最优控制方法在直线二级倒立摆中的应用

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二级倒立摆系统的最优控制

J= 1 T T ∫ [ x (t )Qx(t ) + u (t ) Ru(t )]dt 20
∞
ut
+
B
+
1 /S
x
C
y
A
R-1BT
P
五、仿真分析
将某二级倒立摆系统模型各参数代入式1-8，得出系数矩阵设, 写出Matlab程序如下：
A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1; 0,-2.57163,0.164291,-16.6674,0.0124145,0.005; 0,29.9499,-15.1957,40.3167,-0.204856,0.17380; 0,29.9499,65.4455,-49.3949,0.463474,-0.59148]; B=[0;0;0;8.64636;-20.9146;25.9146]; C=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0];D=[0;0;0]; %求开环特征值 r1=eig(A) %加入最优反馈器 q1=100;q2=10;q3=5000;q4=0;q5=0;q6=0; Q=[q1 0 0 0 0 0;0 q2 0 0 0 0;0 0 q3 0 0 0;0 0 0 q4 0 0;0 0 0 0 q5 0;0 0 0 0 0 q6];R=1; %求最优增益矩阵、黎卡提方程的解、闭环特征值 [K,P,r2]=lqr(A,B,Q,R) Ac=[(A-B*K)];Bc=[B];Cc=[C];Dc=[D]; T=0:0.02:20;U=zeros(size(T)); x0=[0;-0.05;0.1;0;0;0]; [Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T,x0); %绘制下摆偏离垂直方向的角度变化曲线 figure(1);plot(T,Y(:,1)); xlabel('Time/sec');ylabel('01/rad');grid; %绘制上下摆角度之差的曲线 figure(2);plot(T,Y(:,2)); xlabel('Time/sec');ylabel('02-01/rad');grid; %绘制小车位移曲线 figure(3);plot(T,Y(:,3)) xlabel('Time/sec');ylabel('x(小车)/m');grid;

针对二级倒立摆的LQR控制系统设计

目录0. 前言 (1)1. 倒立摆 (2)1.1倒立摆的结构和工作原理 (2)1.2 倒立摆的特性 (3)1.3控制方法 (3)1.4课设目的 (4)2. 直线二级倒立摆的数学模型的建立与分析 (4)2.1建立数学模型 (4)2.2 系统的能控能观测性分析 (8)3. LQR控制器的设计 (9)3.1关于二次型最优控制（LQR） (9)3.2 LQR的基本原理 (10)3.3加权阵Q和R的选择 (11)4. LQR控制器参数的调试与仿真 (12)5. 总结与体会 (17)参考文献 (18).课设题目针对直线二级倒立摆的LQR控制系统设计金万福沈阳航空航天大学自动化学院摘要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的高阶不稳定系统，它是检验各种新的控制理论和方法有效性的典型理想模型。

在其控制过程中，能有效地反映诸如镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多关键问题。

本文主要研究二级倒立摆LQR控制方法。

首先建立了二级倒立摆的数学模型，然后对二级倒立摆的数学模型进行控制设计，应用遗传算法确定系统性能指标函数中的加权阵Q，R得到系统状态反馈控制矩阵。

最后，用MATLAB进行了系统仿真。

在几次凑试Q矩阵值后系统的响应结果都不尽如人意，于是采用遗传算法对Q矩阵优化。

仿真结果证明：经过遗传算法优化后的系统响应能更加满足设计要求。

关键词：二级倒立摆；LQR控制；遗传算法0. 前言随着现代科学技术的快速发展，控制工程所面临的问题越来越复杂。

许多系统具有严重非线性、模型不确定、大滞后等特点。

倒立摆就是这样的复杂系统，对它的研究具有一般性。

倒立摆源于火箭发射器，最初的研究开始于二十世纪50 年代，由美国麻省理工学院的控制理论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。

倒立摆的控制技巧同杂技运动员倒立平衡表演有异曲同工之处，这表明一个不稳定的被控对象，通过人的直觉、采取定性的手段，可以使之具有良好的稳定性。

基于LQR最优调节器的二级倒立摆控制系统

分依赖人类直接控制被控对象的经验。文献【，］出了倒立摆拟人控制方法，统的稳定范围大，棒３４提系鲁性好，控制率从定性到定量的转化较复杂。本文采用基于状态空间设计法的Ｌ但ＱＲ最优调节器，好较地兼顾了系统的鲁棒稳定性和快速性，究应用实例说明了该方法的有效性。研
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２ｏ年５月Ｏ７
安度师范学院学报（自熊科学版）
ＪｕｌｆｎｉｅｃｅｓＣｌｇ（ａｒｃｎｅＥｉｎｏｍａｏＡｑｇＴａｈｒｏｅｅＮｔａＳｉｃｄｉ）ｎｌｕｌｅｔｏ
收稿日期：０６０ — ８２０ — ７２
作者简介：吴文进（９５，，１７一）男安徽安庆人，安庆师范学院物理与电气工程学院教师，硕士，主要研究现代控制理论及其应用。
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锁良：基于ＬＲ最优调节器的二级倒立摆控制系统Ｑ得
摘要：倒立摆是一个典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统。对倒立摆系统的稳定性研究在理论
上和方法上具有深远的意义。本文建立了二级倒立摆的数学模型。并推导出模型的状态空间表达式，分析了系
统的稳定性，能控性和能观性。利用了线性二次型最优调节器（ＱＲ）Ｌ方法实现对二级倒立摆的最优控制，ＭＡＬＢＴＡ仿真结果表明了该方法的有效性。关键词：二级倒立摆；最优调节器；最优控制

二阶倒立摆的稳定性控制

二阶倒立摆的稳定性控制摘要:本文研究了二阶倒立摆系统的控制方法,采用极点配置、LQR最优控制设计了控制器,通过仿真,分析指出各种方法的优缺点。

在极点配置法中,通过仿真实验寻优,得到具有较好稳定性的初始值。

在LQR最优控制器的设计中,采用仿真结果表明:该控制策略能满足系统的控制要求,系统具有良好的动态性能。

关键词:二阶倒立摆极点配置LQR最优控制倒立摆系统是应用于自动控制理论的经典实验装置,是一个复杂的多变量、高度非线性、强耦合和快速运动的绝对不稳定系统,对于倒立摆的稳定性控制,不仅有重要的理论意义,而且还有很重要的工程意义。

一方面倒立摆系统成本低廉,结构简单,物理参数和结构容易调整的优点,在实验条件下容易实现。

对于倒立摆的控制会涉及控制中的许多关键问题,如镇定问题、跟踪问题、随动问题、非线性问题、及鲁棒性问题。

另一方面,任何重心在上,支点在下的控制问题都可以近似于倒立摆系统,如机器人行走的平衡问题,火箭发射的垂直控制和卫星飞行中的姿态控制等。

1 二阶倒立摆系统二阶倒立摆系统的机械部分主要由小车、摆杆1,2、导轨、皮带轮、传动皮带等组成,电气部分由电机、功率放大器、PWM、传感器、驱动电路以及保护电路组成。

1.1 二阶倒立摆的数学模型[1]假设:摆杆及小车为刚体;皮带轮及皮带间无相对滑动,皮带无伸长;小车的驱动力与直流放大器的输入成正比,且无滞后;忽略电极电枢绕组中的电感、库仑摩擦、动摩擦。

系统各参数如下。

M(小车质量)为1.32kg;m1(摆杆1质量)为0.04kg;m2(摆杆2质量)为0.132kg;m3(质量快的质量)为0.208kg;l1(摆杆1转动中心到杆心的距离)为0.09m;l2(摆杆2转动中心到杆心的距离)为0.27m;(摆杆1与垂直方向的夹角);(摆杆2与垂直方向的夹角);F(作用在系统上的外力);g(重力加速度)为9.8。

2 控制设计及仿真2.1 用极点配置设计伺服系统设计要求:二阶倒立摆尽可能的保持倒立垂直()。

直线二级倒立摆的控制问题的研究和matlab仿真毕业设计说明书精品推荐

直线二级倒立摆的控制问题的研究和matlab仿真摘要倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的高阶不稳定系统，它是检验各种新型控制理论和方法有效性的典型装置。

近年来，许多学者对倒立摆系统进行广泛地研究。

本文研究了直线二级倒立摆的控制问题。

首先阐述了倒立摆系统控制的研究发展过程和现状，接着介绍了倒立摆系统的结构并详细推导了二级倒立摆的数学模型。

本文分别用极点配置、LQR最优控制设计了不同的控制器，通过比较和MATLAB仿真，验证了所设计的控制器的有效性、稳定性和抗干扰性。

关键词: 倒立摆；极点配置；最优控制； MATLAB；仿真ABSTRACTInverted pendulum is a typical multi-variable, non-linear, strong coupling and rapid movement of high-end system instability, It is testing various new control theory and methods of the effectiveness of the typical devices. In recent years, many scholars of the inverted pendulum extensive study.In this paper, a straight two inverted pendulum control problem.First on the inverted pendulum control of the development process and the status quo, then introduced the inverted pendulum system and the detailed structure of the two inverted pendulum is derived a mathematical model. In this paper, with pole placement, LQR optimal control design a different controller, By comparing and MATLAB simulation, verified the effectiveness ,stability and anti-jamming of the controller.Key words：Inverted pendulum；Pole Assignment；Optimal Control；MATLAB；Simulation目录摘要 (1)ABSTRACT (2)第一章绪论 (5)1.1 控制理论的发展 (5)1.2 倒立摆系统简介及其研究意义 (5)1.3 倒立摆研究的发展现状及其主要控制方法 (7)1.4 本人所做工作 (8)第二章直线二级倒立摆数学模型的建立 (10)2.1 倒立摆系统的物理结构及特性分析 (10)2.2 系统的数学建模 (11)2.2.1 两种数学建模方法的比较 (11)2.2.2 系统数学建模参数的设定 (12)2.2.3 直线二级倒立摆的拉格朗日方程建模 (13)2.2.4 二级倒立摆系统数学模型的线性化 (17)2.3 系统参数的设定 (19)2.4 倒立摆系统的初步运动分析 (20)第三章直线二级倒立摆控制方案的设计 (22)3.1极点配置控制方案的设计 (22)3.1.1 极点配置理论 (22)3.1.2 极点配置算法 (23)3.2 线性二次型最优控制(LQR)方案的设计 (24)3.2.1 线性二次型最优控制原理 (24)3.2.2 Q, R阵的选择 (26)第四章控制系统的MATLAB仿真 (27)4.1 仿真软件的介绍 (27)4.1.1 MATLAB简介 (27)4.1.2 MATLAB7.0简介 (28)4.1.3 Simulink 6.0仿真工具箱简介 (29)4.2 无干扰控制系统的仿真 (30)4.2.1 极点配置控制方案的仿真 (32)4.2.2 线性二次型最优控制(LQR)方案的仿真 (36)4.3 干扰条件下控制系统的仿真 (40)4.3.1 极点配置控制方案的仿真 (42)4.3.2 线性二次型最优控制(LQR)方案的仿真 (45)结论 (50)致谢 (52)参考文献 (53)第一章绪论1.1 控制理论的发展控制理论发展至今已有100多年的历史，随着现代科学技术的发展，它的应用也越来越广泛。

倒立摆研究报告(DOC)

基于LQR控制的二级倒立摆系统研究作者：牛娟031210308王晨琳031210307王鹤彬031210312 学院：自动化指导老师：王晶、陆宁云摘要倒立摆系统是一种高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的系统，是进行控制理论研究的典型实验平台。

本文采用最优控制的方法设计二级倒立摆系统的控制器。

首先简要介绍了倒立摆以及倒立摆的几种常见控制方法，着重介绍了最优控制理论，其次对二级倒立摆系统进行了数学建模，最后对线性二次型最优控制原理进行了分析并使用MATLAB进行了仿真。

关键词：二级倒立摆，最优控制目录一、绪论 (3)1.1、倒立摆系统简介 (3)1.2、倒立摆系统的控制算法 (3)1.3、小结 (4)二、直线倒立摆的建模 (4)2.1、直线二级倒立摆的建模 (4)2.2、直线二级倒立摆的定性分析 (6)三、基于MATLAB的LQR仿真 (9)3.1、最优控制（LQR）简介 (9)3.2、线性二次型最有调节器原理 (9)3.3、MATLAB仿真 (10)3.4、SIMULINK仿真 (11)四、结束语 (13)4.1、小结 (13)4.2、未解决问题展望 (13)五、附录 (13)一、绪论1.1、倒立摆系统简介倒立摆系统是一种高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的系统，是进行控制理论研究的典型实验平台。

许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来。

在控制理论发展的过程中，某种控制理论的正确性及可行性需要通过设计一个控制器去控制一个典型的控制对象去加以验证。

倒立摆系统正是这样一种比较典型的控制对象。

最简单的倒立摆可由一个可在水平轨道上自由移动的小车和倒置摆铰链组成。

倒立摆的种类繁多，分类方法也多种多样：按结构来分有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆；按级数来分有一级摆，二级摆，三级摆乃至更高级摆；按运动轨道来分有水平轨道倒立摆，倾斜轨道倒立摆；按控制电机数目来分有单电机倒立摆，多电机倒立摆。

线性二次型最优控制在倒立摆系统中的应用

中图分类号：Ｄ５Ｔ８７
ＡｐｃｔｎｏＱＲｎｅｔｄＰｎｕｕＳｓｍｐｆａｉｆｉｏＬｉＩｖｒｅｅｄｌｍｙｔｎｅ
ＸＩｉｒｎＵｅＥＬ —ｏｇ．Ｗｉ
（ｏｅｅｏＥｅｔｃｌｎｉｅｎ，ｉｉｇＵｉｒｔ，ｒｍｉ３０８ｈａＣｌｇｌｒａＥｓｅｒｇＸｎａｎｅｉＵｕｑ８００，Ｃｉ）ｌｆｃｉｎｉｊｎｖｓｙｎ
有非常重要的位置．由于线性二次型（Ｑ性能指标Ｌ）
态特性等优点，性二次型在控制界得到普遍重线
视．通过倒立摆ＬＲ最优控制系统设计与研究，Ｑ并从实时控制效果出发，找出系统的动态响应与加权
阵Ｑ和之间的变化规律，用于指导实践．并
收稿日期；０８６１２０ —０ —１基金项目：新疆维吾尔自治区精品课程建设项目（０５３；２０４）新疆大学院校联合项目（７２１．０００）作者简介：谢丽蓉（９９，，１６一）女讲师，主要从事自动控制理论、系统教学与研究．
ｉｅｅｎｕｔｇｏｅｔＴｅｅｈｅａｉＱａｄＲａ￣ｚｒｇｍｅｎｅｅｎｎｒｄｐｄｕｖｔｅｌｍｈｏｄｅｃ．ｈｉｔｍｔｘｒａｙｅｔｏｈｓｖｒｐ — ｆｗｇｄｒｎｅｎｄｈｕｏｉｔｅｄｄｕｘｅｉｎｅｒｉｅｅＱａｄＲ．ｅｂｓｗａｅｂｅｕｄｏｔｅｅｎｔｓｍ — ｌｕｅｐｒｔｔｄｔｍｎＴａｉｌｓｖｅｎｆｎｕｂｔｅｅｓｔｒｍｍｅｓｏｅｈｔｎｈｃａｈｏｗｈｙｅｅｓｎｅｐｒｒａｃｄｔｅｍｔｘＱａｄＲ．Ｔｅｅｐｒｅｔｅｕｓｓｏｅｃｎｌｉｉｔａｄｅｐｓｆｍｎｅａａｈｘｅｍｎｌｒｌｈｗｔｏｃｓｎｉｒｅｏｎｈｉｒｎｉａｓｔｈｕｏｓｇｎｈ

直线二级倒立摆控制课程设计指导书

直线两级倒立摆控制课程设计指导书一、课程设计目的学习直线两级倒立摆的数学建模方法，运用现代控制理论知识设计控制器，应用Matlab进行仿真并与实际系统运行结果进行对比分析。

通过本次课程设计，建立理论知识与实体对象之间的联系，加深和巩固所学的控制理论知识，增加工程实践能力。

二、课程设计内容1、应用动力学知识建立直线两级倒立摆的数学模型（微分方程的形式），并转变成状态空间的表达形式。

2、运用现代控制理论知识，按设计要求设计状态反馈控制器。

3、应用Matlab的Simulink建立控制系统的仿真模型，得出仿真结果。

4、将仿真设计所得的状态反馈设计参数应用于实际控制系统中，观察实际控制结果，对比仿真结果与实际输出结果，修正设计值，使之满足设计要求。

三、课程设计参数与要求1、控制对象示意图图1 直线两级倒立摆系统模型图2、对象的参数l摆杆1转动中心到杆质心的距离0.09m M 小车质量1.32 Kg1l摆杆2转动中心到杆质心的距离0.27m m1 摆杆1的质量0.04 Kg2m2 摆杆1的质量0.132 Kg F 作用在系统上的外力m3 质量块的质量0.208 Kg X 小车的位移θ1摆杆1与垂直向上方向的夹角θ2摆杆2与垂直向上方向的夹角注：θ1、θ2取逆时针方向为正方向3、控制要求（系统开始运动到稳定运行时，以及接受扰动时）※小车位置X 和摆杆角度的稳定时间小于5 秒；※小车位置X的波动幅度小于0.3m；※摆杆角度θ1、θ2的波动幅度小于5度※稳态误差小于2% 。

四、课程设计所需提交的内容1、系统建模的详细推导过程和状态反馈控制器的设计过程。

2、给出整个控制系统的Simulink仿真结构图。

3、计算系统引入状态反馈前和引入状态反馈后的极点，并用Matlab绘图功能绘制极点图。

4、应用Matlab绘图功能分别绘制系统在零输入状态（初始状态不为零）、扰动输入（扰动量持续时间≤0.5s）时的系统响应曲线图（只需X、θ1、θ2的响应曲线，在每一输入状态下，此三个量的响应曲线在同一图中体现），并给出给响应曲线的动态响应指标值。

二级倒立摆的LQR和LQY控制

二级倒立摆的LQR 和LQY 控制摘要：本文首先采用小扰动原理将二级倒立摆的非线性模型在其平衡点附近线性化，然后基于该线性化模型，分别采用线性二次状态调节器和输出调节器设计最优性能指标和反馈控制率，最后进行了仿真，并对两者的仿真结果进行了分析和比较。

一．二级倒立摆非线性数学模型的建立及线性化图1给出了一个二级倒立摆系统的物理结构示意图。

其中r 表示小车在水平位置的位移，1θ表示下摆杆与垂直位置的角度，2θ表示上摆杆与垂直位置的角度。

图 1 二级倒立摆的物理结构示意图为了设计上述二级倒立摆系统的线性控制器，必须先对被控系统进行建模。

另外，为了减小建模的难度，对系统有如下假设：① 每一级摆杆都是刚体。

② 在实验过程中同步带长度保持不变。

③ 驱动力与放大器输入成正比，没有延迟直接施加于小车。

④ 实验过程中的库仑摩擦、动摩擦等所有摩擦力足够小，在建模过程中可忽略不计。

在上述假设的条件下，根据动力学理论，其动力学方程如下：Gu N rF r M ++⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡),(),,,(),(212121212121θθθθθθθθθθθθ （1）其中)cos( cos )cos( cos )( cos cos )( ),(2222122122221221221221111121222112132121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++++++=l M J l L M l M l L M L M l M J l M M l M l M M M M M M θθθθθθθθθθ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+∙--+∙-+-∙∙+-=12112212221221221222211121102121 )sin( 0 )sin( )( 0 sin sin )( ),,,(F F l L M F l L M F F l M L M l M F F θθθθθθθθθθθθθθ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=2221121121sinsin 0 ),(θθθθg l M g L M l M N ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= 0 0 0G G式中个参量的意义及参数值如下表1所示。

二级倒立摆的 LQG 最优控制研究

后，根据ＩＱ（的分离原理设计出控制器，实现了对噪声的有效抑制。
１系统建模
直线二级倒立摆系统的模型结构如图１所示。图１中，，一为小车位移（右为正方向）；，分别为下摆杆、上摆杆与垂直方向的夹角（顺时针为正方向）。为使研究对象的模型不过于复杂，简化数学模型
二级倒立摆的ＬＱＧ最优控制研究与电气工程学院。山东青岛２６６５９０）
摘要：为实现二级倒立摆系统的稳摆控制，应用了线性二次高斯最优控制。根据ＬＱＧ的分离原理．首先利用最优控制设计控制律，得到状态反馈；由于系统状态不能完全测得，而且系统也不可避免地会受到噪声的影响，在详细给出相应参数取值规则的基础上，采用了卡尔曼滤波对系统输出做出最优估计。最后的仿真结果表明．设计的控制器能够较好地对二级倒立摆进行稳定控制，且具有抑制噪声和抗干扰能力。
第ｌ期（总第１８２期）
２ＯＩ４年Ｏ２月
机械工程与自动化
ＭＥＣＩ｛ＡＮＩＣＡＬＥＮＧＩＮＥＥＲｌＮＧ＆ＡＵＴ（）ＭＡＴｌ（）Ｎ
Ｎｏ．１Ｆｅｂ．
文章编号：ｌ６７２ — ６４１３（２０１４）０ｌ一０１５０ — ０３

二级倒立摆最优控制器设计方法

二级倒立摆最优控制器设计方法来源:吉林工业职业技术学院录入:科研处更新时间：2012/2/28 15:59:00 点击数：35王升升摘要：本文阐述了二级倒立摆最优控制器设设计方法。

倒立摆的控制目标是使倒立在不稳定平衡点附近的运动成为一个稳定的运动,因此最优控制器设计就是要找到最优控制增益K使倒立摆的动态平衡运动保持在最佳的稳定状态。

本文运用现代控制理论在计算机上进行旋转式倒立摆的最优控制器分析与设计,并成功将所设计的控制器应用到实际的旋转式倒立摆系统上,使其稳定平衡在“倒立”状态。

关键词：旋转式倒立摆；最优控制器1 设计思想倒摆的开环响应是不稳定的,因此需要设计控制器来镇定系统以提高系统对外界的抗干扰能力。

实践证明了经典控制器的控制效果不尽人意，因此要为它设计状态反馈控制器。

这就首先需要验证系统的可控可观性，满足可控可观才可以进行最优控制器的设计[1-3]。

2 设计步骤根据非线性模型,令θ1→0，θ2→0，则有线性化模型为令，,则有将参数代入方程，在MATLAB中运用EIG(A)命令求出系统的特征值验证系统是否开环稳定。

若所有特征值都为负则系统开环稳定，否则开环不稳定。

运行后得出ev=-131.2854；-12.0832；7.6653；0.9841。

由此可以看出系统开环不稳定，因此需要设计控制器来镇定系统。

设计控制器之前先要验证系统的可控可观性，在MATLAB中用CM=ctrb(A,B),rank(CM)和OM=obsv(A,C),rank(OM)来验证可控可观性，运行后得出ans =4。

系统是完全可控和完全可观测的，因此可以根据状态反馈确定反馈控制规律,使系统闭环稳定.在MATLAB中用[K,S,E] = lqr(A,B,Q,R)求出最优控制器K=[Ka,Ko,Kva,Kvo]。

其中S 为黎卡提方程的解；E为闭环特征值；Q为状态变量加权阵；R为输入加权阵，因此闭环系统为:在MATLAB中求解这个微分方程，初始值设为x0=[0.05,0.05,0,0],输出θ1，θ2，观察仿真结果，通过改变Q、R,初始值等可变参数来改变输出结果选择最佳的结果作为本次设计的结果[4]。

基于混沌优化的二级倒立摆最优控制实验

Ｙｎ－ｉＬｈｎ－ｕｎＡＯＲｏｇｂｎＩｅｇｑａ２Ｓ
（ｙＬｂｒｔｒｆｄｍｏｓｉ，ｉｉｒｆＥｕａｉ，Ｎｉｇ２００，ｈｎ）ＫｅａｏａｏｙｏＭｏｅＡｃｕｔｓＭｎｓｙｏｄｃｔｎＮａｎ１０８Ｃｉａｃｔｏ（ｅＫｅａ．ｏｍａｔＭａｅｉｌｎｔｕｔｒ，ｎｉｇＵｎｖｒｉｆｒｎｕｉｓｎｔｏａｔｓＮａｎ１０６Ｃｉａ。ＴｈｙＬｂｆｒＳｒｔｒｄＳｒｃｕｅＮａｊｉｅｓｔｏｏａｔｄＡｓｒｎｕｉ，Ｎｉｇ２０１，ｈｎ）ａａｎｙＡｅｃａｃ
ＫｅｗｏｄＣｈｏ，ｙｒｓａｓＬＱｏｔｏ，ｕｌｎｅｔｄｐｎｕｕＰｒｃｍａｃｎｅ，ｐｒｎｃｎｒｌＤｏｂｅｉｖｒｅｅｌｍ，ｅｆＩｎｅｉｄｘＥｘｅｉｔｄｒｍｅ
二级倒立摆是典型的快速、多变量、强非线性、不稳定系统，对倒立摆的研究可以归结为对多变量绝对不稳定系统的研究＿］ｓｉｓｏｕｃｐｅ，ｕｌｏｓｌｅｔｅｐｏｌｍｆｓｒｕｏｌｅｒａｄａｓｌｔｌｎｔｂｅｃｅｉｔｃｆｑｉｋｓｅｄｂｔａｓｏｖｈｒｂｅｏｅｉｓｎｎｉａｎｂｏｕｅｖｕｓａｌ．ｏｎ
轨，交流伺服电机，皮带轮以及电气测量装置组成。两个旋转
编码器安装在链接处，量摆的相对偏角～，其原理测０，
结构如图１示。所
广泛的用途，对研究控制算法也具有普遍意义。
线性二次型（Ｑ）Ｌ在二次型泛函意义下，只需设计状态反

倒立摆

机械工程试验二——直线倒立摆控制实验实验报告摘要倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。

由于倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法，相关的科研成果在航天科技和机器人学方面获得了广阔的应用。

本实验针对固高公司提供的倒立摆实验设备，对一、二倒立摆的控制方法进行了研究，并做了相应的仿真和实物控制。

首先应用PID、状态反馈、LQR、三种方法分别对一级倒立摆进行建模，完成实时控制，得到了较好的控制效果。

然而，由于以上方法的抗干扰能力差，鲁棒性弱，所以尝试运用模糊控制，使控制性能进一步提高。

对于二级倒立摆，由于其控制变量多、非线性强，所以控制规则与隶属函数很难确定。

考虑这些原因，文中采用了神经模糊推理系统(ANFIS)，对二级倒立摆做了实时控制，该方法生成规则数少，形式简单，实时性更好。

对于控制难度更高的三级倒立摆，本文采用遗传算法优化LQR参数后，用最优控制的方法，对倒立摆系统进行了仿真研究，得到了很好的控制效果。

完成本实验后，通过对一、二倒立摆的多种实物控制的过程和结果进行研究，可以看出控制的难度在不断加大，需要运用的控制方法也越来越先进。

在运用PID控制时，由于倒立摆是多输出的复杂系统，所以选择合适的输出量是关键问题：状态反馈方法中，为了使系统响应速度快而且能够满足试验设备硬件要求，极点的选择是主要的设计问题：在模糊控制器的设计过程中，隶属函数的选取和控制规则的确定是难点，而应用ANFIS推理系统后，规则确定和隶属函数选取的问题就迎刃而解了。

关键词：倒立摆，PID，LQR，单级，双级，模糊控制，状态反馈目录1 倒立摆实验介绍 (5)1.1 倒立摆概述 (5)1.2 倒立摆系统的组成 (5)2 直线一级倒立摆的控制 (8)2.1 直线一级倒立摆的建模 (8)2.2 系统稳定性、可控性、可观性分析 (11)2.3 PID控制方法对一级倒立摆控制............... 错误！未定义书签。

直线二级倒立摆的建模和控制

西南科技大学自动化专业方向设计报告设计名称：直线二级倒立摆的建模和镇定控制姓名：学号:班级：指导教师：起止日期：方向设计任务书学生班级：学生姓名：学号：设计名称：起止日期：指导教师：方向设计学生日志直线二级倒立摆的建模与镇定控制摘要（150-250字）倒立摆是一个典型的多变量、非线性、强耦合、欠驱动的自然不稳定系统，对倒立摆系统的控制研究，能反映控制过程中的镇定、非线性和随动等问题，因此常用于各种控制算法的研究。

而且对倒立摆系统的研究还有重要的工程背景，对机器人行走、火箭的姿态调整等都有重要的现实意义。

本文以直线二级倒立摆系统为模型，阐释了直线二级倒立摆的建模方法和镇定控制算法。

其次介绍了直线二级倒立摆系统的结构和参数，应用拉格朗日方程建模方法详细推导了二级倒立摆的数学模型，并对系统的性能进行分析。

接下来，本文重点研究了最优控制算法在直线二级倒立摆镇定控制中的应用；在介绍倒立摆系统的最优控制算法的基础上，设计了系统的最优控制器，分析得出控制参数的选择规律；并且在Simulink上完成仿真实验,观察控制系统性能。

关键词：倒立摆；建模；LQR；镇定控制Modeling and Balance Control of the Linear DoubleInverted PendulumAbstract：Inverted pendulum is a typical multivariable, nonliner, closed coupled and quick movement natural instable system.The process of control research can reflect many key problems in control theory, such as the problem of tranquilization, non linearity, following and so on. So the inverted pendulum is commonly used for the study of many kinds of control theory. The research of inverted pendulum also has important background of engineering, and has practical significance for the Robot walk and Rocket-profile adjustment.In this paper, taking the linear double inverted pendulum system as the control model, reaching of the control system based on lagrange equation and optimal control algorithm. First of all, giving out the research significance and situation of the inverted pendulum system,and introducing the linear double inverted pendulum modeling methods and stabilization control theory. Secondly, introducing the structure and parameters of the inverted pendulum system. Researching of the inverted pendulum mathematical model based on lagrange equation, and giving a detailed derivation, then having stability analysis of the system. Next, this paper studied the inverted pendulum system’s optimal control algorithm,and designed the LQR controller based on it,then coming to the law of selection of control parameters. Finishing the simulation in the Simulink software,observing the performance of the control system.Key words: inverted pendulum, modeling, LQR, balance control一、设计目的和意义二、控制要求对直线二级倒立摆模型的物理特性做分析，然后利用拉格朗日方程建模方法建立倒立摆的数学模型。

直线倒立摆的稳定控制算法设计

直线倒立摆的稳定控制算法设计摘要本文首先利用牛顿力学分析的方法和拉格朗日法建立了直线一级、二级、三级倒立摆实物系统的线性状态方程，并在此基础上分析了该系统是不稳定的，同时又是能控的和能观的。

基于此本文设计了直线倒立摆系统的机械本体部分，研究了直线一级、二级、三级倒立摆系统的PID、LQR和状态空间极点配置控制算法，同时利用MATLAB/Simulink对各个算法进行分析，由仿真结果表明：对于像倒立摆这样的非线性模型，通过对其数学模型的建立，设计相应的控制器,并对其实现控制是可行的。

关键词：直线倒立摆；PID；LQR；状态空间极点配置；仿真The stability of linear inverted pendulum control algorithmdesignAbstractIn this paper，we firstly use the Newton mechanics analysis method and the Lagrange method to establish the linear level 1，level 2，level 3 inverted pendulum linear state equation of real system.In the meantime，the system is unstable by analyzing the linear state equation，but it is also controllable and observable.And then we describe on the physical system of the linear inverted pendulum.This paper studied the linear level 1，level 2，level 3 of the inverted pendulum system PID，LQR and state space pole assignment control algorithm，at the same time analyze various algorithms with MATLAB/Simulink.By the simulation results show that：Be similary to inverted pendulum is for the non-linear model，through its mathematical model，the appropriate design of controller，and in its implementation control is feasiblly.Key words：linear inverted pendulum；PID；LQR；s tate space pole configuration；simulation目录1 绪论 (1)1.1前言 (1)1.2倒立摆系统研究背景及意义 (1)1.3国内外倒立摆控制研究发展及现状 (2)1.4本文主要工作 (4)2 倒立摆机械系统设计及实现 (5)2.1 倒立摆简介 (5)2.2 倒立摆工作特性和工作原理 (5)2.2.1工作特性 (5)2.2.2系统工作原理 (5)2.3系统机械结构设计 (6)2.3.1底座设计 (6)2.3.2小车部分设计 (6)2.3.3 传动部分设计 (7)2.3.4 步进电机选择 (7)3 一级直线倒立摆系统的建模分析与仿真 (10)3.1一级倒立摆模型分析 (10)3.1.1系统可观可控性分析 (13)3.1.2系统阶跃响应分析 (14)3.2一级直线倒立摆控制器设计与仿真 (15)3.2.1PID控制器设计及算法仿真 (15)3.2.2 LQR控制器设计及算法仿真 (18)3.2.3状态空间极点配置控制设计及仿真 (20)3.2.4小结 (22)4 二级直线倒立摆系统的建模分析与仿真 (24)4.1二级倒立摆模型的分析 (24)4.1.1二级倒立摆稳定性分析 (29)4.1.2能控性能观性分析 (29)4.2二级直线倒立摆控制器设计与仿真 (30)4.2.1LQR控制器设计及算法仿真 (30)4.2.2状态空间极点配置控制设计及仿真 (31)4.2.3小结 (32)5 三级直线倒立摆系统建模分析与仿真 (34)5.1二级倒立摆模型分析 (34)5.1.1三级倒立摆稳定性分析 (39)5.1.2能控性能观性分析 (39)5.2三级直线倒立摆控制器设计与仿真 (40)5.2.1LQR控制器设计及算法仿真 (40)5.2.2状态空间极点配置控制设计及仿真 (41)5.2.3小结 (43)6 总结与展望 (44)参考文献 (45)致谢 (46)毕业设计（论文）知识产权声明.................................... 错误！未定义书签。

最优控制方法在直线二级倒立摆中的应用

题目最优控制方法在直线二级倒立摆中的应用目录摘要 (1)前言 (3)1倒立摆的研究 (3)1.1 倒立摆的研究背景 (4)1.2倒立摆的控制方法 (3)2 二级倒立摆系统控制机理 (6)2.1系统描述 (6)2.2 二级倒立摆系统强迫运动的描述 (8)2.3 二级倒立摆系统的控制规律 (8)3直线二级倒立摆的建模 (9)3．1 建模条件 (10)3.2 利用力学建模 (11)3.3利用拉格朗日方程建模 (14)4 最优控制器的设计与调节 (18)4.1 最优控制理论概述 (18)4.2 应用软件MATLAB的简介 (21)4.3LQR控制器的设计与调节 (22)4.3.1 LQR控制器的设计 (22)4.3.2 加入增益的LQR控制器的调节 (27)4.4连续系统的离散化仿真设计 (28)5 最优控制法与极点配置法的比较 (31)5.1 极点配置法的基本原理 (31)5.2 配置极点并与最优控制法比较 (33)6总结 (38)致谢 (39)参考文献 (40)附录 (41)最优控制方法在直线二级倒立摆中的应用摘要：倒立摆系统以其自身的不稳定性而难以控制, 也因此成为自动控制实验中验证控制策略优劣的极好的实验装置。

本文介绍了直线二级倒立摆的控制机理，详细的分析了直线二级倒立摆的建模过程。

并且对最优控制理论和MATLAB做了简单的介绍，针对系统设计了最优控制器，并与极点配置法进行了比较。

结果表明最优控制器对于二级倒立摆系统有着很好的控制能力。

关键词：二级倒立摆；LQR；极点配置；MATLABThe application of Optimal Control onDouble Inverted PendulumStudent：QIN Kai-yangSupervisor：Y AN Juan-juan(College of Electrical Engineering &InformationTechnology, China Three Gorges University)Abstract：Inverted pendulum system is difficult to control because of its instability. It becomes the wonderful experiment device to verify how about the control strategy in automatic control experiment. The text introduced the mechanism of the double inverted pendulum. It simply introduced optimal control theory and the software of Matlab. The double inverted pendulum is modeled and the controller is designed by using optimal control theory. The simulating results show that quadratic optimal control has the ability to control the representative nonlinear instability system.Key words：Double Inverted Pendulum；LQR；MATLAB；Pole ConfigurationMethod前言倒立摆系统是一个典型的非线性、不稳定的被控对象，它作为现代控制理论或教学的实验装置是非常典型的。

两种控制策略在直线二级倒立摆中的仿真应用

两种控制策略在直线二级倒立摆中的仿真应用贾瑞强;潘存治;孙建功【摘要】对直线二级倒立摆系统进行稳定控制及仿真.研究了系统的物理结构,创建了数学模型,从而获得系统的线性状态空间方程.分析了整个系统的稳定性与能控能观性.设计了系统的极点配置与LQR控制器,利用Matlab软件的Simulink模块对系统及其受到干扰时实施仿真.由仿真曲线可以总结出,设计的极点配置控制器和LQR控制器有满意的控制效果,使倒立摆直立不倒.极点配置法反应迅速,调节时间短,但超调量较大,不易选择期望极点;LQR最优控制法超调量小,振荡也小,但整个系统反应较迟缓,过渡时间长.【期刊名称】《承德石油高等专科学校学报》【年(卷),期】2016(018)005【总页数】6页(P47-51,55)【关键词】直线二级倒立摆;极点配置;LQR;Simulink仿真【作者】贾瑞强;潘存治;孙建功【作者单位】石家庄铁道大学机械工程学院,河北石家庄050043;石家庄铁道大学机械工程学院,河北石家庄050043;石家庄铁道大学机械工程学院,河北石家庄050043【正文语种】中文【中图分类】TP13直线二级倒立摆系统是一个不稳定、高阶次、多变量的非线性系统[1，2]，对它施加的控制需要微型计算机、控制工程、传感器等多个领域的相关知识。

随着控制工程范畴的不断扩展,许多新的的方案和方法也随之涌现，主要有最初的经典控制理论、继而呈现的现代控制理论和而今的人工智能控制理论等。

而在实践中，倒立摆真实地反映了诸多自动控制范畴中的主要问题，好比系统的随动性和鲁棒性等，在机器人学科与先进的高铁等许多范畴已经应用到了倒立摆完整系统的相关知识体系与最新成果。

因此，研究整个倒立摆系统的价值相当可观。

本文主要以直线二级倒立摆为具体的研究目标，凭借极点配置算法和LQR算法的理论基础，使用Matlab中的Simulink模块进行仿真，完成倒立摆系统模型创建、控制器设计与仿真研究，最后对比分析了两种控制方法。

基于线性二次最优控制的倒立摆系统镇定设计

基于线性二次最优控制的倒立摆系统镇定设计现代控制理论论文学院班级学号姓名指导老师2015.06.20目录一.引言1.1研究背景1.2国内外研究现状二.系统描述2.1数学模型描述及参数设置2.2设计过程中的问题描述三．系统特征分析四．系统设计4.1线性系统稳定性条分析4.2二次型最优控制设计五．结论六．参考文献一.引言1.1研究的背景倒立摆系统是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个多变量、强耦合、快速、非线性和自然不稳定系统，在控制过程中能有效地反映控制中的许多关键问题，如非线性问题、系统的鲁棒性问题、随动问题、镇定问题及追踪问题等，可以作为一个经典的控制对象对其进行研究。

近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个严格的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和对绝对不稳定系统的能力。

倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观，结构简单，构建组成参数和形状易于改变，成本低廉。

倒立摆系统的控制效果可以通过其稳定性直观地体现，也可以通过摆杆角度、小车位移和稳定时间直接度量，其实验效果直观地体现、显著。

倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，位自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的经典方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。

2.2国内外研究现状分析倒立摆系统的研究始于20世纪50年代，麻省理工学院的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备，而后世界很多国家豆浆一级倒立摆控制作为验证某种控制理论或方法的经典方案：后来人们参照双足机器人控制问题研究二级倒立摆控制设备，二级倒立摆控制的仿真或实物系统已广泛见于某些实验室中。

在1993年，三极摆的仿真控制已经实现，美国、日本、俄罗斯、瑞士等很多国家的科研机构都对倒立摆进行了很多的研究，提出了很多先进的控制算法。

日本的科研工作者们在1997年成功的实验了平面倒立摆的控制，获得了非常好的控制效果，与此同时，瑞士国家工程研究院的Bernhard Sprenger等实现了直线运动机器臂的平面倒立摆的控制，并且具有很好的鲁棒性。

二级倒立摆系统稳定控制方法研究_论文

西安工业大学北方信息工程学院本科毕业设计(论文)题目：二级倒立摆系统稳定控制方法研究系别：电子信息系专业：自动化班级：姓名：学号：导师：年月毕业设计（论文）任务书系（部）电子信息系专业自动化班姓名学号1.毕业设计（论文）题目：二级倒立摆系统稳定控制方法研究2.题目背景和意义：本课题是个理论研究课题，对控制理论的研究有较高的应用价值，也对实际生产过程有广泛的应用价值。

课题内容紧密结合自动化专业教学要求。

通过本课题，学生可以深入了解分析问题和解决问题的方法，能够把所学理论知识应用于实际问题中，学会Matlabhe和Simulink的软件编程及系统的仿真分析方法。

3.设计(论文)的主要内容（理工科含技术指标）：（1）查阅资料深入了解倒立摆系统的结构和特点，以及目前的发展情况。

（2）研究倒立摆系统的建模方法，并进行方案的选择和比较，建立倒立摆系统的模型（3）研究倒立摆系统稳定控制方法，并进行方案的选择和比较，进行算法分析和研究，选择合适的方法对倒立摆系统进行稳定控制（4）研究软件编程的方法，编写代码，完成整个系统的设计；学习Simulink仿真系统的方法，对各种方案进行仿真比较。

（5）系统调试及结果分析。

（6）与题目有关的英文资料翻译（要求：汉字3000以上）（7）撰写毕业设计论文，字数在一万五千左右。

4.设计的基本要求及进度安排（含起始时间、设计地点）：起止时间2011.11—2012.5设计地点：西安工业大学金花校区。

完成任务书规定的设计内容，提交相应的设计成果。

1—3周：查阅有关资料，对课题有清楚的了解认知，准备开题答辩。

4—7周：倒立摆建模，认真研究其特点。

对开环系统进行仿真。

8-12周：研究倒立摆系统稳定控制方法，并进行方案的选择和比较，进行算法分析和研究，选择合适的方法对倒立摆系统进行稳定控制；准备中期答辩，完成外文资料翻译。

13—15周：研究软件编程的方法，编写代码，学习Simulink 仿真系统的方法，调试系统，进行实验；16—17周：编写毕业论文。

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