2022-2023学年辽宁省沈阳市联合体高一年级下册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年辽宁省沈阳市联合体高一下学期期末数学试题
一、单选题
1．cos1560︒的值为（）A ．1
2B ．12
-
C ．
32
D ．32
-
【答案】B
【分析】利用三角函数的诱导公式与特殊角的三角函数值求解即可.
【详解】()1
cos1560cos 4360120cos1202
︒=⨯︒+︒=︒=-.
故选：B.
2．已知i 为虚数单位，复数()2i
R 2i
z a -=∈+，则它的共轭复数z 为（）
A ．34i
55
+B ．34i
55-C ．41i 5
+D ．4
1i
5
-【答案】A
【分析】利用复数的四则运算与共轭复数的概念即可得解.【详解】因为2i (2i)(2i)34i 34i 2i (2i)(2i)555z ----====-++-，所以34
i 55
z =+.故选：A.
3．如图，一个水平放置的四边形ABCD 的斜二测画法的直观图是矩形A B C D ''''，5A B ''=，
O '是A D ''的中点，则原四边形ABCD 的面积是（）
A ．202
B ．402
C ．802
D ．1602
【答案】A
【分析】首先求出O B ''，A D ''，即可得到平面图形中AD ，OB 的值，即可求出四边形ABCD 的面积.
【详解】在直观图中O A B '''△为等腰直角三角形，所以5O A A B ''''==，所以()()
22
10O B O A A B ''''''=
+=，又O '是A D ''的中点，所以225A D O A ''''==，
所以在平面图形中25AD =，2210OB O B ''==，所以25210202ABCD S AD OB =⨯=⨯=
.
故选：A 4．已知π02α<<，π2cos 65α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则5πtan 6α⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
（
）
A ．
52
B ．212
-
C ．
212
D ．5
3
-
【答案】C
【分析】利用三角函数的基本关系式与诱导公式即可得解.【详解】因为π02
α<<
，所以ππ2π663α<+<，
则2ππsin 1cos 66αα⎛⎫⎛
⎫+=-+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭2
221155⎛⎫--=
⎪⎝⎭
，所以πsin π216tan π62cos 6ααα⎛
⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+==- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝
⎭，
所以5πtan 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ππ21tan πtan 662αα⎡⎤⎛⎫⎛
⎫-+=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦.
故选：C.
5．已知ABC 的外接圆半径为1，π
3
A =，则cos cos AC C A
B B ⋅+⋅=（）
A ．1
2B ．1C ．
32
D ．3
【答案】D
【分析】利用正弦定理化边为角，再利用两角和的正弦公式结合三角形内角和定理即可得解.【详解】由正弦定理可得
2sin sin sin AB AC BC
C B A
===，所以2sin ,2sin AB C AC B ==，
则()cos cos 2sin cos 2sin cos 2sin 2sin 3
AC C AB B B C C B B C A ⋅+⋅=+=+==.
故选：D.
6．已知向量a 、b 满足2= a ，2b = ，2a b ⋅=-
，设a 与a b + 的夹角为θ，则cos θ=（
）
A ．1
2B ．12
-
C ．
22
D ．22
-
【答案】C
【分析】由已知条件，求出a b + 及()
a a
b ⋅+
，然后利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】解：因为2a = ，2b = ，2a b ⋅=-
，
所以(
)
()()
2
2
22
2222222a b a b
a a
b b +=
+=+⋅+=+⨯-+
=
，
()
22222a b a b a a ⋅++=⋅==-
，
所以(
)
22
cos 222a b b
a a a
θ⋅
===++⨯r r
r r r r ，故选：C.
7．函数()1
πtan 2
3f x x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭在一个周期内的图像是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】利用正切函数的周期及单调区间排除错误选项，即可得到正确结果.【详解】函数()1
πtan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
的最小正周期π
2π12
T ==，
∵选项D 的最小正周期5πππ66T ⎛⎫
=--= ⎪⎝⎭
，D 错误；令π1ππππ,2232k x k k -
<-<+∈Z ，解得π5π2π2π,33
k x k k -<<+∈Z ，故()1πtan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为()π5π2π,2π33k k k ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦Z ，
取0k =，则()1πtan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为π5π,33⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，
故A 正确，B 、C 错误；故选：A.
8．龙洗是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．如图，现有一龙洗盆高15cm ，盆口直径为40cm ，盆底直径为20cm ．往盆内倒入水，当水深6cm 时，盆内水的体积近似为（
）
A ．3581πcm
B ．3872πcm
C ．31152πcm
D ．3
1436πcm 【答案】B
【分析】结合题意，利用平行线分线段成比例求得EF ，从而利用圆台的体积公式即可得解.【详解】如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长EC 与FD 交于点G .
根据题意，得20cm,10cm,15cm,6cm AB CD AC EC ====.设cm,cm CG x EF y ==，有
,CD CG CD CG
AB AG EF EG
==，即1010,20156x x x y x ==++，解得15,14x y ==，所以盆内水的体积为()
()
2222
31π141014106872
πcm 3
V =++⨯⨯=.故选：B.
二、多选题
9．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是（）
A ．234i i i i 0+++=
B ．2i 2
+=C ．若()2
12i z =-，则z 的虚部为4
D ．已知复数z 满足2z =，则复数z 在复平面内对应点的集合是以O 为圆心、以2为半径的圆【答案】AD
【分析】根据复数的乘方判断A ，根据复数的模判断B ，根据复数的乘法化简，再由复数的概念判断C ，根据复数的几何意义判断D.
【详解】对于A ：234i i i i i 1i 10+++=--+=，故A 正确；对于B ：222i 215+=+=，故B 错误；
对于C ：()()2
2
i 12i 412i 34i z =-=---+=，所以z 的虚部为4-，故C 错误；对于D ：令i z x y =+，,R x y ∈，因为2z =，所以222x y +=，则224x y +=，所以复数z 在复平面内对应点的集合是以O 为圆心、以2为半径的圆，故D 正确；故选：AD
10．已知,A B 为点，,,l m n 为直线，,αβ为平面，则下列命题成立的是（
）
A ．若m l ⊥，n l ⊥，则//m n
B ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥
C ．若∈A l ，B l ∈，且A α∈，B α∈，则l ⊂α
D ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥【答案】BC
【分析】对于AD ，利用线面的位置关系直观想象即可判断；对于B ，利用线面与面面平行与垂直的性质与判定定理判断即可；对于C ，利用平面的性质即可判断.
【详解】对于A ，若,m l n l ⊥⊥，则直线,m n 可能平行、相交或异面，故A 错误；对于B ，因为//,m n m α⊥，所以n α⊥.
又因为//n β，所以β内存在一条直线//l n ，所以l α⊥.
由l β⊂，从而得到αβ⊥，故B 正确；
对于C ，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线也在此平面内.因为∈A l ，B l ∈，且,A B αα∈∈，则l ⊂α，故C 正确；
对于D ，由m n ⊥，如下图示//,m m m β''⊂，此时//αβ，故D 错误.
故选：BC.
11．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的是（
）
A ．若A
B >，则sin sin A B >B ．若cos sin =+b a
C c A ，则45A =︒C ．若0AB AC BC AB AC
⎛⎫
⎪+⋅= ⎪⎝
⎭
，则B C =D ．若4a =，π6
B =，符合条件的AB
C 只有一个，则24b <<【答案】ABC
【分析】根据正弦定理判断A 、D ，利用正弦定理将边化角，再结合诱导公式及两角和的正弦公式即可判断B ，根据单位向量及向量加法的平行四边形法则判断C.
【详解】对于A ：在三角形中，由A B >可得a b >，根据正弦定理可得sin sin A B >，故A 正确；对于B ：因为cos sin =+b a C c A ，
由正弦定理可得sin sin cos sin sin sin()sin cos cos sin B A C C A A C A C A C =+=+=+，所以sin sin cos sin C A A C =，由在三角形中sin 0C >，
所以tan 1A =，又0180A <<︒︒，所以45A =︒，故B 正确；
对于C ：由AB AB
、AC AC uuu r uuu r 分别为向量AB 、AC 方向上的单位向量，根据平行四边形法则向量AB AC
AB AC +
平分角BAC ∠，又0AB AC BC AB AC
⎛
⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝
⎭
，所以AB AC =，所以B C =，故C 正确；
对于D ：若24b <<，即sin a B b a <<，此时符合条件的ABC 有两个，故D 错误．故选：ABC ．
12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是正方形1111D C B A 的中心，E 是PC 的中点，则以下结论正确的是（
）
A ．BD ⊥平面PAC
B ．平面1//PAD 平面BDE
C ．三棱锥
D BC
E -的体积为112
D ．异面直线PC 与AB 所成的角为45︒
【答案】ABC
【分析】对于A ，利用线面垂直的判定定理即可得解；对于B ，利用线面平行与面面平行的判定定理即可得解；对于C ，利用三棱锥的体积公式即可得解；对于D ，利用异面直线的定义与余弦定理即可得解.
【详解】对于A ，设AC 与BD 交于点O ，连接PO ，如图，
则PO ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以PO BD ⊥，
又,,,AC BD PO AC O PO AC ⊥=⊂ 平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，故A 正确；对于B ，连接OE ，
因为,O E 分别是,AC PC 的中点，则//OE PA ，
又OE ⊄平面1PAD ，PA ⊂平面1PAD ，故//OE 平面1PAD ，
易得1//D P BD ，又BD ⊄平面1PAD ，1D P ⊂平面1PAD ，故//BD 平面1PAD ，又OE BD O = ，,OE BD ⊂平面BDE ，所以平面1//PAD 平面BDE ，故B 正确；
对于C ，因为E 是PC 的中点，所以E 到底面ABCD 的距离为11
22PO =，
则1111
1132212
D BC
E E BCD V V --==⨯⨯⨯⨯=，故C 正确；
对于D ，因为//CD AB ，所以异面直线PC 与AB 所成的角为DCP ∠或其补角，连接PD ，则226
1,2
CD PC PD PO DO ===+=
，
在PCD 中，22
6612262cos ,626
212
DCP ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭∠=
=≠⨯⨯
所以异面直线PC 与AB 所成的角不等于45︒，故D 错误.故选：ABC.
【点睛】关键点睛：本题C 选项解决的关键是利用中点的性质得到E 到底面ABCD 的距离，从而利用等体积法即可得解.
三、填空题13．若5
sin cos 4
αα+=，则sin 2α=．
【答案】
916
【分析】根据二倍角的正弦公式及平方关系运算求解即可．【详解】∵5sin cos 4
αα+=
，∴()2
25sin cos 12sin cos 1sin 216
ααααα+=+=+=，∴9sin 216
α=
，故答案为：
916
．14．已知复数13i z =+，213i z =-+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点分别为1Z ，2Z ，则
12OZ OZ ⋅=
．
【答案】0
【分析】利用复数的几何意义得到12,Z Z 的坐标，从而得到12,OZ OZ
，由此利用向量的数量积运算即
可得解.
【详解】因为复数123i,13i z z =+=-+在复平面上对应的点分别为12,Z Z ，所以12(3,1),(1,3)Z Z -，则12(3,1),(1,3)OZ OZ ==-
，所以123(1)130OZ OZ ⋅=⨯-+⨯=
.
故答案为：0.
15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国
拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点间的距离为
.
【答案】805
【分析】根据题意，求得各个角度，即可得AD 长，根据正弦定理，可得BD 长，根据余弦定理，即可得答案.
【详解】因为135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，所以150ADC ∠=︒，15DAC DCA ∠=∠=︒，所以80AD CD ==，又因为120ACB ∠=︒，
所以135,30BCD CBD ∠=︒∠=︒，
由正弦定理得：sin sin BD CD
BCD CBD
=∠∠，即
80
1222
BD =
，解得802BD =，
在ABD △中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，所以222
280(802)2808022AB ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭
，解得805AB =m
.
故答案为：805
16．已知四棱锥P ABCD -的底面四边形ABCD 是边长为3的正方形，且PA ⊥平面ABCD ，3PA =，
点M 为线段PC 上的动点（不包含端点），则当三棱锥M BCD -的外接球的体积最小时，CM 的长为．
【答案】2
【分析】连接MA ，由题意知三棱锥M BCD -的外接球即四棱锥M ABCD -的外接球，然后设四棱锥M ABCD -外接球的球心为O ，半径为R ，连接AC 与BD 交于点1O ，利用几何体的结构特征分析出当O 与1O 重合时，三棱锥M BCD -的外接球的体积最小，然后设CM 的中点为N ，连接1O N ，利用三角形相似求得CN ，即可求得CM 的长
【详解】因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥，
连接MA ，由题意可知三棱锥M BCD -的外接球即四棱锥M ABCD -的外接球，则当三棱锥M BCD -外接球的体积最小时，四棱锥M ABCD -外接球的半径最小，设四棱锥M ABCD -外接球的球心为O ，半径为R ，连接AC 与BD 交于点1O ，当O 与1O 不重合时，连接1OO ，易知1OO ⊥平面ABCD ，则11OO O C ⊥，连接OC ，在1Rt OO C △中，1R OC O C =>
，
当O 与1O 重合时，1R OC O C ==，
所以当三棱锥M BCD -的外接球的体积最小时，O 与1O 重合，1R O C =.设CM 的中点为N ，连接1O N ，易知1O N CM ⊥，则11cos CN AC
O CN CO PC
∠=
=，所以23
23332
CN ⨯=
⨯⨯，解得1CN =，所以22CM CN ==
，
故答案为：2
四、解答题
17．已知复数()()2220235i z m m m m =--++-，m ∈R ．
(1)若复数z 为纯虚数，求实数m 的值；
(2)当3m =时，求i z z +．
【答案】(1)4
-(2)66i
+【分析】（1）根据实部为0，虚部不为0得到方程（不等式）组，解得即可；
（2）首先求出z ，再根据复数代数形式的运算法则计算可得.
【详解】（1）因为复数()()2220235i z m m m m =--++-为纯虚数，
所以222002350m m m m ⎧--=⎨+-≠⎩
，解得4m =-（2）当3m =时1420i z =--，所以()()2i i 1420i 1420i 14i 20i 1420i 66i z z +=--+-+=---+=+.
18．如图，AB 为半圆O 的直径，2AB =，C 为 AB 上一点（不含端点）.
(1)用向量的方法证明AC BC ⊥；
(2)若C 是 AB
上更靠近点B 的三等分点，Q 为 AC 上的任意一点（不含端点），求QA CB ⋅ 的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)1
2【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可证；
（2）利用坐标表示出QA CB ⋅ ，然后由三角函数性质可得.
【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系.
（方法一）由题意可知1OB =，设COB α∠=，则()0,απ∈，
()1,0A -，()10B ,，()cos ,sin C αα，
得
()cos 1,sin AC αα=+ ，()cos 1,sin BC αα=- ，所以22cos 1sin 110AC BC αα⋅=-+=-= ，
故⊥ AC BC ，即AC BC ⊥.（方法二）由题意可知1OB =，()1,0A -，()10B ,
，设(),C a b ，则221OB OC a b ==+=，得221a b +=，
得()1,AC a b =+ ，()1,BC a b =- ，
所以221110AC BC a b ⋅=-+=-= ，
故⊥ AC BC ，即AC BC ⊥.
（2）由题意得3COB π∠=，则13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，设QOB β∠=，则,3πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，()cos ,sin Q ββ，由（1）得13,22CB OB OC ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
，()1cos ,sin QA ββ=--- ，所以1131cos sin sin 22262QA CB πβββ⎛⎫⋅=--+=-- ⎪⎝
⎭ ，由,3πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得5,666πππβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，当62ππβ-=，即23πβ=时，()max 12QA CB ⋅= .故QA CB ⋅ 的最大值为12.
19．如图，在正六棱锥S ABCDEF -中，O 为底面中心，8SO =，4OB =．
(1)若M ，N 分别是棱SB ，SC 的中点，证明：//MN 平面SAD ；
(2)若该正六棱锥的顶点都在球Q 的表面上，求球Q 的表面积和体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)100πS =，500π
3
V =【分析】（1）依题意可得//MN BC ，再由正六边形的性质得到//AD BC ，即可得证；
（2）依题意可知球心Q 一定在直线SO 上，设球Q 的半径为R ，利用勾股定理求出R ，在根据球的表面积与体积公式计算可得.
【详解】（1）因为M ，N 分别是棱SB ，SC 的中点，
所以//MN BC ，在正六边形ABCDEF 中，60AOB OBC ∠=∠=︒，所以//AD BC ，
所以//MN AD ，
又MN ⊄平面SAD ，AD ⊂平面SAD ，所以//MN 平面SAD
（2）依题意可知球心Q 一定在直线SO 上，设球Q 的半径为R ，
则QS QB R ==，
又222QB OQ OB =+，所以()2
2284R R =-+，解得5R =，所以球Q 的表面积2
4π100πS R ==，体积34π500π33R V ==.
20．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2sin tan b A a B =．
(1)求角B ；
(2)若4a c +=，求ABC 周长的最小值，并求出此时ABC 的面积．
【答案】(1)π
3
(2)ABC 的周长的最小值为6，3
ABC S = 【分析】（1）将切化弦，再由正弦定理将边化角，即可得解；
（2）利用余弦定理及基本不等式求出b 的最小值，即可求出周长的最小值，与此时三角形的面积.
【详解】（1）因为sin 2sin tan cos B b A a B a B
==，即2sin cos sin b A B a B =，由正弦定理可得2sin sin cos sin sin B A B A B =，
因为sin 0A >，sin 0B >，所以2cos 1B =，所以1cos 2B =
，因为()0,πB ∈，所以π3
B =.
（2）由余弦定理()22222cos 3163b a c ac B a c ac ac =+-=+-=-，
即2316ac b =-，所以223163122a c ac b +⎛⎫=-≤= ⎪⎝⎭，所以24b ≥，解得2b ≥或2b ≤-（舍去），当且仅当2a c ==时取等号，所以min 2b =，
即ABC 的周长的最小值为6，此时1sin 32ABC S ac B == 21．已知向量()cos ,cos a x x = ，()
cos ,3sin b x x = ，函数()2f x a b =⋅ ，x ∈R ．(1)求函数()f x 的最小正周期、值域；
(2)对任意实数1x ，2x ，定义{}11212212,max ,,x x x x x x x x ≥⎧=⎨<⎩，设(){}
max 3sin ,cos g x a x a x =，x ∈R ，a 为大于0的常数，若对于任意1x ∈R ，总存在2x ∈R ，使得()()12g x f x =恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)π；[1,3]
-(2)230,3⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
【分析】（1）利用向量的数量积运算与辅助角公式化简()f x ，从而利用三角函数的性质即可得解；
（2）将问题转化为{}{}()()y y g x y y f x =⊆=，从而结合{}12max ,x x 的定义，分类讨论求得()g x 的
值域，由此利用数轴法即可得解.
【详解】（1）因为()cos ,cos a x x = ，()
cos ,3sin b x x = ，函数()2f x a b =⋅ ，所以2()2cos 23sin cos cos 23sin 212 f x x x x x b x a =⋅=+=++ π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2
T ==，因为x ∈R ，所以πsin 2[1,1]6x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以π2sin 21[1,3]6x ⎛⎫++∈- ⎪⎝
⎭，故函数()f x 的值域为[1,3]-.
（2）若对于任意1x ∈R ，总存在2x ∈R ，使得()()12g x f x =恒成立，则{}{}()()y y g x y y f x =⊆=，因为{}
3sin ,3sin cos ()max 3sin ,cos cos ,3sin cos a x a x a x g x a x a x a x a x a x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩，当3sin cos a x a x ≥时，则3sin cos 0a x a x -≥，即π2sin 06a x ⎛⎫-≥ ⎪⎝
⎭，因为0a >，则πsin 06x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即π2π2ππ,6k x k k ≤-≤+∈Z ，解得π7π2π,2π,66x k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦
Z ，则3()3sin ,32g x a x a a ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦
；同理当3sin cos a x a x <时，则5ππ2π,2π,66x k k k ⎛⎫∈-++∈ ⎪⎝⎭Z ，3()cos ,2g x a x a a ⎛⎤=∈- ⎥ ⎝⎦
，综上：()g x 的值域为3,32a a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，又()f x 的值域为[1,3]-，所以031233a a a >⎧⎪⎪-≥-⎨⎪⎪≤⎩，解得230,3a ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，所以实数a 的取值范围是230,3⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
.【点睛】关键点睛：本题解决的关键有二，一是将问题转化为()f x 与()g x 的值域之间的关系，二是理解新定义的含义，结合三角函数的性质，分类讨论求得()g x 的值域，从而得解.
22．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠= ，//AD BC ，AB AC ⊥，2AB AC ==，点E 在AD 上，且2AE ED =．
(1)已知点F 在BC 上，且2=CF FB ，证明：平面PEF ⊥平面PAC ；
(2)求点D 到平面PAB 的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)2
2
【分析】（1）证明出EF ⊥平面PAC ，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）取BC 的中点G ，连接DG ，取AB 的中点H ，连接GH ，分析可知点D 到平面PAB 的距离等于点C 到平面PAB 的距离，证明出GH ⊥平面PAB ，求出GH 的长，即为所求.
【详解】（1）由AB AC ⊥且2AB AC ==，可知ABC 是等腰直角三角形，且22222BC AB AC =+=+=，
又因为四边形ABCD 为直角梯形，且90ADC ∠= ，//AD BC ，则45CAD ACB ∠=∠= ，所以，2cos 45212AD DC AC ===⨯= ，因为2BC =，2AE ED =，2=CF FB ，所以，2221333AE AD ==⨯=，1122333BF BC ==⨯=，又因为//AD BC ，即//AE BF ，且AE BF =，所以，四边形AEFB 为平行四边形，即//EF AB ，又因为AB AC ⊥，故EF AC ⊥，
因为PA ⊥底面ABCD ，EF ⊂底面ABCD ，所以，EF PA ⊥，因为PA AC A = ，PA 、AC ⊂平面PAC ，所以，EF ⊥平面PAC ，因为EF ⊂平面PEF ，因此，平面PEF ⊥平面PAC .（2）取BC 的中点G ，连接DG ，
因为//AD BG ，12
AD BC BG ==，则四边形ADGB 为平行四边形，所以，//AB DG ，
因为AB ⊂平面PAB ，DG ⊄平面PAB ，所以，DG//平面PAB ，所以，点D 到平面PAB 的距离等于点G 到平面PAB 的距离，因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以，AC PA ⊥，又因为AC AB ⊥，AB PA A = ，AB 、PA ⊂平面PAB ，所以，AC ⊥平面PAB ，取AB 的中点H ，连接GH ，
因为H 、G 分别为AB 、BC 的中点，所以，//GH AC ，所以，GH ⊥平面PAB ，
又因为45ABC ∠= ，所以，点G 到平面PAB 的距离为1222GH AC ==，所以，点D 到平面PAB 的距离为22.。