专题4 充分条件和必要条件(解析版)

专题4 充分条件和必要条件
知识点一 充分不必要条件
1．已知条件:1p x >，条件:2q x ≥，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】
{}1x x > {}2x x ≥，因此，则p 是q 的必要不充分条件， 故选：B.
2．使不等式2x x 60--<成立的一个充分不必要条件是( )
A ．2x 0-<<
B ．3x 2-<<
C ．2x 3-<<
D ．2x 4-<< 【答案】A
【解析】由260x x --<得()()230x x +-<，得23x -<<，
若使不等式260x x --<成立的一个充分不必要条件，
则对应范围是()2,3-的一个真子集，
即20x -<<，满足条件，
故选A ．
3．设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：由“|x ﹣2|＜1”得1＜x ＜3，
由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，
即“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分不必要条件，
故选A ．
4．如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ）
A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C ．丙是甲的充要条件
D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
【答案】A
【解析】因为甲是乙的充要条件，所以乙⇔甲；又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒丙．
综上，丙⇒甲，但甲⇒丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
故选A.
5．下列说法正确的有（ ）
A ．不等式21131x x ->+的解集是1(2,)3
-- B ．“1,1a b >>”是“1ab >”成立的充分条件
C ．命题2:,0p x R x ∀∈>，，则2:,0⌝∃∈<p x R x
D ．“5a <”是“3a <”的必要条件
【答案】ABD
【解析】 由212103131
--->⇒>++x x x x ，(2)(31)0x x ++<，123x -<<-，A 正确； 1,1a b >>时一定有1ab >，但1ab >时不一定有1,1a b >>成立,因此“1,1a b >>”是“1ab >”成立的充分条件，B 正确；
命题2:,0p x R x ∀∈>，则2:,0p x R x ⌝∃∈≤，C 错误；
5a <不能推出3a <，但3a <时一定有5a <成立，所以“5a <”是“3a <”的必要条件，D 正确． 故选：ABD ．
6．已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{1B x x =≤或}4x ≥．
（1）当3a =时，求A B ；
（2）若>0a ，且“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）{11A B x x ⋂=-≤≤或}45x ≤≤；（2）01a <<.
【解析】
（1）∵当3a =时，{}15A x x =-≤≤， {
1B x x =≤或}4x ≥，
∴{11A B x x ⋂=-≤≤或}45x ≤≤；
（2）∵{1B x x =≤或}4x ≥，∴
{}14R B x x =<<， 由“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，得A 是B R 的真子集，且A ≠∅，
又{}()22>0A x a x a a =-≤≤+，∴2>1
,012+4a a a -⎧∴<<⎨<⎩．
7．不等式x 2﹣3x +2＞0的解集记为p ，关于x 的不等式x 2+（a ﹣1）x ﹣a ＞0的解集记为q ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
【答案】﹣2＜a ≤﹣1
【解析】解：由不等式x 2﹣3x +2＞0得，x ＞2或x ＜1；
不等式x 2+（a ﹣1）x ﹣a ＞0等价为（x ﹣1）（x +a ）＞0，
①当﹣a ≤1，即a ≥﹣1时，不等式的解是x ＞1或x ＜﹣a ，
∵p 是q 的充分不必要条件，
∴﹣a ≥1，即a ＝﹣1，
②若﹣a ＞1，即a ＜﹣1时，不等式的解是x ＞﹣a 或x ＜1，
∵p 是q 的充分不必要条件，
∴﹣a ＜2，即﹣2＜a ＜﹣1，
综上﹣2＜a ≤﹣1．
8．设集合{}2|320A x x x =++=，(){}
2|10B x x m x m =+++=； （1）用列举法表示集合A ；
（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件，求实数m 的值.
【答案】（1）{}1,2A =--；（2）1m =或2m =
【解析】（1）()()2
320120x x x x ++=⇒++= 即1x =-或2x =- ，
{}1,2A =--；
（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件，
则B A ⊆ ，
()()()21010x m x m x x m +++=⇒++=
解得1x =- 或x m =-，
当1m =时，{}1B =-，满足B A ⊆，
当2m =时，{}1,2B =-- ，同样满足B A ⊆，
所以1m =或2m =.
9．已知二次函数243y x x =-+，非空集合{|0}A x x a =≤≤.
(1) 当x A ∈时，二次函数的最小值为-1，求实数a 的取值范围；
(2) 是否存在整数a 的值，使得 “x A ∈”是“二次函数的大值为3”的充分条件，如果存在，求出一个整数a 的值，如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)2a ≥； (2)0，1，2，3，4.
【解析】(1)画出二次函数243y x x =-+的图象，如图
当0x a ≤≤，二次函数的最小值为-1,则a 的取值范围为2a ≥；
(2）“x A ∈”是“二次函数的最大值为3”的充分条件,同理由图象二次函数的
最大值为3，得04a ≤≤，所以a 可以取的整数值为0、1、2、3、4均可.
（答案是0、1、2、3、4中的任意一个数均可）
10．（1）是否存在实数m ，使20x m +<是2230x x -->的充分条件？
（2）是否存在实数m ，使20x m +<是2230x x -->的必要条件？
【答案】（1）存在，2m ≥；（2）不存在
【解析】（1）由20x m +<解得2m x x ⎧
⎫<-⎨⎬⎩⎭
由2230x x -->解得{|1x x <-或3}x >
欲使20x m +<是2230x x -->的充分条件， 则只要2m x x ⎧
⎫<-⊆⎨⎬⎩⎭{|1x x <-或3}x >，
即只需12
m -≤-， 所以2m ≥.
故存在实数2m ≥，使20x m +<是2230x x -->的充分条件.
（2）欲使20x m +<是2230x x -->的必要条件，
则只要{|1x x <-或3}x >2m x x ⎧
⎫⊆<-⎨⎬⎩⎭
，这是不可能的. 故不存在实数m ，使20x m +<是2230x x -->的必要条件.
知识点二 必要不充分条件
11．设0x >，y R ∈，则“x y >”是“x y >”的（ ）
A ．充要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】 12>-不能推出12>-，反过来，若x y >则x y >成立，故为必要不充分条件.
12．“关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ”的一个必要不充分条件是（ ）
A ．01a <<
B ．103a <<
C ．01a
D ．0a <或13
a > 【答案】C
【解析】解：“关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ”，
则2440a a ∆=-<，解得01a <<；
所以“关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ”的一个必要不充分条件是01a ，
故选：C ．
13．如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ）
A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C ．丙是甲的充要条件
D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
【答案】A
【解析】因为甲是乙的充要条件，所以乙⇔甲；又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒丙．
综上，丙⇒甲，但甲⇒丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
故选A.
14．除夕夜，万家团圆之时，中国人民解放军陆、海、空三军医疗队驰援武汉.“在疫情面前，我们中国人民解放军誓死不退！不获胜利决不收兵！”这里“获取胜利”是“收兵”的（ ）
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】由题意可得，“获取胜利”是“收兵”的必要条件
故选：B
15．下面命题正确的是（ ）
A ．“1a >”是“11a
<”的充分不必要条件 B ．命题“若1x <,则21x <”的否定是“存在1x <,则21x ≥”.
C ．设,x y R ∈,则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件
D ．设,a b ∈R ,则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件
【答案】ABD
【解析】
选项A:根据反比例函数的性质可知：由1a >,能推出
11a <,但是由11a <,不能推出1a >,例如当0a <时,符合11a
<,但是不符合1a >,所以本选项是正确的； 选项B:根据命题的否定的定义可知：命题“若1x <,则21x <”的否定是“存在1x <,则21x ≥”.所以本选项是正确的；
选项C:根据不等式的性质可知：由2x ≥且2y ≥能推出224x y +≥,本选项是不正确的；
选项D:因为b 可以等于零,所以由0a ≠不能推出0ab ≠,再判断由0ab ≠能不能推出0a ≠,最后判断本选项是否正确.
故选ABD
16．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：
（1）“a 2x ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”是“ac <0”的________.
（2）“△ABC ≌△A ′B ′C ′”是“△ABC ∽△A ′B ′C ′”的________.
【答案】必要条件充分条件
【解析】（1）当0ac <时，240b ac ∆=->，此时a 2x ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根；
当a 2x ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根时，240b ac ∆=-≥，推不出0ac <，比如2,1b a c ===时，满足240b ac ∆=-≥，但是0ac >，所以“a 2x ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”是“ac <0”的必要不充分条件； （2）三角形全等能推出三角形相似，但是三角形相似推不出三角形全等，所以“△ABC ≌△A ′B ′C ′”是“△ABC ∽△A ′B ′C ′”的充分不必要条件.
故答案为：必要条件；充分条件.
17．已知p ：28200x x --≤；q ：2211m x m -≤≤+．
（1）若p 是q 的必要条件，求m 的取值范围；
（2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求m 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）⎡⎣;（Ⅱ）(,3][3,)-∞-+∞.
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出p ，q 成立的等价条件，根据p 是q 的必要条件，建立条件关系即可． （Ⅱ）利用￢p 是￢q 的必要不充分条件，即q 是p 的必要不充分条件，建立条件关系进行求解即可． 解：由x 2﹣8x ﹣20≤0得﹣2≤x ≤10，即P ：﹣2≤x ≤10，
又q ：1﹣m 2≤x ≤1+m 2．
（1）若p 是q 的必要条件，
则2212110m m ⎧-≥-⎨+≤⎩，即2239
m m ⎧≤⎨≤⎩，即m 2≤3，解得m ≤≤，
即m 的取值范围是⎡⎣．
（2）∵¬p 是¬q 的必要不充分条件，
∴q 是p 的必要不充分条件．
即2212
110m m ⎧-≤-⎨+≥⎩，即m 2≥9，解得m ≥3或m ≤﹣3
即m 的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．
18．己知()2:253,:220p x q x a x a -≤-++≤
（1）若p 是真命题，求对应x 的取值范围；
（2）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围.
【答案】（1）[]1,4；（2）[]1,4
【解析】
（1）:253p x -≤为真命题，即253x -≤，解得14x ≤≤
（2）根据（1）知：:14p x ≤≤，()()()2:2220q x a x a x x a -++=--≤
p 是q 的必要不充分条件
当2a >时，:2q x a ≤≤，故满足4a ≤，即24a <≤；
当2a =时，:2q x =，满足条件；
当2a <时，:2q a x ≤≤，故满足1a ≥，即21a >≥.
综上所述：[]1,4a ∈
19．下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？
（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；
（4）若1x =，则21x =；
（5）若ac bc =，则a b =；
（6）若xy 为无理数，则x ，y 为无理数.
【答案】（1）q 是p 的必要条件；（2）q 是p 的必要条件；（3）q 不是p 的必要条件；（4）q 是p 的必
要条件；（5）q 不是p 的必要条件；（6）q 不是p 的必要条件
【解析】（1）这是平行四边形的一条性质定理，p q ⇒，所以，q 是p 的必要条件.
（2）这是三角形相似的一条性质定理，p q ⇒，所以，q 是p 的必要条件.
（3）如图，四边形ABCD 的对角线互相垂直，但它不是菱形，p q ⇒
/，所以，q 不是p 的必要条件. （4）根据1x =，两边平方，得到21x =，p q ⇒，所以，q 是p 的必要条件.
（5）由于(1)010-⨯=⨯，但11-≠，p q ⇒
/，所以，q 不是p 的必要条件. （6）由于122⨯=为无理数，但1，2不全是无理数，p q ⇒
/，所以，q 不是p 的必要条件.。