关于抛物线定值问题的探究

2019年第1期中学数学研究25
y = * .e*的单调区间：（-〇〇，1)为减，（1，+ 〇〇 )为增，而当X时，y — o,所以y = 0为函数的渐
近线，如图6所示，即i a e (-?〇)， e (
e).
另外我们熟悉的y = % •,、;>■ = 士、y = @、y =
e «
x l m这类混合型的函数也经常“活跃”在近几年的模考、高考试卷中，我们都可以通过自变量逼近的方 法判断出函数的渐近线.
由上述这些练习可以知道，渐近线在我们平时 的数学练习中反复出现，存在就有存在的意义、价 值，所以我们要把它研究透彻，研究细致.从另一方 面讲，渐近线其实不可怕，可怕的是我们没有具备发 现、挖掘它的一双“慧眼”，而这双“慧眼”并不是与 生倶来，是需要通过不断的训练而慢慢养成的.
关于拋物线定值问题的探究山东聊城大学数学科学学院（252000)卢颖于兴江
圆锥曲线问题是一类非常重要的问题，历年高
考都考及圆锥曲线的知识，且该类考题极具研究价
值.基于此，笔者利用几何画板对2018年北京理科
卷的第19题进行浅析，将其推广到一般的抛物线.
(2〇18年北京理数19题）已知抛物线C:y2 =
2/k c经过点P(l,2),过点(?(0,1)的直线Z与抛物线
C有两个不同的交点且直线P A交y轴于M，直
线交;r轴于7V.
(1)求直线Z的斜率的取值范围；
--->■--->■--->■--->■
(2)设 0为原点，有求
证:Y + 一为定值•
A/U.
我们利用几何画板探究得到：
定理 抛物线C:y2= > 0)经过点
，/>)，过点以〇,|)的直线Z与抛物线C有两个
不同的交点且直线交y轴于M，直线P S交
---->■ ---->■ ---->■ ---->■
y 轴于 A/■.设 0为原点，有= A M(?0,
则}+ 丄=2_
证明：设
召(巧，72)，直线= ^+ 因为直线z与抛物线C有两个不同的交点，则
+ f，即以 + (知- l-y2= 2px9
■>
\
W
图1
2/0% = 0,则有+%2 = P^2j2k\Xl X2 =為
直线/M的方程为^-^
Yi-P P_
P_
)，令
% = 〇,则 7m= -^―，同理可得;T i v = •
Yi +p y2 +p
P ~2J m
由_ = =弘一，得A
匕二则|+丄丄^_
P A a
P
^p_2yM p_2yN P 2pyi
Yi+P
V - 2riT2
… 2PJ2P+JlTz - (jl+ Ji)p
p -
y2+p
2p2 - 2(kx1 + -^~)(kx2 + ^-)
p2 + (kx1 + ^-) (kx2 + ^-) - (kx1 + kx2 + p)p
O h11
f =2.观察上式发现++丄与斜率和/)均无关，
k A f i
+ +丄为定值2.
A f x
注:2018年北京理科卷第19题中，易得到抛物
线方程为y2= 4x•由定理可得~|- +丄= 2.
A f x
由一道高考题探究到一般情况下的圆锥曲线的
问题，可以培养学生的探究能力与创新思维，提高解
决问题的能力•
参考文献
[1]张鑫，于兴江.一道高考圆锥曲线题中的定点问题[J]
.
•26.
中学数学研究 2019年第1期
中学数学研究（江西），2018,4.24 - 27.
的探究[J ].中学数学研究（江西），2018,3.26 -28.
[2]张慧,于兴江.一道全国高中数学联赛湖南赛区预赛题
透视“隐圆”，让其“圆形”毕露
江苏省常州高级中学（213003)周洁杨元鞾
求曲线的轨迹方程是解析几何研究的两大基 本问题之一.但在有些解析几何问题中，看不到动点 满足的轨迹的直接条件，读不出求动点轨迹重要性 或必要性，而是将轨迹的条件极其隐晦地融入到条 件中，求轨迹的重要性或必要性在解题过程中却体 现得淋漓尽致.解决这类问题往往需要解题者自主 探索并发现轨迹，并能灵活运用轨迹实现问题的转 化.而圆作为一个极其完美的图形之一，其轨迹常常 会用多种形式来隐晦地表达，我们把它称之为“隐 圆利用“隐圆”的条件，常常来考察直线与圆、圆 与圆的位置关系、线段的长或参数的最值等问题.
笔者对近些年含有“隐圆”条件的典型高考题 和模拟题进行了较为系统梳理，并总结了几种常见 的“隐圆”的“隐”的方式，有些还从不同的角度去 解读，让其“圆形”毕露的同时，也提高学生对条件
的转化能力.1. 平面内，到定点的距离等于定长（大于0)的
点的轨迹为圆，这是圆的定义.直接利用圆的定义是
设计“隐圆”条件的最基本的方式.
例 1 如果圆（x -2a )2 + (y -a -3)2 = 4 上
总存在两个点到原点的距离为1，求实数a 的取值范
围.
评析：注意到到原点距离为1的点的轨迹为以
原点为圆心的单位圆V +y 2 = 1，则可将原条件转 化成已知圆与“隐形”圆x 2 + y 2 = 1相交•
例2 (2016年南京二模第12题）已知圆0”2+ y2 = 1，圆 M:(x - a )2 + (y - a + 4)2 = 1，若圆 Af 上存在点P ,过点P 作圆0的两条切线，切点为,
若= 60°，则a 的取值范围为________.
评析:根据平面几何的知识得到〇户=2,因此
点P 的轨迹是“隐圆”％2 +/= 4.于是原条件可转 化成“隐圆、2 + / = 4与圆M 有公共点.
2. 平面内，设上5为定点且AS =a ,若
=
APB (A 为常数，A > 〇且A # 1)，则点P 的轨迹为 *
圆.
平面内到两定点的距离之比为常数A(A >0且 A # 1)的点的轨迹为圆，该圆称为阿波罗尼斯圆，
证明过程略.利用阿波罗尼斯圆为背景设置“隐圆” 条件，在江苏省近十年高考中出现两次，在各地模拟 题中也经常出现.
例3 (2〇08年江苏高考第13题）满足条件=2,4C =々"S C 的三角形的面积的最大值为
评析:从解析几何角度，以所在的直线为％
轴，
的中点为坐标原点，建立直角坐标系x O y ,很
容易得出点C 的轨迹为两段圆弧（注：实质上是圆去 掉与直线的交点），其方程为（％ -3)2+/ =8(y # 0)•明显，边上高的最大值为圆的半径，从而 易得三角形A B C 的面积的最大值•
例4 (2〇13年江苏高考第17题）在平面直角
坐标系x O y 中，点A (0,3),直线=2x -4,设圆C
的半径为1，圆心C 在直线Z 上.（1)略；（2)若圆C
上存在点M ，使=2M O ,求圆心C 的横坐标a 的
取值范围.
评析：第（2)问点M 在由=2M O 确定的“隐
圆”上，其方程为a ：2 + (;y + l )2 =4•又点M 在圆C 上，进而原条件转化成“隐圆”与圆C 有公共点.
3.平面内，设为两定点且仙=a ，若/M 2 +洲2 =A (A 为常数，且A >|)，则点尸的轨迹为圆.下面给出了这_结论两种不同的视角的解读.
解析几何视角：以直线为x 轴，线段的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系％〇y ，则4(-|，〇)，S (f ，0)•设 P b j )，则由 /M 2 + 洲2 = A 得
2 2(x + |) +y2 + (x - f ) +y2 = A ，整理得x2 + y2
*本文系教育部基础教育课程教材发展中心课题《高中数学选择性课程资源的开发与应用》（编号:XB 20150311)之“数 学理解”
的研究成果.。