2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第2章 第2节 函数的单调性与最值 Word版含答案

第二节函数的单调性与最值
[最新考纲] 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
如果函数y ＝f (x )在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．
2．函数的最值
1．函数单调性的结论
(1)对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在D 上是增函数；
f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2＜0⇔f (x )在D 上是减函数．
(2)对勾函数y ＝x ＋a
x (a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．
(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
2．函数最值存在的2个结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝1
x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()
(2)若定义在R上的函数f(x)有f(－1)＜f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．
()
(3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．
()
(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．()
[答案](1)×(2)×(3)×(4)√
二、教材改编
1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上()
A．递减B．递增
C．先递减后递增D．先递增后递减
C [因为函数y ＝x 2－6x ＋10的图象为抛物线，且开口向上，对称轴为直线x ＝3，所以函数y ＝x 2－6x ＋10在(2,3)上为减函数，
在(3,4)上为增函数．]
2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1
x
D ．y ＝－x 2＋4
A [y ＝3－x 在R 上递减，y ＝1
x 在(0，＋∞)上递减，y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)
上递减，故选A.]
3．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________． ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－12 [因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0， 即k ＜－12.] 4．已知函数f (x )＝2
x －1
，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．
2 25 [易知函数f (x )＝2x －1在x ∈[2,6]上为减函数，故f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min
＝f (6)＝2
5.]
考点1确定函数的单调性(区间)
确定函数单调性的4种方法
(1)定义法．利用定义判断．
(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．
求函数的单调区间
(1)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递
增区间是( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫
32，＋∞ B.⎣⎢⎡
⎦⎥⎤1，32和[2，＋∞) C ．(－∞，1]和⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，2
D.⎝ ⎛
⎦
⎥⎤－∞，32和[2，＋∞) (2)函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
(1)B (2)[2，＋∞) (－∞，－3] [(1)y ＝|x 2－3x ＋2|＝
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，
－(x 2－3x ＋2)，1＜x ＜2.
如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎢⎡
⎦⎥⎤1，32和[2，＋∞)；单调递减区间是(－
∞，1]和⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
32，2.故选B.
(2)令u ＝x 2＋x －6， 则y ＝
x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数．
令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.
易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，
所以y ＝
x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．]
(1)求复合函数的单调区间的步骤
一般为：①确定函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”．
(2)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．
含参函数的单调性
[一题多解]判断并证明函数f (x )
＝ax 2
＋1
x (其中1＜a ＜3)在x ∈[1,2]上的单调性．
[解] 法一：(定义法)设1≤x 1＜x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫
ax 21＋1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，
由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0,2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－1
4.
又1＜a ＜3，
所以2＜a (x 1＋x 2)＜12，
得a (x 1＋x 2)－1
x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，
即f (x 2)＞f (x 1)，
故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增．
法二：(导数法)因为f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3
－1
x 2，
因为1≤x ≤2，∴1≤x 3≤8，
又1＜a＜3，
所以2ax3－1＞0，
所以f′(x)＞0，
所以函数f(x)＝ax2＋1
x(其中1＜a＜3)在[1,2]上是增函数．
定义法证明函数单调性的一般步
骤：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形(通常是因式分解和配方)；④定号(即判断f(x1)－f(x2)的正负)；⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．
1.函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是()
A ．[1,2]
B ．[－1,0]
C ．(0,2]
D ．[2，＋∞)
A [由题意得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－2x ，x ≥2，
－x 2＋2x ，x ＜2，
当x ≥2时，[2，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间；
当x ＜2时，(－∞，1]是函数f (x )的单调递增区间，[1,2]是函数f (x )的单调递减区间．]
2．判断并证明函数f (x )＝ax
x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．
[解] 法一：(定义法)设－1＜x 1＜x 2＜1， f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1 ＝
a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)
，由于－1＜x 1＜x 2＜1，
所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，
函数f (x )在(－1,1)上递减；
当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增． 法二：(导数法)f ′(x )＝
a (x －1)－ax (x －1)
2
＝
－a (x －1)
2
，
所以当a ＞0时，f ′(x )＜0，当a ＜0时，f ′(x )＞0，
即当a＞0时，f(x)在(－1,1)上为单调减函数，
当a＜0时，f(x)在(－1,1)上为单调增函数．
考点2函数的最值
求函数最值的5种常用方法及其
思路
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
(1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
(x －a )2(x ≤0)，x ＋1
x ＋a (x ＞0)
的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( )
A ．[－1,2]
B ．[－1,0]
C ．[1,2]
D ．[0,2]
(2)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
13x
－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
(3)函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．
(1)D (2)3 (3)14 [(1)当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1
x ，即x ＝1时，等号成立．
故当x ＝1时取得最小值2＋a ， ∵f (x )的最小值为f (0)，
∴当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2单调递减，故a ≥0， 此时的最小值为f (0)＝a 2，故2＋a ≥a 2，得－1≤a ≤2. 又a ≥0，得0≤a ≤2.故选D.
(2)∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
13x
－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上单调递减，∴f (x )max ＝f (－1)＝3－
log 21＝3.
(3)令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －122
＋1
4，当t ＝12，即x ＝14时，y max
＝14.]
[逆向问题] 若函数f (x )＝－a x ＋b (a ＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，2，则a ＝
________，b ＝________.
1 5
2 [∵f (x )＝－a x ＋b (a ＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，2上是增函数，
∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1
2，f (x )max ＝f (2)＝2.
即⎩⎪⎨⎪⎧
－2a ＋b ＝1
2，
－a 2＋b ＝2，
解得a ＝1，b ＝52.]
(1)求函数的最值时，应先确定函数
的定义域．如本例(3)．
(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．如本例(1)．
(3)若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，则必在区间的端点处取得最值．如本例(2)；若函数f (x )在区间[a ，b ]上不单调，则最小值为函数f (x )在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值，最大值为函数f (x )在该区间内的极大值和区间端点值
中最大的值．
1.函数f (x )＝x 2＋4
x 的值域为
________．
(－∞，－4]∪[4，＋∞) [当x ＞0时，f (x )＝x ＋4
x ≥4， 当且仅当x ＝2时取等号； 当x ＜0时，－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
－4x ≥4，
即f (x )＝x ＋4
x ≤－4， 当且仅当x ＝－2时取等号，
所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．]
2．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧
a ，a ≤
b ，
b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，
g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．
1 [法一：(图象法)在同一坐标系中，作函数f (x )，g (x )图象， 依题意，h (x )的图象如图所示．
易知点A (2,1)为图象的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.
法二：(单调性法)依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 2x ，0＜x ≤2，
－x ＋3，x ＞2.
当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2 x 是增函数， 当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数， 所以h (x )在x ＝2时取得最大值h (2)＝1.]
考点3 函数单调性的应用
比较大小
比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
已知函数f (x )的图象向左平移1
个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．c ＞a ＞b
B ．c ＞b ＞a
C ．a ＞c ＞b
D ．b ＞a ＞c
D [根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是
减函数．所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
52，f (2)＞f (2.5)＞f (3)，所以b ＞a ＞c .]
本例先由[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0
得出f (x )在(1，＋∞)上是减函数，然后借助对称性，化变量－1
2，2,3于同一单调区间，并借助单调性比较大小．
解不等式
求解含“f”的函数不等式的解
题思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．此时要特别注意函数的定义域．
定义在[－2,2]上的函数f(x)满足
(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为()
A．[－1,2) B．[0,2)
C．[0,1) D．[－1,1)
C[因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，所以函数在[－2,2]
上单调递增，
所以－2≤2a －2＜a 2－a ≤2，解得0≤a ＜1，故选C.]
本例在求解时，应注意隐含条件
为a 2－a ∈[－2,2]，2a －2∈[－2,2]．
[教师备选例题]
f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则不等式f (x )＋f (x －8)≤2的解集为________．
(8,9] [因为2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2可得f [x (x －8)]≤f (9)，f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪
⎧
x >0，x －8>0，
x (x －8)≤9，解得
8<x ≤9.]
根据函数的单调性求参数
利用单调性求参数的范围(或值)
的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(1)(2019·郑州模拟)函数y ＝
x －5
x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )
A ．a ＝－3
B ．a ＜3
C ．a ≤－3
D ．a ≥－3
(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧
－x 2＋4x ，x ≤4，
log 2x ，x ＞4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递
增，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，1]
B ．[1,4]
C ．[4，＋∞)
D ．(－∞，1]∪[4，＋∞) (1)C (2)D [(1)y ＝
x －a －2＋a －3x －a －2
＝1＋
a －3x －a －2
＝1＋
a －3x －(a ＋2)
，由题意知
⎩⎪⎨⎪⎧
a －3＜0，
a ＋2≤－1，
得a ≤－3. 所以a 的取值范围是a ≤－3.
(2)作出函数f (x )的图象如图所示 ，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D.
]
分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．如本例(2)．
1.若函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间
[1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，1)
D ．(－∞，1]
B [因为函数f (x )＝2|x －a |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x －2a ＋3，x ≥a ，
－2x ＋2a ＋3，x ＜a ，且函数f (x )＝2|x －
a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，所以a ＞1.
所以a 的取值范围是(1，＋∞)．故选B.]
2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 3，x ≤0，
ln (x ＋1)，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范
围是( )
A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C ．(－1,2)
D ．(－2,1)
D [因为当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线．
因为当x ≤0时， 函数f (x )＝x 3为增函数，
当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数， 所以函数f (x )是定义在R 上的增函数． 因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ， 即x 2＋x －2＜0， 解得－2＜x ＜1.]
3．已知f (x )＝⎩⎨⎧
(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0
成立，那么a 的取值范围是( )
A ．(1,2) B.⎝ ⎛
⎦⎥⎤1，32 C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
32，2 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2 C [由已知条件得f (x )为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧
2－a ＞0，a ＞1，
(2－a )×1＋1≤a ，
解得3
2
≤a ＜2，
所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫
32，2.故选C.]。