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAC的形状从而可以得到∠CPA的度数然后即可得到
∠BPC=∠CPA−∠APB的度数【详解】设网格的长度为1则
︒
解析：90-α
【分析】
由图可知AC的长，根据勾股定理可以求得PA、PC的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAC的形状，从而可以得到∠CPA的度数，然后即可得到∠BPC=∠CPA−∠APB的度数．
【详解】
设网格的长度为1，则==，AC=6
222
+=
AP PC AC
∴△PAC为等腰直角三角形
∴∠CPA=90︒
∴∠BPC=∠CPA−∠APB=90-α
︒
︒
故答案为：90-α
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．3【分析】利用勾股定理可求出AC=8根据折叠的性质可得BD=ABDE=AE根据线段的和差关系可得CD的长设CE=x则DE=8-x利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案【详解】∵∠ACB＝90°BC＝
解析：3
【分析】
利用勾股定理可求出AC=8，根据折叠的性质可得BD=AB，DE=AE，根据线段的和差关系可得CD的长，设CE=x，则DE=8-x，利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案．
【详解】
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，
∴
，
∵BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，
∴BD=AB=10，DE=AE ，∠DCE=90°，
∴CD=BD-BC=10-6=4，
设CE=x ，则DE=AE=AC-CE=8-x ，
∴在Rt △DCE 中，DE 2=CE 2+CD 2，即（8-x ）2=x 2+42，
解得：x=3，
∴CE=3，
故答案为：3
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质及勾股定理的应用，根据翻折前后的两个图形能够重合得到相等的线段并转化到一个直角三角形中，利用勾股定理列出方程是解此类题目的关键． 18．8【分析】如图（见解析）先根据正方形的面积公式可得再根据勾股定理可得然后根据正方形的面积公式可得最后又利用勾股定理可得的值由此即可得出答案【详解】如图正方形ACD 的面积依次为4618在中四边形MNG
解析：8
【分析】
如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得222
6,18,4EF EG ON ===，再根据勾股定理可得212FG =，然后根据正方形的面积公式可得2212MN FG ==，最后又利用勾股定理可得2OM 的值，由此即可得出答案．
【详解】 如图，正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18， 2226,18,4EF EG ON ∴===，
在Rt EFG 中，22212FG EG EF =-=，
四边形MNGF 是正方形，
∴由正方形的面积公式得：2212MN FG ==，
在Rt MON 中，2221248OM MN ON =-=-=，
则正方形B 的面积为28OM =，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了正方形的面积公式、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．
19．【分析】先运用勾股定理求出的长根据等腰直角三角形的性质证得∠=90°最后再利用勾股定理解答即可【详解】解：∵和大小形状完全相同∴≌∵∴和
为等腰直角三角形∴∴∴和为等腰直角三角形∴∠CAB=∠C`AB 解析：23 【分析】 先运用勾股定理求出AB '的长，根据等腰直角三角形的性质证得∠CAB '=90°，最后再利用勾股定理解答即可．
【详解】
解：∵
ABC 和A B C '''大小、形状完全相同
∴ABC ≌A B C '''
∵90ACB AC B ''∠=∠=︒，2AC BC ==
∴ABC 和A B C '''为等腰直角三角形 ∴'''2AC B C ==,
∴()()22'''222222AB AC AC '=
+=+= ∴ABC 和A B C '''为等腰直角三角形
∴∠CAB=∠C`AB`=45°，即∠CAB '=90°
∴()()()222'222223CB AC AB '=+=+=．
故答案为23．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，掌握大小、形状完全相同的三角形是全等三角形是解答本题的关键．
20．或【详解】分析：过点D′作MN ⊥AB 于点NMN 交CD 于点M 由矩形有两条对称轴可知要分两种情况考虑根据对称轴的性质以及折叠的特性可找出各边的关系在直角△EMD′与△AND′中利用勾股定理可得出关于DM
解析：
52或533
【详解】 分析：过点D′作MN ⊥AB 于点N ，MN 交CD 于点M ，由矩形有两条对称轴可知要分两种情况考虑，根据对称轴的性质以及折叠的特性可找出各边的关系，在直角△EMD′与△AND′中，利用勾股定理可得出关于DM 长度的一元二次方程，解方程即可得出结论． 详解：过点D′作MN ⊥AB 于点N ，MN 交CD 于点M ，如图1、所示．
设DE=a ，则D′E=a ．
∵矩形ABCD 有两条对称轴，
∴分两种情况考虑：
①当DM=CM 时， AN=DM=12CD=12
AB=4，AD=AD′=5， 由勾股定理可知：
，
∴MD′=MN -ND′=AD -ND′=2，EM=DM-DE=4-a ，
∵ED′2=EM 2+MD′2，即a 2=（4-a ）2+4，
解得：a=52
； ②当MD′=ND′时， MD′=ND′=12MN=12AD=52
， 由勾股定理可知：
，
∴-a ，
∵ED′2=EM 2+MD′2，即a 2＝−a )2+(52)2，
解得：．
综上知：DE=52或3
．
故答案为52．． 点睛：本题考查了翻转变换、轴对称的性质、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是找出关于DM 长度的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，但在做题过程中容易丢失一种情况，解决该题型题目时，结合勾股定理列出方程是关键．
三、解答题
21．(1)见解析；(2)见解析.
【分析】
（1）由勾股定理可知当直角边为1和3，由此可得线段PQ ；
（2）由勾股定理可知当直角边为2和3可得到面积为13的正方形ABCD ．
【详解】
(1)(2)如图所示：
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用，本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决问题．
22．132
【解析】
试题分析：过点B 作BC ⊥AD 于C ，可以计算出AC 、BC 的长度，在直角△ABC 中根据勾股定理即可计算AB ．
试题
过点B 作BC ⊥AD 于C ，
所以AC=4﹣2+0．5=2．5m ，BC=4．5+1．5=6m ，
在直角△ABC 中，AB 为斜边，则22225136()22AB BC AC =
+=+=m, 答：机器人从点A 到点B 之间的距离是
132
m ． 考点：勾股定理．
23．25
【分析】
在直角△ACD 中利用勾股定理得出CD 的长，再利用在直角△BCD 中利用勾股定理求得BD ，再根据线段的和差关系求得AB 的长．
【详解】
解：（1）∵CD ⊥AB 于D ，
∴∠ADC=∠BDC=90°．
∵在直角△ACD 中，AC=20，AD=16，
∴
=12；
∵在直角△BCD 中，BC=15，CD=12，
∴
，
∴AB=AD+BD=25．
【点睛】
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．正确求出CD 的长是解题的关键．
24．（1）①60︒；②4；③150︒；（2）2222OA OB OC +=，证明见解析．
【分析】
（1）①由BAO BCD ≅△△得到,BO BD ABO CBD =∠=∠，继而证明
ABC OBD ∠=∠即可解题；
②由BAO BCD ≅△△得到BO BD =，结合①结论60OBD ∠=︒，可证明OBD 是等边三角形，即可解题；
③根据BAO BCD ≅△△得到=AO CD ，在ODC △中根据三角形三边关系即勾股定理的逆定理，可证明ODC △为直角三角形，继而得到90ODC ∠=，再结合OBD 是等边三角形即可解得60OBD ∠=︒据此解题即可；
（2）由,BAO BCD ≅可得90,,OBD ABC BO BD CD AO ∠=∠=︒==，可证明
OBD 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边的关系可得OD =，最后根据直角三角形三边满足勾股定理解题即可．
【详解】
解:（1）①BAO BCD ≅
,BO BD ABO CBD ∴=∠=∠
ABO OBC CBD OBC ∴∠+∠=∠+∠
即ABC OBD ∠=∠
60ABC OBD ∴∠=∠=︒
故答案为：60︒；
②BAO BCD ≅
BO BD ∴=，
由①得60OBD ∠=︒
OBD ∴△是等边三角形，
4OD OB BD ∴===
故答案为：4；
③BAO BCD ≅
AO CD ∴=
4,3,5OD DC OC ===
222OD DC OC ∴+=
ODC ∴为直角三角形
90ODC ∴∠= OBD △为等边三角形
60BDO ∴∠=︒
90+60=150BDC ODC BDO ∴∠=∠+∠=︒︒；
（2）当2222OA OB OC +=时，90ODC ∠=︒．
理由如下:
,BAO BCD ≅
90,,OBD ABC BO BD CD AO ∴∠=∠=︒==，
OBD ∴△为等腰直角三角形，
2OD OB ∴=，
当222CD OD OC +=时，OCD 为直角三角形，90ODC ∠=︒
2222OA OB OC ∴+=，
当OA OB OC 、、满足2222OA OB OC +=时，90ODC ∠=︒．
【点睛】
本题考查勾股定理及其逆定理、全等三角形的性质、等边三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
25．5m
【分析】
设AC xm =，则(),1AE AC xm AB AE BE x m ===-=-，根据勾股定理得到
222AB BC AC +=，即()2
2214x x -+=，解方程即可． 【详解】
解：设AC xm =，
则(),1AE AC xm AB AE BE x m ===-=-，
由题意得：090ABC ∠=，
在Rt ABC ∆中，222AB BC AC +=，
∴()2
2214x x -+= 解得8.5x =，
∴8.5AC m =．
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，解一元一次方程，根据题意建立直角三角形，从而利用勾股定理解决实际问题是解题的关键．
26．这棵树的高为15?米
【分析】
设树高为x 米，则可用x 分别表示出CD ，利用勾股定理可得到关于x 的方程，可求得x 的值．
【详解】
解：设树高为x 米，由题意得，BC 10=米，CD x =米，()BD 10x =-米，AC 20=米，
在Rt ADC 中， AD ==
∵两只猴子所经过的距离相等，BC CA BD DA +=+，
即102010x +=-15x =，即树高15米．
答：这棵树的高为15米．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用，用树的高度表示出CD ，利用勾股定理得到方程是解题的关键．。