【配套K12】2018年高中数学课时跟踪检测十四不等关系与不等式新人教A版必修5

课时跟踪检测（十四） 不等关系与不等式
层级一 学业水平达标
1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x 个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )
A ．30x －60≥400
B ．30x ＋60≥400
C ．30x －60≤400
D ．30x ＋40≤400
解析：选B x 月后他至少有400元，可表示成30x ＋60≥400.
2．已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0.那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2
<ab 2
D ．ac (a －c )>0
解析：选A 由c <b <a ，且ac <0，知a >0，c <0，故由b >c ，a >0⇒ab >ac ，A 正确；由b <a ，
c <0⇒(b －a )c >0，B 错误；由c <a ，b 2≥0⇒cb 2≤ab 2，当b ＝0时取等号，故C 错误；由c <a ，ac <0⇒ac (a －c )<0，D 错误．故选A.
3．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋b C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞b d
D ．若a 2
＞b 2
，则－a ＜－b
解析：选B 选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立，选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以．否则如a ＝－1，
b ＝0时不成立，故选B.
4．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则2α－β3的范围是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，56π
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，56π
C.()0，π
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，π 解析：选D 0＜2α＜π，0≤β3≤π
6
，
∴－π6≤－β3≤0，由同向不等式相加得到－π6＜2α－β
3＜π.
5．已知M ＝2x
＋1，N ＝
11＋x
2
，则M ，N 的大小关系为( )
A ．M >N
B ．M <N
C ．M ＝N
D ．不确定
解析：选A ∵2x
>0，∴M ＝2x
＋1>1，而x 2
＋1≥1， ∴
11＋x
2
≤1，∴M >N ，故选A.
6．某校高一年级的213名同学去科技馆参观，租用了某公交公司的x 辆公共汽车．如果每辆车坐30人，则最后一辆车不空也不满．则题目中所包含的不等关系为________．
解析：根据题意得：⎩⎪⎨
⎪
⎧
x －，
30x >213.
答案：⎩
⎪⎨
⎪
⎧
x －，
30x >213
7．比较大小：a 2
＋b 2
＋c 2
________2(a ＋b ＋c )－4. 解析：a 2
＋b 2
＋c 2
－[2(a ＋b ＋c )－4] ＝a 2
＋b 2
＋c 2－2a －2b －2c ＋4
＝(a －1)2
＋(b －1)2
＋(c －1)2
＋1≥1＞0， 故a 2
＋b 2
＋c 2＞2(a ＋b ＋c )－4. 答案：＞
8．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(用区间表示)．
解析：∵z ＝－12(x ＋y )＋5
2(x －y )，
－2≤－12(x ＋y )≤12，5≤52(x －y )≤15
2，
∴3≤－12(x ＋y )＋5
2(x －y )≤8，
∴z 的取值范围是[3,8]． 答案：[3,8]
9．两种药片的有效成分如下表所示：
满足怎样的不等关系？用不等式的形式表示出来．
解：设提供A 药片x 片，B 药片y 片，由题意可得：
⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋y ≥12，
5x ＋7y ≥70，
x
＋6y ≥28，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N.
10．(1)若a ＜b ＜0，求证：b a ＜a b
； (2)已知a ＞b ，1a ＜1
b
，求证：ab ＞0.
证明：(1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝b ＋a b －a
ab
，
∵a ＜b ＜0，
∴b ＋a ＜0，b －a ＞0，ab ＞0， ∴
b ＋a
b －a
ab ＜0，故b a ＜a
b
.
(2)∵1a ＜1b
，∴1a －1
b
＜0，
即
b －a
ab
＜0，而a ＞b ，∴b －a ＜0，∴ab ＞0. 层级二 应试能力达标
1．若x ∈R ，y ∈R ，则( ) A ．x 2
＋y 2
>2xy －1 B ．x 2＋y 2
＝2xy －1 C ．x 2
＋y 2
<2xy －1
D ．x 2
＋y 2
≤2xy －1
解析：选A 因为x 2
＋y 2
－(2xy －1)＝x 2
－2xy ＋y 2
＋1＝(x －y )2
＋1>0，所以x 2
＋y 2
>2xy －1，故选A.
2．已知a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝N
D ．M ≥N
解析：选B ∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N ，故选B.
3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0
D ．－1<α－β<1
解析：选A 由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1， ∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.
4．某厂技术科组织工人参加某项技能测试，某职工参加完测试后对自己的成绩进行了
如下估计：理论考试成绩x 超过85分，技能操作成绩y 不低于90分，答辩面试成绩z 高于95分，用不等式组表示为( )
A.⎩⎪⎨⎪
⎧ x >85y ≥90z ≥95
B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥85y >90z >95
C.⎩⎪⎨⎪
⎧
x >85y ≥90z >95
D.⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥85y >90z ≥95
解析：选C x 超过85分表示为x >85，y 不低于90分表示为y ≥90，z 高于95分，表示为z >95，故选C.
5．已知|a |＜1，则1
1＋a 与1－a 的大小关系为________．
解析：由|a |＜1，得－1＜a ＜1. ∴1＋a ＞0,1－a ＞0. 即11＋a 1－a ＝11－a
2 ∵0＜1－a 2
≤1，∴11－a 2≥1，∴
11＋a ≥1－a . 答案：
1
1＋a
≥1－a 6．给出下列四个命题：①若a >b ，c >d ，则a －d >b －c ；②若a 2
x >a 2
y ，则x >y ；③a >b ，则
1a －b >1a ；④若1a <1b <0，则ab <b 2
.其中正确命题的是________．(填所有正确命题的序号) 解析：①由c >d 得：－d >－c ，同向不等式相加得：a －d >b －c ；②若a 2
x >a 2
y ，显然a 2
>0，所以x >y 成立；③a >b ，则
1a －b >1a 不一定成立，如a ＝1，b ＝－1；④若1a <1
b
<0，则b <a <0，所以b 2
－ab ＝b (b －a )>0，即ab <b 2
.
答案：①②④
7．已知a ，b ∈R ，x ＝a 3
－b ，y ＝a 2
b －a ，试比较x 与y 的大小． 解：因为x －y ＝a 3
－b －a 2
b ＋a ＝a 2
(a －b )＋a －b ＝(a －b )(a 2
＋1)， 所以当a >b 时，x －y >0，所以x >y ； 当a ＝b 时，x －y ＝0，所以x ＝y ； 当a <b 时，x －y <0，所以x <y
.
8．已知x ，y 为正实数，且1≤lg(xy )≤2,3≤lg x
y
≤4，求lg(x 4y 2
)的取值范围． 解：由题意，设a ＝lg x ，b ＝lg y ， ∴lg(xy )＝a ＋b ，lg x y
＝a －b ， lg(x 4y 2
)＝4a ＋2b .
设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝3，n ＝1.
又∵3≤3(a ＋b )≤6,3≤a －b ≤4， ∴6≤4a ＋2b ≤10，
∴lg(x 4y 2
)的取值范围为[6,10]．。