优质：北京市东城区2016-2017学年高二下学期期末教学统一检测理数试题(解析版)

1．【答案】B
【解析】复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点所在象限在第二象限，
选
2．【答案】A
【解析】削去参数得：，直线的斜率为，选A.
3．【答案】A
【解析】，令，则，的系数
为，选A.
6．【答案】C
【解析】从大小完全相同的6个红球和4个黑球，从中任取2个球，有种取法，所取出的两个球中恰有1个红球有种取法，则所取出的两个球中恰有1个红球的概率为，故选.
7．【答案】D
【解析】由于函数满足，故函数为偶函数，函数图象关于轴对称，排除B，当时，，，若时，，当时，，而
，显然，从而可知，函数在上为增函数，选.
8．【答案】B
【解析】甲不能确定故排除2排4号，甲肯定乙一定不能确定，所以拿到的排数必然不是乙能直接确定的
的4排2号所在的排数，故排除4排；然后乙说那么他能确定了，由于3号对应两个位置，而4号，1号，8号对应的位置唯一确定，所以必是三个中的一个；甲思考乙既然能确定，必然是上述三个，根据最后甲也确定，1排有两个可以，而3排唯一，所以是3排1号.
9．【答案】
【解析】.
10．【答案】0
【解析】.
13．【答案】108
【解析】若选粉色系列有种选法，若选黄色系列有种选法，佳佳可定制的混合花
束一共有种.
14．【答案】(1)．（0，5）(2)．(3)．
【解析】本题自定义：，，（其中），
已知若，，则=.
又，且，，则，，不妨在内任取两组数和，为了满足，即，取和，此时恰好满足，则.
15．【答案】(1) ；(2)详见解析.
【解析】试题分析：利用导数的几何意义，对函数求导，求出函数在的导数值，借助点斜式求出切线方程；对函数求导，解出极值点，研究函数单调性，求出出极值.
试题解析：（I），．
则，则函数在点处的切线方程为，化简得．（II）令，解得．
当变化时，，的变化情况如下表：
因此，当时，有极大值，并且极大值为；
当时，有极小值，并且极小值为．
（II）根据列联表中的数据，利用公式可得的观测值
．，
有99%把握认为观看该剧的方式与年龄有关．
17．【答案】(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)．(8)．(9)．(10)．(11)．(12)．(13)．2 (14)．2 (15)．(16)．
【解析】试题分析：思路1.由于，令，可求出的值，再令，可求出的值，再令，可求出的值，利用不完全归纳法，归纳猜想出，再用数学归纳法加以证明，这是一种“归纳—猜想—证明”思维方式，从特殊到一般的归纳推理方式；思路2.采用构造法直接求出数列得通项公式.
②假设（N*）时，猜想成立，即，
那么，当时，由已知，得，
又，两式相减并化简，得，
（用含的代数式表示）．所以，当时，猜想也成立．
根据①和②，可知猜想对任何N*都成立．
思路2．先设的值为1，根据已知条件，计算出，
由已知，写出与的关系式：，
两式相减，得与的递推关系式：，
整理：，
发现：数列是首项为2，公比为2的等比数列．
得出：数列的通项公式，进而得到．
【点睛】本题给出了两种求数列通项公式的思维途径，一是构造法，直接利用转化思想解题，通过转化，把普通数列转化为特殊数列（等比数列），借助等比数列的通项公式解题，可以体会到数学的化归与转化思想在解题中的应用价值，二是不完全归纳法求数列的通项公式，这是一种“归纳—猜想—证明”思维方式，从特殊到一般的思维方式，这种归纳思想在探索、研究各科学领域中广为应用.
18．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.
【解析】试题分析：王老师在一个工作日内上下班所花费的总交通费用可能取值为2，4，6，求出出总交通费用X值对应得概率，列出概率分布列并求出数学期望；计算王老师6月22个工作日平均每天出行的费用
，利用计算出，比较与，给出结论.
试题解析：
（I）依题意，X可能的取值是2，4，6，因此X的分布列为
由此可知，X的数学期望为．
（II）判断：有95％的把握认为王老师该月的出行规律与3~5月的出行规律相比有明显变化．
理由如下：
6月共有22个工作日，共花费交通费用110元，
平均每天出行的费用（元）．又
，
则．
有95％的把握认为王老师该月的出行规律与3~5月的出行规律相比有明显变化．
19．【答案】(1)详见解析；(2) .
试题解析：（I），当时，恒成立，则在上单调递增；当时，令，则．则在区间上单调递增，在区间上单调递减．（II）方法1：
当时，因为，
所以不会有，．
②当时，由（I）知，在上的最大值为．
所以，等价于．即．
设，由（I）知在上单调递增．
又，所以的解为．
故，时，实数的取值范围是．
方法2：，等价于.令，则．
令，则．
因为当，恒成立，
所以在上单调递减．
又，可得和在上的情况如下：
所以在上的最大值为．
因此，等价于．
故，时，实数的取值范围是．
20．【答案】(1)；(2)详见解析；(3)441.
【解析】试题分析：本题为新定义信息题，根据知：
，而，则；根据数学期望公式写出，由于，求出的表达式，根据方差公式写出并推到证明；第三步写出的取值2，3，4.，……12，求出相应的概率，写出函数并求出的值.
由的方差定义可知
（III）方法1．投掷一枚骰子一次，随机变量的生成的函数为：
．
投掷骰子两次次对应的生成函数为: ．
所以．
方法2：的取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．
则的分布列为
．
则．。