苏教版最新的数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 模块综合 Word版含答案

模块综合试卷
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1
4>0，则綈p 为________．
答案 ∃x ∈R ，x 2－x ＋1
4
≤0
解析 全称命题的否定是存在性命题．
2．设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要
解析 当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q ⇏p . 3．抛物线y ＝－1
8x 2的焦点坐标是________．
答案 (0，－2)
解析 抛物线方程化为标准方程为x 2＝－8y ， ∴2p ＝8，∴p
2
＝2.
∵抛物线开口向下，∴抛物线y ＝－1
8
x 2的焦点坐标为(0，－2)．
4．已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为________． 答案 y 24－x 2
4
＝1
解析 由题意设双曲线方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)，则a ＝2,2a ＋2b ＝22
c ，得b ＝2c －2，结合a 2
＋b 2＝c 2，得
b ＝2，故双曲线方程为y 24－x 2
4
＝1.
5．若a ＝(1，－1，－1)，b ＝(0,1,1)，且(a ＋λb )⊥b ，则实数λ的值是________． 答案 1
解析 λb ＝(0，λ，λ)，a ＋λb ＝(1，λ－1，λ－1)． ∵(a ＋λb )⊥b ，∴(a ＋λb )·b ＝0. ∴λ－1＝0，即λ＝1.
6．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )是等边三角形的三个顶点，
则双曲线的离心率为________． 答案 2
解析 由题意知tan π6＝c 2b ＝3
3，
所以3c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，则e ＝c
a
＝2.
7．给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要不充分条件，则p 是綈q 的________条件． 答案 充分不必要
解析 由q ⇒綈p 且綈p ⇏q 可得p ⇒綈q 且綈q ⇏p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件． 8．若抛物线y 2＝2px
的焦点与椭圆x 26＋y 2
2
＝1的右焦点重合，则p 的值为________．
答案 4
解析 根据题意知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，椭圆的右焦点为(2,0)，即p
2
＝2，解得p ＝4. 9．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于________． 答案 4
解析 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p
2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以P 到焦点F 的距离
等于它到准线的距离，所以6＋p
2
＝8，所以p ＝4，故焦点F 到抛物线准线的距离等于4.
10．已知a ＞0且a ≠1，设p ：y ＝a x 是R 上的单调递减函数；q ：函数g (x )＝lg(2ax 2＋2x ＋1)的值域为R ；如果“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，1
解析 由题意知，p ：0＜a ＜1，q ：0＜a ≤12，当p 真q 假时，得1
2＜a ＜1；当p 假q 真时，无解．故a
∈⎝⎛⎭⎫
12，1.
11．已知点F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，MF ＋NF ＝6，则MN 的中点的横坐标为________． 答案 2
解析 ∵F 是抛物线y 2＝4x 的焦点， ∴F (1,0)，准线为直线x ＝－1. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
∴MF ＋NF ＝x 1＋1＋x 2＋1＝6， 解得x 1＋x 2＝4.
∴线段MN 的中点的横坐标为2.
12．设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，
则双曲线的离心率e ＝________. 答案
32
4
解析 由PF 1⊥x 轴且P 点在双曲线的左支上，可得P ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2
a .又因为点P 在直线y ＝b
3a x 上，所以－b 2a ＝b 3a ×(－c )，整理得c ＝3b ，根据c 2＝a 2＋b 2得a ＝22b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝3b 22b ＝32
4. 13．椭圆x 29＋y 2
2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若PF 1＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．
答案 120°
解析 在椭圆x 29＋y 2
2＝1中，a 2＝9，a ＝3，b 2＝2，
又c 2＝a 2－b 2＝7，所以c ＝7. 因为PF 1＝4，且PF 1＋PF 2＝2a ＝6， 所以PF 2＝6－4＝2.
所以cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 2
2
2PF 1·PF 2
＝42＋22－(27)22×4×2＝－1
2，
因为0°<∠F 1PF 2<180°， 所以∠F 1PF 2＝120°.
14．已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为________． 答案
6
3
解析 以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz 如图所示，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，D 1(0,0,1)，所以BD 1→
＝(－1，－2,1)．
因为AB ⊥平面BCC 1B 1，
所以AB →
＝(0,2,0)为平面BCC 1B 1的法向量． 设直线BD 1与平面BCC 1B 1所成的角为θ， 则有sin θ＝|cos 〈AB →，BD 1→
〉|＝|AB →·BD 1→||AB →| |BD 1→|
＝|(0，2，0)·(－1，－2，1)|2×6＝63.
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交”；q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”．若p ∨q 为真，綈p 为真，求m 的取值范围． 解 对p ：∵直线与圆相交，∴d ＝|1－m |
2<1，
∴－2＋1<m <2＋1.
对q ：方程mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根， ∴令f (x )＝mx 2－x ＋m －4，
∴⎩⎨⎧
m >0，f (0)<0或⎩⎪⎨⎪⎧
m <0，
f (0)>0，
解得0<m <4. ∵綈p 为真，∴p 假． 又∵p ∨q 为真，∴q 为真．
由数轴可得2＋1≤m <4. 故m 的取值范围是[2＋1,4)．
16．(14分)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作一条倾斜角为π
4
的直线与抛物线相交于A ，B 两点．
(1)用p 表示线段AB 的长；
(2)若OA →·OB →＝－3，求这个抛物线的方程．
解 (1)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程是y ＝x －p
2
. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝2px ，
y ＝x －p
2，
得x 2－3px ＋
p 2
4
＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 2
4，∴AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4p .
(2)由(1)知x 1x 2＝p 2
4
，x 1＋x 2＝3p ，
∴y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫x 1－p 2⎝⎛⎭⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 2
4＝p 2
4－3p 2
2＋p
2
4
＝－p 2， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2
＝－3p 24＝－3，
解得p 2＝4，∵p ＞0，∴p ＝2. ∴抛物线的方程为y 2＝4x .
17．(14分)已知命题p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－m 2>0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
解 由x 2－8x －20>0，得x <－2或x >10， 即命题p 对应的集合为P ＝{x |x <－2或x >10}， 由x 2－2x ＋1－m 2>0(m >0)， 得[x －(1－m )][x －(1＋m )]>0(m >0)， 解得x <1－m 或x >1＋m (m >0)， 即命题q 对应的集合为
Q ＝{x |x <1－m 或x >1＋m ，m >0}，
因为p 是q 的充分不必要条件，所以P 是Q 的真子集． 故有⎩⎪⎨⎪
⎧
m >0，1－m ≥－2，
1＋m <10
或⎩⎪⎨⎪
⎧
m >0，
1－m >－2，1＋m ≤10.
解得0<m ≤3.
所以实数m 的取值范围是(0,3]．
18．(16分)如图，平面P AC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为P A ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，P A ＝PC ＝10.设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE .
证明 如图，连结OP ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，
则O (0,0,0)，B (8,0,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)，G (0,4,0)．
因为OB →＝(8,0,0)，OE →
＝(0，－4,3)，设平面BOE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·OB →＝8x ＝0，n ·OE →＝－4y ＋3z ＝0，
解得x ＝0,4y ＝3z ，令z ＝4， 则n ＝(0,3,4)，
所以平面BOE 的一个法向量为n ＝(0,3,4)． 由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0，所以FG →⊥n . 又直线FG 不在平面BOE 内，所以FG ∥平面BOE .
19．(16分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的离心率为2
2，且a 2＝2b .
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5
9上，求m 的值．
解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22
，a 2＝2b ，
b 2
＝a 2
－c 2
，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
c ＝1，
b ＝1，
故椭圆的方程为x 2＋
y 2
2
＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．
联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2
2＝1，
x －y ＋m ＝0，
即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，
由Δ＝4m 2－12(m 2－2)＝－8m 2＋24＞0，得－3＜m ＜ 3. 所以x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m
3，
即M ⎝⎛⎭⎫－m 3，2m 3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5
9上， 所以⎝⎛⎭⎫－m 32＋⎝⎛⎭⎫2m 32＝5
9，解得m ＝±1，满足Δ＞0， 故m ＝±1.
20．(16分)如图所示，正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，AB ＝2AD ＝2，点E 为AB 的中点．
(1)求证：BD 1∥平面A 1DE ； (2)求证：D 1E ⊥A 1D ；
(3)在线段AB 上是否存在点M ，使二面角D 1－MC －D 的大小为π6？若存在，求出AM 的长；若不存在，
请说明理由．
(1)证明 由题意可得D 1D ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D (0,0,0)，C (0,2,0)， A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)， B (1,2,0)，E (1,1，0)．
DA 1→＝(1,0,1)，DE →
＝(1,1,0)，设平面A 1DE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧
n 1·DA 1—→＝0，n 1·
DE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋z 1＝0，x 1＋y 1＝0，
取x 1＝1，则n 1＝(1，－1，－1)是平面A 1DE 的一个法向量，又BD 1—→＝(－1，－2,1)，且BD 1—→·n 1＝(－1，－2,1)·(1，－1，－1)＝0，故BD 1—→⊥n 1，又BD 1不在平面A 1DE 内，故BD 1∥平面A 1DE . (2)证明 由题意得D 1E —→＝(1,1，－1)，DA 1—→
＝(1,0,1)， D 1E —→·DA 1—→＝(1,1，－1)·(1,0,1)＝0， D 1E —→⊥DA 1—→
，故D 1E ⊥A 1D . (3)解 设M (1，y 0，0)(0≤y 0≤2)，
因为MC →＝(－1,2－y 0，0)，D 1C —→
＝(0,2，－1)， 设平面D 1MC 的一个法向量为v 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧
v 1·MC →＝0，v 1·
D 1C —→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
－x ＋y (2－y 0)＝0，2y －z ＝0，
取y ＝1，则v 1＝(2－y 0,1,2)是平面D 1MC 的一个法向量，而平面MCD 的一个法向量为v 2＝(0,0,1)，
要使二面角D 1MCD 的大小为π
6，
则cos π6＝|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1||v 2|
＝
2
(2－y 0)2＋12＋22
＝3
2
， 解得y 0＝2－
3
3
(0≤y 0≤2)． 所以当AM ＝2－33时，二面角D 1MCD 的大小为π6
.。