虞城县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

虞城县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． ,AD BE 分别是ABC ∆的中线，若1AD BE ==，且AD 与BE 的夹角为120，则AB AC ⋅=（ ） （A ）
13 （ B ） 49 （C ） 23 （D ） 89
2． 已知函数f （x ）=x 2﹣6x+7，x ∈（2，5]的值域是（ ） A ．（﹣1，2]
B ．（﹣2，2]
C ．[﹣2，2]
D ．[﹣2，﹣1）
3． 已知函数f （x ）=，则
的值为（ ）
A ．
B ．
C ．﹣2
D ．3 4． 在等差数列中，已知，则
（ ）
A ．12
B ．24
C ．36
D ．48
5． 把函数y=cos （2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移
个单位，得到函数y=f （x ）的图象关于直线x=
对称，则φ的值为（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．
D ．
6． 函数y=x 3﹣x 2﹣x 的单调递增区间为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8． 如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是（ ）
A ．{， }
B ．{，， }
C ．{V|≤V ≤}
D ．{V|0＜V ≤}
9． 已知a=21.2，b=（﹣）﹣0.8，c=2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a
10．在ABC ∆中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =（ ）
A ．
B ． C.
D 11．等比数列{a n }中，a 3，a 9是方程3x 2﹣11x+9=0的两个根，则a 6=（ ）
A ．3
B ．
C ．±
D ．以上皆非
12．对某班学生一次英语测验的成绩分析，各分数段的分布如图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（ ）
A ．92%
B ．24%
C ．56%
D ．5.6%
二、填空题
13．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
14．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数()3
2f x x x =-，若曲线()f x 在点()()
1,1f 处的切线经
过圆()2
2:2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________．
15．某城市近10年居民的年收入x 与支出y
之间的关系大致符合=0.9x+0.2（单位：亿元），预计今年该城市居民年收入为20亿元，则年支出估计是 亿元．
16．若命题“∃x ∈R ，x 2﹣2x+m ≤0”是假命题，则m 的取值范围是 ．
17．设R m ∈，实数x ，y 满足23603260y m x y x y ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，若182≤+y x ，则实数m 的取值范围是___________．
【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力．
18
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升．
三、解答题
19．某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇，并立即投入使用，预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，设使用x年后游艇的盈利为y万元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）此游艇使用多少年，可使年平均盈利额最大？
20．已知集合P={x|2x2﹣3x+1≤0}，Q={x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0}．
（1）若a=1，求P∩Q；
（2）若x∈P是x∈Q的充分条件，求实数a的取值范围．
21．己知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a＞0）．
（1）试探究函数f（x）的零点个数；
（2）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）（x1＜x2）两点，AB中点为C（x0，0），设函数f （x）的导函数为f′（x），求证：f′（x0）＜0．
22．【南京市2018届高三数学上学期期初学情调研】已知函数f（x）＝2x3－3（a+1）x2＋6ax，a∈R．（Ⅰ）曲线y＝f（x）在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；
（Ⅱ）若对于任意x∈（0，+∞），f（x）＋f（－x）≥12ln x恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）若a＞1，设函数f（x）在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M（a）、m（a），
记h（a）＝M（a）－m（a），求h（a）的最小值．
23．已知函数f（x）=aln（x+1）+x2﹣x，其中a为非零实数．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若y=f（x）有两个极值点α，β，且α＜β，求证：＜．（参考数据：ln2≈0.693）
24．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．
虞城县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】由1(),21(2),2AD AB AC BE AB AC ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得2233,4233AB AD BE AC AD BE
⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 22422
()()33333
AB AC AD BE AD BE ⋅=-⋅+=.
2． 【答案】C
【解析】解：由f （x ）=x 2﹣6x+7=（x ﹣3）2
﹣2，x ∈（2，5]． ∴当x=3时，f （x ）min =﹣2． 当x=5
时，
．
∴函数f （x ）=x 2
﹣6x+7，x ∈（2，5]的值域是[﹣2，2]． 故选：C ．
3． 【答案】A
【解析】解：∵函数f （x ）
=，
∴f
（）=
=﹣2，
=f （﹣2）=3﹣2
=．
故选：A ．
4． 【答案】B 【解析】 ，所以，故选B
答案：B
5． 【答案】B
【解析】解：把函数y=cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位，
得到函数y=f（x）=cos[2（x+）+φ]=cos（2x+φ+）的图象关于直线x=对称，
则2×+φ+=kπ，求得φ=kπ﹣，k∈Z，故φ=﹣，
故选：B．
6．【答案】A
【解析】解：∵y=x3﹣x2﹣x，
∴y′=3x2﹣2x﹣1，
令y′≥0
即3x2﹣2x﹣1=（3x+1）（x﹣1）≥0
解得：x≤﹣或x≥1
故函数单调递增区间为，
故选：A．
【点评】本题主要考查导函数的正负和原函数的单调性的关系．属基础题．
7．【答案】C
【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求满足P=1+3+…+（2n﹣1）＞20的最小n值，
∵P=1+3+…+（2n﹣1）=×n=n2＞20，∴n≥5，
故输出的n=5．
故选：C．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．
8．【答案】D
【解析】解：根据几何体的正视图和侧视图，得；
当该几何体的俯视图是边长为1的正方形时，它是高为2的四棱锥，其体积最大，为×12×2=；
当该几何体的俯视图为一线段时，它的底面积为0，此时不表示几何体；
所以，该几何体体积的所有可能取值集合是{V|0＜V≤}．
故选：D．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征是什么，是基础题目．
9． 【答案】A
【解析】解：∵b=（﹣）﹣0.8=20.8＜21.2
=a ，且b ＞1，
又c=2log 52=log 54＜1， ∴c ＜b ＜a ． 故选：A ．
10．【答案】B 【解析】
考点：正弦定理的应用.
11．【答案】C
【解析】解：∵a 3，a 9是方程3x 2
﹣11x+9=0的两个根， ∴a 3a 9=3，
又数列{a n }是等比数列，
则a
62
=a 3a 9=3，即a 6=±
．
故选C
12．【答案】C
【解析】解：这次测验的优秀率（不小于80分）为
0.032×10+0.024×10=0.56 故这次测验的优秀率（不小于80分）为56%
故选C
【点评】在解决频率分布直方图时，一定注意频率分布直方图的纵坐标是．
二、填空题
13．【答案】
【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】正方体中，BC 中点为E ，CD 中点为F ，
则截面为
即截去一个三棱锥其体积为：
所以该几何体的体积为：
故答案为：
14．【答案】2-
【解析】结合函数的解析式可得：()3
11211f =-⨯=-，
对函数求导可得：()2
'32f x x =-，故切线的斜率为()2
'13121k f ==⨯-=，
则切线方程为：()111y x +=⨯-，即2y x =-，
圆C ：()2
22x y a +-=的圆心为()0,a ，则：022a =-=-.
15．【答案】 18.2
【解析】解：∵某城市近10年居民的年收入x 和支出y 之间的关系大致是=0.9x+0.2，
∵x=20， ∴y=0.9×20+0.2=18.2（亿元）．
故答案为：18.2．
【点评】本题考查线性回归方程的应用，考查学生的计算能力，考查利用数学知识解决实际问题的能力，属于基础题．
16．【答案】 m ＞1 ．
【解析】解：若命题“∃x ∈R ，x 2
﹣2x+m ≤0”是假命题，
则命题“∀x ∈R ，x 2
﹣2x+m ＞0”是真命题，
即判别式△=4﹣4m ＜0， 解得m ＞1， 故答案为：m ＞1
17．【答案】[3,6]-.
【解析】
18．【答案】8升．
【解析】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8．故答案是：8．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）（x∈N*） (6)
（2）盈利额为…
当且仅当即x=7时，上式取到等号 (11)
答：使用游艇平均7年的盈利额最大． (12)
【点评】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）
当a=1时，Q={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}
则P∩Q={1}
（2）∵a≤a+1，∴Q={x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0}={x|a≤x≤a+1}
∵x∈P是x∈Q的充分条件，∴P⊆Q
∴，即实数a的取值范围是
【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，以及充分条件的运用，也是高考常会考的题型．
21．【答案】
【解析】解：（1），
令f'（x）＞0，则；令f'（x）＜0，则．
∴f（x）在x=a时取得最大值，即
①当，即0＜a＜1时，考虑到当x无限趋近于0（从0的右边）时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f （x）→﹣∞
∴f（x）的图象与x轴有2个交点，分别位于（0，）及（）
即f（x）有2个零点；
②当，即a=1时，f（x）有1个零点；
③当，即a＞1时f（x）没有零点；
（2）由得（0＜x1＜x2），
=，令
，设，t∈（0，1）且h（1）=0
则，又t ∈（0，1），∴h ′（t ）＜0，∴h （t ）＞h （1）=0
即，又，
∴f'（x 0）=
＜0．
【点评】本题在导数的综合应用中属于难题，题目中的两个小问都有需要注意之处，如（1）中，在对0＜a ＜1进行研究时，一定要注意到f （x ）的取值范围，才能确定零点的个数，否则不能确定．（2）中，代数运算比较复杂，特别是计算过程中，令的化简和换元，使得原本比较复杂的式子变得简单化而可解，这对学
生的综合能力有比较高的要求．
22．【答案】（1）a ＝
12（2）（－∞，－1－1e ]．（3）827
【解析】
（2）
f （x ）＋f （－x ）＝－6（a ＋1）x 2≥12ln x 对任意x ∈（0，+∞）恒成立， 所以－（a ＋1）≥
22ln x
x
． 令g （x ）＝22ln x
x
，x ＞0，则g '（x ）＝()3212ln x x -．
令g '（x ）＝0，解得x ．
当x∈（0g'（x）＞0，所以g（x）在（0
当x∞）时，g'（x）＜0，所以g（x∞）上单调递减．
所以g（x）max＝g1
e
，
所以－（a＋1）≥1
e ，即a≤－1－1
e
，
所以a的取值范围为（－∞，－1－1
e
]．
（3）因为f（x）＝2x3－3（a＋1）x2＋6ax，
所以f′（x）＝6x2－6（a＋1）x＋6a＝6（x－1）（x－a），f（1）＝3a－1，f（2）＝4．令f′（x）＝0，则x＝1或a．
f（1）＝3a－1，f（2）＝4．
②当5
3
＜a＜2时，
当x∈（1，a）时，f '（x）＜0，所以f（x）在（1，a）上单调递减；
当x∈（a，2）时，f '（x）＞0，所以f（x）在（a，2）上单调递增．
又因为f（1）＞f（2），所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（a）＝－a3＋3a2，所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－（－a3＋3a2）＝a3－3a2＋3a－1．
因为h'（a）＝3a2－6a＋3＝3（a－1）2≥0．
所以h（a）在（5
3
，2）上单调递增，
所以当a∈（5
3，2）时，h（a）＞h（5
3
）＝8
27
．
③当a≥2时，
当x∈（1，2）时，f （x）＜0，所以f（x）在（1，2）上单调递减，
所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（2）＝4，
所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－4＝3a－5，
所以h（a）在[2，＋∞）上的最小值为h（2）＝1．
综上，h（a）的最小值为8
27
．
点睛：已知函数最值求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数最值取法，根据最值列等量关系，确定参数值或取值范围；（2）利用最值转化为不等式恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围.
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）．
当a﹣1≥0时，即a≥1时，f'（x）≥0，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；
当0＜a＜1时，由f'（x）=0得，，
故f（x）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当a＜0时，由f'（x）=0得，，
f（x）在上单调递减，在上单调递增．
证明：（Ⅱ）由（I）知，0＜a＜1，且，
所以α+β=0，αβ=a﹣1．
．
由0＜a＜1得，0＜β＜1．
构造函数．
，
设h（x）=2（x2+1）ln（x+1）﹣2x+x2，x∈（0，1），
则，
因为0＜x＜1，
所以，h'（x）＞0，
故h（x）在（0，1）上单调递增，
所以h（x）＞h（0）=0，即g'（x）＞0，
所以g（x）在（0，1）上单调递增，
所以，
故．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．
由条件可知各项均为正数，故q=．
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．
故数列{a n}的通项式为a n=．
（Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，
故=﹣=﹣2（﹣）
则++…+=﹣2=﹣，
所以数列{}的前n项和为﹣．
【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．。