高一数学A版必修二《直线与方程》3.3.1~3.3.2 PPT课件

第三章§3.3直线的交点坐标与距离公式
3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.
3.掌握两点间距离公式并会应用.
知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠
知识梳理自主学习知识点一两条直线的交点坐标
1.两条直线的交点
已知两直线l
1：A
1
x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝
0(A2，B2不同时为0).
(1)基本知识——点与坐标的一一对应关系
几何元素及关系代数表示
点P P(a，b)
直线l l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)点P在直线l上Aa＋Bb＋C＝0
(2)两条直线的交点
直线l 1与l 2的交点是P 方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解是⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝a ，
y ＝b
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0，
A 2x ＋
B 2y ＋
C 2＝0.
若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标； 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.
2.过定点的直线系方程
已知直线l
1：A
1
x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0交于点P(x0，
y0)，则方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示的直线系，不包括直线l
2
.
思考若两直线的方程组成的二元一次方程组有解，则两直线是否相交于一点？
答不一定.两条直线是否相交，取决于联立两直线方程所得的方程组是否有惟一解.若方程组有无穷多个解，则两直线重合.
过点P
知识点二 两点间的距离公式 1.两点间的距离
平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式
|P 1P 2
|＝ .
2.两点间距离的特殊情况
(1)原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝ .
(2)当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝ . (3)当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝ .
|x 2－x 1| |y 2－y 1| (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2
x 2
＋y 2
思考当两点A(x
1，y
1
)，B(x2，y2)都在同一坐标轴上时，两点间距离公
式还适用吗？
答适用.当两点都在x轴上时，|AB|＝|x
1－x
2
|；当两点都在y轴上时，|AB|
＝|y
1－y
2
|.
题型探究重点突破题型一两直线的交点问题
例1求经过两直线l
1：3x＋4y－2＝0和l
2
：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标
原点的直线l的方程.
跟踪训练1求经过两条直线l
1：x－2y＋4＝0和l
2
：x＋y－2＝0的交点P，
且与直线l
3
：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.
题型二两点间距离公式的应用
例2已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)、B(3，－3)、C(1，7)，试判断△ABC的形状.
跟踪训练2已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P 的坐标.
解设点P的坐标为(x，0)，由|P A|＝10，
得(x－3)2＋(0－6)2＝10，
解得：x＝11或x＝－5.
所以点P的坐标为(－5，0)或(11，0).
题型三 坐标法的应用
例3 求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半.
又由中点坐标公式，得D (m 2，n 2)，E (c ＋m 2，n 2
)， 证明 如图，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，其中D ，E 分别为边AC 和BC 的中点.
设A (0，0)，B (c ，0)，C (m ，n )，
则|AB |＝|c |.
即三角形的中位线长度等于底边长度的一半.
∴|DE |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋m 2
－m 2＝|c 2|，∴|DE |＝12|AB |.
跟踪训练3已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.
求证：|AC|＝|BD|.
证明如图所示，建立直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c).
∴|AC|＝(b－0)2＋(c－0)2＝b2＋c2，
|BD|＝(a－b－a)2＋(c－0)2＝b2＋c2.
故|AC|＝|BD|.
数形结合思想
数学思想
例4已知两点A(2，3)，B(4，1)，直线l：x＋2y－2＝0，在直线l上求一点P，
(1)使|P A|＋|PB|最小；
(2)使|P A|－|PB|最大.
利用函数的几何意义求最值
解题技巧
例5已知函数y＝x2＋1＋x2－4x＋8，求函数的最小值.
当堂检测 1 2 3 4 5
1.经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )
A.2x ＋y －8＝0
B.2x －y －8＝0
C.2x ＋y ＋8＝0
D.2x －y ＋8＝0
∴交点坐标为(1，6).
由垂直关系，得所求直线的斜率为－2，
则所求直线方程为y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.
A 解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋4＝0，x －y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝6.
2.
直线ax ＋2
y ＋
8＝0，
4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( )
A.1
B.－1
C.2
D.－2
B ∴交点坐标为(4，－2)，
代入方程ax ＋2y ＋8＝0，解得a ＝－1.
解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y ＝10，2x －y ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4，y ＝－2.
3.两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m 的值为()
A.－24
B.6
C.±6
D.以上答案均不对
C
解析直线2x＋3y－m＝0在y轴上的截距为m
3
，
直线x－my＋12＝0在y轴上的截距为12
m
.
∵两直线的交点在y轴上，
∴
12
m
＝m
3
，解得m＝±6.
4.直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( )
A.32
B.23
C.－32
D.－23
1 2 3 4 5
5.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|＝_____.解析设A(x，0)，B(0，y)，
∵AB中点P(2，－1)，
∴x
2＝2，y
2
＝－1，
∴x＝4，y＝－2，即A(4，0)，B(0，－2)，
∴|AB|＝42＋22＝2 5.
25
课堂小结
1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有惟一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2).
2.解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.
3.两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.
本课结束。