高二数学期末质检理

智才艺州攀枝花市创界学校2021～
2021〔下〕高二质量检测
数学〔理科〕参考答案
A 卷〔一共100分〕
一、选择题 BDCABCAADB 二、填空题
11．i 12．3013．〔1〕〔3〕14．1
2
三、解答题
15．〔本小题总分值是10分〕 解：〔Ⅰ〕依题意得3
2:8:3n
n C C =，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分
即
28
33
n -=，得10n =。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分
〔Ⅱ〕通项公式为1051
1010((2)r
r r r r r
r T C C x --+=⋅=-，┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分
令53r -=，解得2r =，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分
∴所求展开式中3
x 项的系数为2
2
10(2)180C -=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分
16．〔本小题总分值是12分〕
解：〔Ⅰ〕22⨯
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分
〔Ⅱ〕假设0H ：休闲方式与性别无关。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分
计算2
K 的观测值为
2120(40302030)24 3.428705060607
k ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分
而2.706 3.428 3.841<<，
因为2( 2.706)0.10P K >≈，2
( 3.841)0.05P K >≈，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分
所以，在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为0H 不成立，即在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为休闲方式与性别有关。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
〔或者：所以我们有90%以上的把握，认为0H 不成立，即我们有90%以上的把握，认为休闲方式与性别有关。

〕
17．〔本小题总分值是12分〕
解：〔Ⅰ〕32
()44f x x ax x a =--+，
∴2
()324f x x ax '=--。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分 〔Ⅱ〕由(1)0f '-=得3240a +-=，∴1
2
a =。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 那么3
21()422f x x x x =--+，∴24
()343(1)()3
f x x x x x '=--=+-，┅┅┅┅7分 当x ∈[2,1)
(]4,43--时，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间是[2,1)--和4(,4]3
；
当x ∈(1,4)3-时，()0f x '<，所以()f x 的单调递减区间是(1,4)3
-。

┅┅┅┅9分 计算9
(1)2
f -=
，(4)42f =，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分 ∴()f x 在[2-，4]上的最大值max ()(4)42f x f ==。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
B 卷〔一共50分〕
甲卷
四、填空题：
18．0.419．41(2,)(,2)52--20．1
3
m <21．32 五、解答题：
22．〔本小题总分值是12分〕
解：〔Ⅰ〕由于每种产品，只有两道工序的结果都为A 等级时，才为一等品，其余均为二等品，所以，
0.80.750.6P =⨯=甲，0.750.60.45P =⨯=乙。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分
〔Ⅱ〕由条件知，ξ的可能取值为5、3，η的可能取值为4、2，且┅┅┅┅┅6分
(5)P ξ=(P =一件甲产品为一等品)0.80.750.6=⨯= (3)P ξ=(P =一件甲产品为二等品)10.60.4=-= (4)P η=(P =一件乙产品为一等品)0.750.60.45=⨯=
(2)P η=(P =一件乙产品为二等品)10.450.55=-=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分
所以ξ、η的分布列为：
所以
50.630.4 4.2
E ξ=⨯+⨯=，40.4520.55 2.9E η
=⨯+⨯=。

故ξ、η的数学期望分别为42和。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 23．〔本小题总分值是12分〕
解：1°当n =1时，01
122
12a =
=
+；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分
2°假设当n =k 时结论正确，即1
1
212
k k k a --=+，那么┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分 当n =k +1时，1
21k
k k a a a +=+，1
1
212k k k a --=+，
∴1
21k k k
a a a +=
+1
111
22122112k k k k ----⨯
+=+
+┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 112122k
k k --=
++212k
k
=
+，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分 即当n =k +1时结论也正确，
根据1°与2°知，对所有的*
n N ∈，数列{}n a 都有1
1
212
n n n a --=+。

┅┅┅12分 24．〔本小题总分值是12分〕
解：〔Ⅰ〕
2222
22
()2(1)
2()()()k x c x kx kx x kc f x x c x c +-+--+'=
=
++，┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分
令
()0f x '=即220kx x ck --+=，方程有两个不等实根c -，0x ，
由根与系数的关系知0()ck x c k
⋅-=
-，得0
1x =，
即函数
()f x 的另一极值点为01x =。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分
〔Ⅱ〕由
()0f c '-=得220kc c ck -++=， ∵1c
>，∴2
01
k c =
>-， 当x c <-或者1x >时，
()0f x '<，当1c x -<<时，()0f x '>，┅┅┅┅┅┅7分
∴函数()f x 在区间(,)c -∞-和(1,)+∞上单调递减；在区间(,1)c -上是单调递增， ∴函数()f x 的极大值为1(1)11
1
k M
f c c +==
=
+-，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分 极小值为211
()(1)
kc m f c c c
c c -+=-=
=-
+-，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分
∵1M m -=，∴
1111(1)
c c c +=--， 即2
210c c --=，又1c
>
，得1c =+。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
乙卷
四、填空题： 18．0.419．41(,0)(,2)52-
20．1
163
m -<<21．15
五、解答题：
22．〔本小题总分值是12分〕 〔Ⅰ〕由题意，随机变量X
B (2，s)，所以2EX s =，┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分
又43EX =
，所以423s =，2
3
s =。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分 X 的可能的取值为0，1，2，
221(0)(1)39P X ==-=，224(1)2(1)339P X ==⨯⨯-=，224
(2)()39
P X ===。

X 的分布列为┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分
〔Ⅱ〕设甲命中的次数为ξ，可能的取值为0，1，2，那么随机变量B ξ(2，0.5)，
211(0)(1)24P ξ==-=，111(1)2222P ξ==⨯⨯=，211
(2)()24
P ξ===。

┅7分
||Y X ξ=-可能的取值为0，1，2，
11414113(0)94929436P Y ==⨯+⨯+⨯=
，114141411
(1)929494922P Y ==⨯+⨯+⨯+⨯=， 11415
(2)949436
P Y ==⨯+⨯=
，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分 所以Y 的均值13157012362369
EY =⨯
+⨯+⨯=。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分 23．〔本小题总分值是12分〕 解：〔Ⅰ〕由于230123(1)
(1)(1)(1)(1)n
n n x a a x a x a x a x +=+-+-+-+
+-，
获得1x =0(11)2n
n
a =+=，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 获得2x =1230(21)n n a a a a a +++
++=+，
所以123n
n S a a a a =+++
+0332n n n a =-=-。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分
〔Ⅱ〕令()(2)25n
g n n =-+。

当1n =时，1321S =-=，(1)253g =-+=，∴1(1)S g <；┅┅┅┅┅┅5分
当2n =时，22
2325S =-=，(2)055g =+=，∴2(2)S g =；┅┅┅┅┅6分 当3n =时，3
3
33219S =-=，3
(3)(32)2513g =-⨯+=，∴3(3)S g >； 当4n =时，4
4
33265S =-=，4
(4)(42)2537g =-⨯+=，∴4(4)S g >。

猜想当3n ≥时，均有()n S g n >。

下面用数学归纳法证明。

┅┅┅┅┅┅7分
01当3n =时，显然3(3)S g >，不等式成立；
02假设n k =〔3k ≥，k N ∈〕时不等式成立，即()k S g k >，即3225k k k k >⋅-+。

那么当1n k =+时，1
3
333(225)k k k k k +=⨯>⋅-+(33)215k k =-+┅┅┅┅┅9分
225k k >⋅+125k k +=⋅+，┅┅┅┅┅┅┅10分
所以1
1113
2(1)25(1)k k k k S k g k ++++=->-+=+，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分
即当1n k =+时，不等式成立。

根据0
1、0
2知，对一切3n ≥，n N ∈不等式()n S g n >成立。

┅┅┅┅┅12分 综上，当1n =时，()n S g n <；当2n =时，()n S g n =；当3n ≥时，()n S g n >。

24．〔本小题总分值是12分〕
解：〔Ⅰ〕
2222
22
()2(1)
2()()()k x c x kx kx x kc f x x c x c +-+--+'=
=
++，┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分
令
()0f x '=即220kx x ck --+=，方程有两个不等实根c -，0x ，
由根与系数的关系知0()ck x c k
⋅-=
-，得0
1x =，
即函数
()f x 的另一极值点为01x =。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分
〔Ⅱ〕由
()0f c '-=得220kc c ck -++=，
∵0c >且1c ≠，∴2
1
k c =
-，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分 当1c >那么0k >；当01c <<那么2k <-。

01当0k >时，1c >，
当x c <-或者1x >时，
()0f x '<，当1c x -<<时，()0f x '>，
∴函数()f x 在区间(,)c -∞-和(1,)+∞上单调递减；在区间(,1)c -上单调递增， ∴函数()f x 的极大值为1(1)11
1
k M
f c c +==
=
+-，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分 极小值为211
()(1)
kc m f c c c
c c -+=-=
=-
+-，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分
∵1M m -≥，∴
1111(1)
c c c +≥--，即2210c c --≤，注意到1c >，
那么11c <≤+。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分
02当2k <-时，01c <<，
当x c <-或者1x >时，
()0f x '>，当1c x -<<时，()0f x '<，
∴函数()f x 在区间(,)c -∞-和(1,)+∞上单调递增；在区间(,1)c -上是调递减，
∴极大值为211()(1)
kc M f c c c
c c -+=-=
=-
+-，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分
函数()f x 的极小值为1(1)1
1
1
k m f c c +==
=
+-，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分 ∵1M
m -≥，∴11
1(1)1
c c c -
-≥--，即1(1)c c c +≥--即210c +≥，注意到01c <<，
所以01c <<。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分
综上，实数c 的取值范围是(0，1)
(11)。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分。