湘教版数学中考试卷及解答参考(2025年)

2025年湘教版数学中考自测试卷(答案在后面)
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
1、选择题：
1、小明有一些苹果，他吃掉了其中的3个，然后又买进了5个苹果。

请问小明现在有多少个苹果？
A、2个
B、4个
C、7个
D、10个
2、选择题：
2、一个长方形的面积是20平方厘米，如果长是宽的2倍，那么这个长方形的长和宽分别是多少厘米？
A、4厘米和2厘米
B、5厘米和2厘米
C、6厘米和3厘米
D、8厘米和2厘米
3、题目：在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，-3），点B的坐标为（-4，5）。

则线段AB的中点坐标是（）。

A. (-1，1)
B. (1，-1)
C. (-1，-1)
D. (1，1)
4、题目：一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，它的面积是（）平方厘米。

A. 50
B. 100
C. 25
D. 15
5、题目：一个长方形的长是12厘米，宽是8厘米，它的面积是多少平方厘米？
A. 96平方厘米
B. 144平方厘米
C. 160平方厘米
D. 120平方厘米
6、题目：一个正方形的边长为5厘米，它的周长是多少厘米？
A. 10厘米
B. 15厘米
C. 20厘米
D. 25厘米
7、题目：若a、b、c是等差数列，且a=1，b=3，则c的值为：
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
8、题目：在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于直线y=x的对称点B的坐标为：
A.（3，2）
B.（2，3）
C.（4，1）
D.（1，4）
9、题目：在直角坐标系中，点A（-3，2）关于原点的对称点坐标是（）
A、（3，-2）
B、（-3，-2）
C、（-3，2）
D、（2，-3） 10、题目：下列方程中，方程x²-4x+4=0的解是（）
A、x=2
B、x=1
C、x=3
D、x=-2
二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分）
1、在直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（-1，-2）。

那么线段AB的中点坐标是______ 。

2、一个长方体的长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm，那么这个长方体的对角线长是 ______ 。

3、已知等差数列{an}中，首项a1=3，公差d=2，则第10项an=______ 。

4、若函数f(x)=x^2-2x+1在区间[-1,2]上的最大值和最小值分别是m和n，则
m+n=______ 。

5、一个长方形的长是10cm，宽是6cm，那么它的面积是____cm²。

三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共55分）
第一题
一、解下列方程：
1.5x - 2 = 3x + 4
2.2(x - 1) - 3(x + 2) = -x + 5
二、解下列不等式：
1.3(2x - 1) < 4 - 2x
2.5x - 3 > 2x + 1
三、应用题：
1.小明骑自行车去图书馆，速度为每小时15公里，若小明每小时比平时多骑5公里，则小明到达图书馆的时间可以缩短1/3小时，求小明平时骑自行车的速度。

2.甲乙两辆汽车同时从同一地点出发相向而行，甲的速度为60公里/小时，乙的速度为80公里/小时，两车相遇后继续行驶，甲车行驶了3小时，乙车行驶了4小时后，两车相距多少公里？
第二题题目：某市为了美化环境，计划在一条长为100米的街道两侧种植树木。

计划每间隔5米种一棵树（包括街道两端），并且保证街道两头各有至少一棵树。

请问按照这个方案，总共需要准备多少棵树苗？如果改为每间隔4米种一棵树（同样包括街道两端），那么又需要多少棵树苗呢？
第三题
已知函数f(x)=x2−4x+3，求函数的最小值。

第四题
题目：某班同学参加数学竞赛，共有50人参赛。

根据成绩分布，成绩在80分以下的有10人，80分到90分的有15人，90分到100分的有25人。

请计算该班同学的平均成绩。

第五题
题目：
已知函数(f(x)=2x2−3x+1)。

（1）求函数(f(x))的顶点坐标；
（2）若函数(g(x))是(f(x))关于(y)轴的对称函数，求(g(x))的表达式；
（3）若直线(y=kx+b)与(f(x))有两个不同的交点，求(k)和(b)的取值范围。

第六题
题目：
已知直线l1:2x−y+3=0和直线l2:x+2y−5=0相交于点P。

另有一条直线l3过点P且与x轴的正方向成45∘角。

•
(1)求点P的坐标。

(2)
(2)写出直线l3的方程。

(3)
(3)计算由这三条直线围成的三角形面积。

第七题
已知函数(f(x)=ax2+bx+c)（(a≠0)）是二次函数，且满足以下条件：
1.函数图像的对称轴为直线(x=−1)。

2.函数图像在(x=−2)处的函数值为 0。

3.函数图像与(y)轴的交点为((0,4))。

（1）求函数(f(x))的表达式。

（2）若直线(y=kx+b)与函数(f(x))的图像有两个不同的交点，求实数(k)的取值范围。

2025年湘教版数学中考自测试卷及解答参考
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
1、选择题：
1、小明有一些苹果，他吃掉了其中的3个，然后又买进了5个苹果。

请问小明现在有多少个苹果？
A、2个
B、4个
C、7个
D、10个
答案：C 解析：小明开始有x个苹果，吃掉3个后剩下x-3个，再买进5个后总数变为x-3+5=x+2个。

所以正确答案是C，小明现在有7个苹果。

2、选择题：
2、一个长方形的面积是20平方厘米，如果长是宽的2倍，那么这个长方形的长和宽分别是多少厘米？
A、4厘米和2厘米
B、5厘米和2厘米
C、6厘米和3厘米
D、8厘米和2厘米
答案：B 解析：设长方形的宽为w厘米，则长为2w厘米。

根据面积公式，长方形面积为长乘以宽，即2w*w=20。

解得w=2厘米，因此长为2w=4厘米。

所以正确答案是B，长方形的长和宽分别是5厘米和2厘米。

3、题目：在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，-3），点B的坐标为（-4，5）。

则线段AB的中点坐标是（）。

A. (-1，1)
B. (1，-1)
C. (-1，-1)
D. (1，1)
答案：B
解析：线段AB的中点坐标可以通过取A、B两点的横坐标和纵坐标的平均值来得到。

点A的横坐标为2，点B的横坐标为-4，所以中点的横坐标为(2 + (-4)) / 2 = -1。

点A的纵坐标为-3，点B的纵坐标为5，所以中点的纵坐标为(-3 + 5) / 2 = 1。

因此，线段AB的中点坐标为(-1，1)，选项B正确。

4、题目：一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，它的面积是（）平方厘米。

A. 50
B. 100
C. 25
D. 15
答案：B
解析：长方形的面积可以通过长和宽的乘积来计算。

题目中给出的长方形长为10厘米，宽为5厘米，所以面积为10厘米× 5厘米 = 50平方厘米。

因此，正确答案是选项B。

选项A、C、D的计算结果都不正确。

5、题目：一个长方形的长是12厘米，宽是8厘米，它的面积是多少平方厘米？
A. 96平方厘米
B. 144平方厘米
C. 160平方厘米
D. 120平方厘米
答案：B
解析：长方形的面积计算公式为长×宽。

因此，该长方形的面积为12厘米×8厘米=96平方厘米。

选项B正确。

6、题目：一个正方形的边长为5厘米，它的周长是多少厘米？
A. 10厘米
B. 15厘米
C. 20厘米
D. 25厘米
答案：C
解析：正方形的周长计算公式为边长×4。

因此，该正方形的周长为5厘米×4=20厘米。

选项C正确。

7、题目：若a、b、c是等差数列，且a=1，b=3，则c的值为：
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
答案：A
解析：在等差数列中，任意相邻两项之差是常数，设这个常数为d。

根据题意，a=1，b=3，所以b-a=d，即3-1=d，解得d=2。

因此，c=b+d=3+2=5。

所以，c的值为5。

8、题目：在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于直线y=x的对称点B的坐标为：
A.（3，2）
B.（2，3）
C.（4，1）
D.（1，4）
答案：A
解析：在平面直角坐标系中，点（x，y）关于直线y=x的对称点坐标为（y，x）。

因此，点A（2，3）关于直线y=x的对称点B的坐标为（3，2）。

所以，正确答案是A。

9、题目：在直角坐标系中，点A（-3，2）关于原点的对称点坐标是（）
A、（3，-2）
B、（-3，-2）
C、（-3，2）
D、（2，-3）
答案：A
解析：在直角坐标系中，点关于原点对称时，其坐标的横纵坐标分别取相反数。

因此，点A（-3，2）关于原点的对称点坐标是（3，-2）。

10、题目：下列方程中，方程x²-4x+4=0的解是（）
A、x=2
B、x=1
C、x=3
D、x=-2
答案：A
解析：方程x²-4x+4=0是一个完全平方公式，可以写成(x-2)²=0的形式。

解得x-2=0，所以x=2。

因此，方程x²-4x+4=0的解是x=2。

二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分）
1、在直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（-1，-2）。

那么线段AB的中点坐标是______ 。

答案：（0.5，0.5）
解析：线段AB的中点坐标可以通过计算两点的坐标的平均值得到。

即中点的横坐标为（2 + (-1)）/ 2 = 0.5，中点的纵坐标为（3 + (-2)）/ 2 = 0.5。

因此，线段AB的中点坐标为（0.5，0.5）。

2、一个长方体的长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm，那么这个长方体的对角线长是 ______ 。

答案：9cm
解析：长方体的对角线可以通过勾股定理计算得到。

设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则对角线的长度d可以通过以下公式计算：d = √(a² + b² + c²)。

将长方体的长、宽、高代入公式，得到d = √(6² + 4² + 3²) = √(36 + 16 + 9) = √61 ≈ 9cm。

因此，长方体的对角线长约为9cm。

3、已知等差数列{an}中，首项a1=3，公差d=2，则第10项an=______ 。

答案：23
解析：根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入首项a1=3和公差d=2，得
an=3+(10-1)×2=3+18=21。

4、若函数f(x)=x^2-2x+1在区间[-1,2]上的最大值和最小值分别是m和n，则
m+n=______ 。

答案：0
解析：函数f(x)=x2-2x+1可以化简为f(x)=(x-1)2。

这是一个开口向上的抛物线，其顶点为(1,0)，在区间[-1,2]上，函数的最大值出现在x=1时，即f(1)=0，最小值出现在x=-1时，即f(-1)=4。

因此，m+n=0+4=4。

5、一个长方形的长是10cm，宽是6cm，那么它的面积是____cm²。

答案：60cm²
解析：长方形的面积计算公式是长乘以宽。

根据题目给出的数据，长方形的长是10cm，宽是6cm，所以面积计算如下：
面积 = 长× 宽面积= 10cm × 6cm 面积= 60cm²
因此，这个长方形的面积是60cm²。

三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共55分）
第一题
一、解下列方程：
1.5x - 2 = 3x + 4
2.2(x - 1) - 3(x + 2) = -x + 5
二、解下列不等式：
1.3(2x - 1) < 4 - 2x
2.5x - 3 > 2x + 1
三、应用题：
1.小明骑自行车去图书馆，速度为每小时15公里，若小明每小时比平时多骑5公
里，则小明到达图书馆的时间可以缩短1/3小时，求小明平时骑自行车的速度。

2.甲乙两辆汽车同时从同一地点出发相向而行，甲的速度为60公里/小时，乙的速
度为80公里/小时，两车相遇后继续行驶，甲车行驶了3小时，乙车行驶了4小时后，
两车相距多少公里？
答案：
一、解下列方程：
1.5x - 2 = 3x + 4 解：5x - 3x = 4 + 2 2x = 6 x = 3
2.2(x - 1) - 3(x + 2) = -x + 5 解：2x - 2 - 3x - 6 = -x + 5
-x - 8 = -x + 5
-x + x = 5 + 8 0 = 13
二、解下列不等式：
1.3(2x - 1) < 4 - 2x 解：6x - 3 < 4 - 2x 6x + 2x < 4 + 3 8x < 7 x < 7/8
2.5x - 3 > 2x + 1 解：5x - 2x > 1 + 3 3x > 4 x > 4/3
三、应用题：
1.小明骑自行车去图书馆，速度为每小时15公里，若小明每小时比平时多骑5公
里，则小明到达图书馆的时间可以缩短1/3小时，求小明平时骑自行车的速度。

解：设小明平时骑自行车的速度为v公里/小时，则 v = 15 + 5 v = 20 小明平时骑自行车的速度为20公里/小时。

2.甲乙两辆汽车同时从同一地点出发相向而行，甲的速度为60公里/小时，乙的速
度为80公里/小时，两车相遇后继续行驶，甲车行驶了3小时，乙车行驶了4小时后，
两车相距多少公里？
解：甲乙两车相遇后，甲车行驶了3小时，乙车行驶了4小时，两车共行驶了7
小时。

甲车行驶的距离为：60公里/小时× 3小时 = 180公里乙车行驶的距离为：80公里/小时× 4小时 = 320公里两车相距：320公里 - 180公里 = 140公里解析：
一、解下列方程：
1.本题为一元一次方程，通过移项、合并同类项，得到方程的解。

2.本题为一元一次方程，通过移项、合并同类项，得到方程的解。

二、解下列不等式：
1.本题为一元一次不等式，通过移项、合并同类项，得到不等式的解。

2.本题为一元一次不等式，通过移项、合并同类项，得到不等式的解。

三、应用题：
1.本题为一元一次方程的应用题，通过列方程，求解得到小明平时骑自行车的速度。

2.本题为一元一次方程的应用题，通过列方程，求解得到两车相距的距离。

第二题题目：某市为了美化环境，计划在一条长为100米的街道两侧种植树木。

计划每间隔5米种一棵树（包括街道两端），并且保证街道两头各有至少一棵树。

请问按照这个方案，总共需要准备多少棵树苗？如果改为每间隔4米种一棵树（同样包括街道两端），那么又需要多少棵树苗呢？
答案：
•当每隔5米种一棵树时，共需21棵树苗。

•当每隔4米种一棵树时，共需51棵树苗。

解析：
首先明确植树问题中的关键点：当沿着线段（或封闭图形）边缘以固定间距植树时，
+1)，其中(N)代表所需树的树的数量与间距和线段长度之间的关系可以表示为(N=L
d
数量，(L)是线段总长度，而(d)是指定的树之间间距。

这里加1是因为首尾都要计入一棵树。

对于本题来说：
•情况一：当每间隔5米种一棵树时，
+1=21)棵。

•街道一侧的树数为(100
5
•因此，两侧总共需要(21×2=42)棵树苗。

但根据题目描述，这里的计算实际上是对单侧进行考虑后直接翻倍了结果。

考虑到题目要求的是整个街道两侧的情况，且街道两端各有一棵树被两边共享，故实际总数仍为21棵。

•情况二：若改为每间隔4米种一棵树，
+1=26)棵。

•同样地，对于街道的一侧而言，树的数量将是(100
4
•由于街道两侧均按此标准栽植，则总共需要(26×2=52)棵树苗。

然而，同上所述，考虑到两端的树实际上是两边共用的，最终答案调整为51棵。

综上所述，按照给定条件，分别需要准备21棵树苗（间隔5米时）和51棵树苗（间隔4米时）。

这解答了题目中提出的问题，并展示了如何通过简单的数学模型来解决实际生活中的规划问题。

第三题
已知函数f(x)=x2−4x+3，求函数的最小值。

答案：
函数f(x)=x2−4x+3的最小值为−1。

解析：
1.首先，将函数f(x)=x2−4x+3写成完全平方的形式。

为了完成这一点，我们
需要找到一个数a，使得x2−4x+4−1=(x−2)2−1。

2.通过完成平方，我们得到f(x)=(x−2)2−1。

3.因为平方项(x−2)2总是非负的，所以f(x)的最小值发生在平方项为0时，即x=2。

4.将x=2代入f(x)，得到f(2)=(2−2)2−1=0−1=−1。

5.因此，函数f(x)=x2−4x+3的最小值为−1。

第四题
题目：某班同学参加数学竞赛，共有50人参赛。

根据成绩分布，成绩在80分以下的有10人，80分到90分的有15人，90分到100分的有25人。

请计算该班同学的平均成绩。

答案：平均成绩为88分。

解析：
1.首先，我们需要计算每个成绩段的总分。

•成绩在80分以下的总分为：80分以下的人数× 最低分数 = 10人× 80分 = 800分。

•成绩在80分到90分之间的总分为：这个分数段的人数× 分数段的中值 = 15人× 85分 = 1275分。

•成绩在90分到100分之间的总分为：这个分数段的人数× 最高分数 = 25人× 95分 = 2375分。

2.接下来，计算所有同学的总分：
•总分 = 成绩在80分以下的总分 + 成绩在80分到90分之间的总分 + 成绩在90分到100分之间的总分
• 总分 = 800分 + 1275分 + 2375分 = 4450分。

3.最后，计算平均成绩：
• 平均成绩 = 总分 ÷ 参赛人数 = 4450分 ÷ 50人 = 88分。

因此，该班同学的平均成绩为88分。

第五题
题目：
已知函数(f (x )=2x 2−3x +1)。

（1）求函数(f (x ))的顶点坐标；
（2）若函数(g (x ))是(f (x ))关于(y )轴的对称函数，求(g (x ))的表达式；
（3）若直线(y =kx +b )与(f (x ))有两个不同的交点，求(k )和(b )的取值范围。

答案：
（1）函数(f (x ))的顶点坐标可以通过配方或使用顶点公式求得。

首先，我们配方得到：
[f (x )=2(x 2−32x)+1] [f (x )=2(x 2−32x +916)−98+1] [f (x )=2(x −34)2−18
] 因此，函数(f (x ))的顶点坐标为((34,−18))。

（2）由于(g (x ))是(f (x ))关于(y )轴的对称函数，其表达式可以通过将(f (x ))中的(x )替换为(−x )得到：
（3）要使直线(y =kx +b )与(f (x ))有两个不同的交点，直线方程与函数方程联立后应有两个不同的实数解。

即：
[2x 2−3x +1=kx +b ] [2x 2−(3+k )x +(1−b )=0] 这个二次方程有两个不同实数解的条件是判别式大于0，即：
[Δ=(3+k )2−4⋅2⋅(1−b )>0] [(3+k )2−8+8b >0] [k 2+6k +9−8+
8b >0] [k 2+6k +1+8b >0] 由于(k 2+6k +1)是一个完全平方数，且(8b )是正数，因此(k 2+6k +1+8b >0)总是成立。

所以，(k )和(b )的取值范围没有限制，只要(k ≠−3)即可，因为当(k =−3)时，判别式为0，方程只有一个实数解。

解析：
（1）通过配方或使用顶点公式，我们得到了函数(f (x ))的顶点坐标。

（2）通过对称性，我们找到了(g (x ))的表达式。

（3）通过二次方程的判别式条件，我们确定了(k )和(b )的取值范围。

第六题
题目：
已知直线l 1:2x −y +3=0和直线l 2:x +2y −5=0相交于点P 。

另有一条直线l 3过点P 且与x 轴的正方向成45∘角。

•
(1) 求点P 的坐标。

(3)
(2) 写出直线l 3的方程。

(4)
(3) 计算由这三条直线围成的三角形面积。

答案与解析：
(1) 求点P 的坐标
为找到两条直线l 1和l 2的交点，我们需要解这个线性方程组：
[{2x −y +3=0x +2y −5=0
] 我们可以通过解这个方程组来找到点P (x,y )的坐标。

让我们先计算出P 点的具体位
置。

点(P)的坐标是((−1
5,13
5
))。

(2)写出直线(l3)的方程
由于直线(l3)与(x)轴正方向成(45∘)角，这意味着它的斜率(m=tan(45∘)=1)。

利
用点斜式方程的形式(y−y1=m(x−x1))，其中点(P(−1
5,13
5
))和斜率(m=1)，我们
可以写出直线(l3)的方程。

接下来计算该方程。

直线(l3)的方程可以写为(x−y+14
5
=0)或者更简洁地表示为(5x−5y+14=0)。

(3)计算由这三条直线围成的三角形面积
为了计算由直线(l1,l2,)和(l3)围成的三角形面积，我们首先需要确定除了点(P)之外另外两个交点的位置。

为此，我们需要找到：
•直线(l1)和(l3)的交点（设为(A)）。

•直线(l2)和(l3)的交点（设为(B)）。

然后，我们可以使用这些顶点来应用三角形面积公式。

接下来，我们先找出点(A)和
(B)的坐标。

通过计算发现，点(A)和点(B)的坐标实际上与点(P)相同，都是((−1
5,13
5
))。

这意味着直线(l1,l2,)和(l3)在同一点相交，并没有形成一个三角形。

因此，由这三条直线围成的图形面积为(0)。

这种情况可能源于题目设定或解题过程中的特定条件，表明给定条件下无法构成传统意义上的三角形区域。

如果考虑实际情况，这样的几何配置不会产生有面积的封闭区域。

综上所述，本题中：
•点(P)的坐标是((−1
5,13
5
))。

•直线(l3)的方程为(5x−5y+14=0)。

•由于三线共点，所求三角形面积为(0)平方单位。

第七题
已知函数(f(x)=ax2+bx+c)（(a≠0)）是二次函数，且满足以下条件：
1.函数图像的对称轴为直线(x=−1)。

2.函数图像在(x=−2)处的函数值为 0。

3.函数图像与(y)轴的交点为((0,4))。

（1）求函数(f(x))的表达式。

（2）若直线(y=kx+b)与函数(f(x))的图像有两个不同的交点，求实数(k)的取
值范围。

答案：
（1）由题意知，函数的对称轴为(x=−1)，因此(f(x))的顶点坐标为((−1,k))。

又因为(f(x))与(y)轴的交点为((0,4))，所以(c=4)。

设(f(x)=a(x+1)2+k)，代入(x=0)得(f(0)=a(0+1)2+k=4)，解得(a=1)。

又因为(f(−2)=0)，代入(f(x)=(x+1)2+k)得(0=(−2+1)2+k)，解得
(k=−1)。

所以，函数(f(x))的表达式为(f(x)=(x+1)2−1)。

（2）要使直线(y=kx+b)与函数(f(x))的图像有两个不同的交点，直线
(y=kx+b)必须在(f(x))的图像的顶点下方。

函数(f(x))的顶点为((−1,−1))，所以直线(y=kx+b)必须满足(−1<k(−1)+b)。

又因为(f(x))与(y)轴的交点为((0,4))，所以(b=4)。

代入得(−1<−k+4)，解得(k<5)。

同时，直线(y=kx+b)必须在(y=4)的水平线上方，即(kx+b>4)对所有(x)成
立。

因为(b=4)，所以(kx>0)对所有(x)成立，即(k>0)。

综上所述，实数(k)的取值范围为(0<k<5)。

解析：
（1）首先利用对称轴的性质，确定顶点的横坐标为 -1，然后利用(y)轴交点确定(c)的值，最后利用(x=−2)处的函数值为 0 确定(a)和(k)的值。

（2）利用顶点的坐标和(y)轴交点的坐标，确定直线(y=kx+b)在(y)轴上的截距(b)，然后通过不等式确定(k)的取值范围，保证直线在顶点下方并与函数图像有两个交点。